Laboratoire

Section 5.2 Laboratoire

Comme mentionné dans l’introduction, on n’a normalement pas accès aux valeurs de la population. On va alors tenter de reproduire le calcul d’un intervalle équivalent à celui de l’exercice (5.1.1.a), mais qui sera centré autour de $\overline{x}$ et qui utilisera $s$ plutôt que $\sigma\text{.}$ Les intervalles auront la forme

\begin{equation} \left[\overline{x}-z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}} \right]\text{,}\tag{5.2.1} \end{equation}

où $\alpha=0.05\text{.}$ On reproduit ainsi un intervalle dont le risque d’erreur est de $5\%\text{.}$ Ci-dessous, on analyse l’impact de prendre $s$ comme approximation de $\sigma\text{.}$

Sous-section 5.2.1 Intervalles pour une moyenne

Créer une nouvelle feuille de calculs nommée « Intervalle1 » dans le fichier Bixi. Dans la plage A1:B4, inscrire dans la colonne A les étiquettes $n=\text{,}$$\text{alpha}=$ et $z\text{alpha}/2=$ et entrer $30$ et $0.05$ dans B1 et B2 respectivement pour $n$ et alpha. Calculer à l’aide des formules de la loi normale la valeur de $z_{\alpha/2}\text{.}$

On commence par construire un tableau qui contiendra les moyennes échantillonnales, les écart types échantillonnaux, ainsi que les bornes inférieures et supérieures de l’intervalle de l’équation (5.2.1) des échantillons créés à l’exercice 5.1.1.b. Pour cela,

Reporter les moyennes pour analyse et les écarts types calculés à l’exercice 5.1.1.c;
Ensuite, calculer les bornes inférieures et supérieures de chaque intervalle selon la formule (5.2.1);
Ajouter une ligne (ou une colonne, selon la construction précédente) qui déterminera si $\mu$ se retrouver dans l’intervalle pour chaque valeurs $\overline{x}\text{.}$ Pour cela, on utilise ensemble les commandes SI et ET. La commande SI retournera $1$ si sa condition est remplie et $0$ sinon. La condition en tant que telle sera donnée par la fonction ET, qui vérifiera si la véritable moyenne est dans l’intervalle. La formule ressemblera à SI(ET($B$4>=H2;$B$4<=I2);1;0). Dans cet exemple, la cellule B4 contient la vraie moyenne de la population et les cellules H2 et I2 sont respectivement les bornes inférieures et supérieures de l’intervalle de confiance;
Calculer la proportion des intervalles qui contiennent $\mu\text{.}$ Pour cela, il suffit de compter combien de $1$ ont été retournés par les fonctions SI et de diviser par le nombre d’échantillons totaux, soit $1000$ dans ce cas. Comparer avec le résultat « attendu » de $95\%\text{.}$ Au besoin, recalculer la feuille avec Shift+F9 si le calcul automatique est désactivé.

À présent, on s’intéresse au résultat des questions 5.1.2.c et 5.1.2.d du pré-laboratoire.

Créer une copie de la feuille Intervalle1 et modifier la valeur de $\alpha$ afin qu’elle corresponde à la valeur de l’exercice 5.1.2.c. Vérifier que la proportion des intervalles contenant la moyenne est près du niveau de confiance attendu et vérifier également que la marge d’erreur est d’environ $50$ secondes. en ajoutant une colonne ou une ligne «marge d’erreur».

Créer ensuite une série de nouvelles feuilles afin de tirer $100$ échantillons de la taille appropriée, soit celle calculée à la question 5.1.2.d. Vérifier que la proportion des intervalles contenant la moyenne est près du niveau de confiance $95\%$ et vérifier également que la marge d’erreur est d’environ $50$ secondes, comme il est attendu.

En vertu de ces constructions, est-ce que la réponse à l’exercice Tâche 5.1.2.e est toujours la bonne?

Sous-section 5.2.2 Intervalles pour une proportion

À l’Activité 4.3.7, on a considéré la proportion de trajets effectués en BIXI qui proviennent des membres de la plateforme. On va construire un intervalle de confiance pour ce paramètre. On note $\pi$ la proportion théorique de la population. On cherche à étudier le comportement d’un intervalle de confiance construit autour d’une estimation ponctuelle $p\text{.}$ Si l’on considère qu’être membre de BIXI est un succès, alors la variable $X$ représentant le nombre de membres dans un échantillon aléatoire pris avec remise suit une loi binomiale de paramètres $n,\pi\text{.}$ Sous les conditions $n\geq 30, n\pi\geq 5$ et $n(1-\pi)\geq 5\text{,}$ alors on peut montrer que la proportion $P=\frac{X}{n}$ se comporte approximativement comme une loi normale. On dit alors que

\begin{equation*} \frac{X}{n}\sim \mathcal{N}\left(\pi; \frac{\pi(1-\pi)}{n}\right) \end{equation*}

sous les conditions nommées plus haut.

Si $p$ est l’estimation ponctuelle provenant d’un échantillon, on a alors

\begin{equation*} \pi\in \left[p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}};p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right] \end{equation*}

à un niveau de confiance de $1-\alpha\text{.}$

Puisque le but est d’estimer la proportion $\pi$ inconnue, on remplace sa valeur dans l’intervalle par l’estimation

\begin{equation} \pi\in \left[p-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}};p+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right]\text{,}\tag{5.2.2} \end{equation}

ce qui constitue l’intervalle de confiance pour la proportion $\pi\text{.}$

Créer une nouvelle feuille de calculs appelée «Intervalle proportion1 ».
Comme on l’a fait à l’exercice 5.1.1.d, on commence par regarder la proportion des valeurs estimées $p$ se retrouve dans l’intervalle théorique $\left[\pi-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}};\pi+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right]\text{.}$ Le résultat devrait ressembler à celui de la figure Figure 5.2.1.
Pour chacun des $100$ échantillons générés à l’exercice 4.3.7, construire l’intervalle de confiance selon la formule (5.2.2) et vérifier dans combien de ces intervalles se trouve la véritable proportion $\pi\text{.}$

described in detail following the image — Figure 5.2.1. Proportion des estimations $p$ dans l’intervalle de confiance

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