Dans ce laboratoire, l’objectif est de poursuivre l’analyse d’une base de données en vérifiant s’il existe des liens entre deux variables à échelle nominale ou ordinale. Est-ce que des différences observées au niveau d’un échantillon sont assez significatives pour être généralisées à la population? Ceci se fait à l’aide d’un test d’indépendance du khi-deux. Les étapes d’un tel test sont présentées dans ce laboratoire.
On souhaite étudier la base nationale des collisions automobiles de \(2019\text{.}\) Plus spécifiquement, on s’intéresse aux liens possibles entre les variables présentées à la Section A.4. Comme dans le laboratoire 6 sur les tests d’hypothèse paramétriques, un canevas sera utilisé pour les tests d’indépendance du khi-deux.
Deux tests d’indépendance sont présentés. Un premier vérifiant s’il existe un lien ou non entre la gravité d’une collision et l’âge de la personne conductrice impliquée dans la collision; et un second vérifiant s’il existe un lien entre la gravité d’une collision et le type de mesures de sécurité. La gravité d’une collision est une variable qualitative nominale avec quatre modalités : une collision provoquant au moins une perte de vie (code \(1\) dans le fichier Excel), une collision provoquant une blessure non mortelle mais pas de perte de vie (code \(2\)), gravité inconnue (code U) et la juridiction ne fournit pas cet élément d’information (code X). Le type de dispositifs de sécurité est une variable qualitative nominale avec plusieurs modalités dont aucun dispositif de sécurité (codes 1, 12 ou 13 selon le type de véhicule), des ceintures (code 2), des sièges de bébé (codes 5 ou 6), des ports de casque (code 9), etc.
Puisque la base de données représente l’ensemble de toutes les collisions de l’année 2019, on sélectionne un échantillon aléatoire pour faire les tests d’indépendance, soit les données du mois de décembre.
Sous-section7.2.2Lien entre la gravité d’un accident et l’âge d’un conducteur
Les étapes pour réaliser un test d’indépendance du khi-deux entre une variable qualitative et une variable quantitative sont présentées. On souhaite vérifier s’il existe un lien entre la gravité d’un accident et l’âge de la personne conductrice. On choisit un seuil de signification de \(5\%\text{.}\)
Effectuer la procédure présentée au laboratoire 4 pour copier la feuille Test d’indépendance du fichier Canevas_tests_independance au classeur Données_Collisions.
Sous sous-section7.2.2.1Étapes d’un test d’indépendance avec au moins une variable quantitative
Lorsque l’on fait un test d’indépendance avec une variable quantitative continue, l’étape de la construction du tableau des effectifs observés peut être laborieuse. Il faut grouper les valeurs du tableau croisé dynamique généré dans des classes. De plus, il faut s’assurer que les effectifs théoriques sont assez grands.
La première étape d’un test d’indépendance consiste à définir ses variables et écrire les hypothèses nulle et alternative. Dans la cellule C4, taper « La gravité d’une collision ». Dans La cellule C5, taper « L’âge d’une personne conductrice » (voir la Figure 7.2.1).
Pour tout test d’indépendance, l’hypothèse nulle \(H_{0}\) est que les deux variables sont indépendantes. L’hypothèse alternative \(H_{1}\) est son contraire, soit que les deux variables sont dépendantes.
Dans l’encadré gris de la cellule D8, vis-à-vis \(H_{0}\text{,}\) taper « La gravité d’une collision et l’âge d’une personne conductrice sont indépendants» (voir la Figure 7.2.1). Dans l’encadré gris de la cellule D11, vis-à-vis \(H_{1}\text{,}\) taper « La gravité d’une collision et l’âge d’une personne conductrice sont dépendants» (voir la Figure 7.2.1)
Figure7.2.1.Remplissage des encadrés de la première étape d’un test d’indépendance entre la gravité d’une collision et l’âge d’une personne conductrice
Il faut commencer par générer un tableau croisé dynamique des effectifs observés. Dans la feuille Données_Collisions, sélectionner le tableau « Données ».
En suivant les étapes présentées à la Sous sous-section 1.2.6.1, générer, dans une nouvelle feuille de calcul qu’on renomme TCD_GraviteAge, un tableau croisé dynamique vide à partir du tableau Données. Placer ce tableau dans la cellule A3 (voir la Figure 7.2.2).
On veut maintenant grouper les valeurs de la variable Âge de \(0\) à \(100\) ans avec une amplitude de \(10\) ans. Il est important de se fier à la table de Sturges lorsque l’on fixe une amplitude. Cependant, on ne veut pas non plus avoir trop de classes avec peu d’effectifs observés pouvant mener au non-respect de la condition d’application du test d’indépendance de khi-deux.
Dans la colonne des étiquettes de lignes de la variable Âge, cliquer avec le bouton de droite de la souris une des valeurs de l’âge. Il importe peu laquelle. Sélectionner l’option Grouper (voir la Figure 7.2.4). Une boîte de dialogue s’affiche
Taper \(0\) comme valeur de début et \(10\) comme amplitude (voir la Figure 7.2.4). On choisit \(0\) comme valeur initiale, car on ne veut pas tenir compte des valeurs inférieures à \(0\text{,}\) c’est-à-dire les modalités \(-2\) et \(-1\) qui indiquent des informations inconnues par rapport à l’âge des personnes. Une fois le groupement fait, on peut filtrer les valeurs inférieures à \(0\text{.}\)
Glisser et déposer la variable Âge dans la zone de saisie Valeurs (voir la Figure 7.2.6). S’assurer que le calcul fait est bien le compte (Nombre) et non la somme. Si c’est la somme, changer pour Nombre avec les étapes vues à la Sous sous-section 1.2.6.2.
On ne veut inclure que les données du mois de décembre (code 12) et les usagers qui sont des conducteurs (code 1). On appliquer des filtres pour faire cela.
Glisser et déposer la variable Mois dans la zone de saisie Filtres. Le filtre apparaît dans les cellules A1:B1 (voir la Figure 7.2.6). Cliquer sur la flèche du menu déroulant de la cellule B1. Sélectionner \(12\) pour le mois de décembre (voir la Figure 7.2.6). Cliquer sur Ok.
Glisser et déposer la variable Usager dans la zone de saisie Filtres. Le filtre apparaît dans les cellules A2:B2 (voir la Figure 7.2.6). Cliquer sur la flèche du menu déroulant de la cellule B2. Sélectionner \(1\) pour le conducteur (voir la Figure 7.2.6). Cliquer sur Ok.
Selon le tableau de la Figure 7.2.7, deux conducteurs auraient entre \(0\) et \(10\) ans. En creusant la base de données, il est fort probable qu’il y a eu une erreur de saisie. Les données seront tout de même conservées, puisque deux unités statistiques sur \(14722\) ne feront pas une grande différence.
La première et la dernière classes ont peu d’individus. Il est fort probable que si on gardait les regroupements tels quels, les effectifs théoriques de ces classes seraient inférieurs à \(5\text{.}\) Ainsi, on va grouper les deux premières classes et les deux dernières classes pour s’assurer que la condition d’application du test soit respectée.
Pour regrouper des classes, le processus est un peu contre-intuitif. Il faut indiquer à Excel les classes qui ne seront pas regroupées. Dans ce cas, ce sont toutes les classes entre \(20\) ans et \(79\) ans. De cette façon, Excel regroupera en une classe les données avant la classe débutant à \(20\) ans et en une autre classe les données après la classe terminant à \(79\) ans.
Cliquer avec le bouton de droite sur n’importe quelle classe d’âge de la première colonne du tableau croisé dynamique. Sélectionner l’option Grouper (voir la Figure 7.2.10).
Taper \(20\) comme début et \(79\) comme fin (voir la Figure 7.2.10). Le tableau croisé dynamique des effectifs observés est présenté à la Figure 7.2.11.
Faire une mise en forme élémentaire du tableau. Le tableau final des effectifs observés doit ressembler au tableau de la Figure 7.2.14. Les couleurs et bordures importent peu ici. Si ceci était un tableau de présentation pour un rapport final, il faudrait peaufiner la mise en page ainsi que l’écriture des classes d’âge. Par exemple, au lieu de voir « < \(20\)», il faudrait voir « Moins de 20 ans ».
Copier la plage de cellules A18:D28, soit le tableau des effectifs observés. Faire un collage spécial en ne collant que les valeurs dans la cellule G18 (voir la Figure 7.2.15).
La formule pour calculer un effectif théorique est le total de la colonne multiplié par le total de la ligne, le tout divisé par la taille de l’échantillon. Dans la cellule H20, taper =H$28*$J20/$J$28 (voir la Figure 7.2.16).
Le symbole $ devant le nombre \(28\) permet de fixer la ligne à \(28\) lorsque la formule sera recopiée dans les cellules avoisinantes. Ainsi, le total de la ligne sera toujours celui de la ligne \(28\text{.}\) Le symbole $ devant la lettre J fige la valeur du total de la colonne.
Sélectionner la cellule H20. Placer le curseur dans le coin inférieur droit jusqu’à ce que la croix noire de recopie (+) apparaisse. Double-cliquer sur le coin inférieur droit. La formule se recopie jusqu’à la cellule H27 (voir la Figure 7.2.16). Il est également possible de garder enfoncer le curseur de la souris et de glisser la formule vers le bas.
La plage de cellules H20:H27 devrait toujours être sélectionnée. Placer le curseur dans le coin inférieur droit de la cellule H27 jusqu’à ce que la croix noire de recopie (+) apparaisse. Cliquer avec le bouton de gauche de la souris en gardant le bouton enfoncé et glisser le curseur vers la droite pour remplir les cellules I20:I27 (voir la Figure 7.2.16). Il est possible de voir que les effectifs observés et théoriques sont assez similaires.
Finalement, il ne reste qu’à vérifier si la condition d’application d’un test d’indépendance du khi-deux est respectée pour procéder à la prochaine étape. Tous les effectifs théoriques des cellules H20:I27 sont supérieurs à \(5\text{.}\) Ainsi, dans la case C34, taper « Oui, Tij > 5 » (voir la Figure 7.2.17).
À la troisième étape, on procède de deux façons pour en arriver à trouver une règle de décision. On utilise la technique avec la valeur p et la technique avec le khi-deux observé \(\chi^{2}_{obs}\text{.}\) Il faut remplir les cases grisées, soit la valeur p (l’aire à droite du khi-deux observé), le degré de liberté et le seuil de signification \(\alpha\text{.}\) Les cases roses se rempliront automatiquement, car les formules pour le calcul des khi-deux respectifs sont inscrites. La fonction Excel LOI.KHIDEUX.INVERSE.DROITE est utilisée. Elle nécessite deux paramètres, soit l’aire à droite d’une valeur de khi-deux et le degré de liberté.
La fonction Excel CHISQ.TEST permet de calculer la valeur p. Il faut inscrire la plage des effectifs observés ainsi que la plage des effectifs théoriques.
Dans la cellule B40, taper =CHISQ.TEST(B20:C27;H20:I27) (voir la Figure 7.2.18). Il est possible de sélectionner les plages de cellules au lieu de taper la formule.
Dans la cellule B41, taper =(8-1)*(2-1), soit le calcul du degré de liberté d’un test d’indépendance. On le calcule en multipliant le nombre de modalités de la première variable moins \(1\) et le nombre de modalités de la deuxième variable moins \(1\) (voir la Figure 7.2.18).
Sous-section7.2.3Lien entre la gravité d’un accident et le type de mesures de sécurité utilisées
Les étapes pour réaliser un test d’indépendance du khi-deux entre deux variables qualitatives sont présentées dans cette sous-section. On souhaite vérifier s’il existe un lien entre la gravité d’un accident et le type de mesures de sécurité utilisées. Il est attendu que la gravité d’un accident dépende des mesures de sécurité utilisées. Selon la Sûreté du Québec, le port de la ceinture et plusieurs autres dispositifs de sécurité comme les sièges pour bébé diminuent la gravité des blessures 1
Effectuer la procédure présentée au laboratoire 4 pour copier la feuille Test d’indépendance du fichier Canevas_tests_independance au classeur Données_Collisions. Une fois fait, fermer le fichier Canevas_tests_independance.xlsx.
Dans le classeur Données_Collisions, sélectionner la feuille Test d’indépendance. Renommer cette feuille « Test Khi-Deux Sécurité» et la placer en dernière position.
La première étape d’un test d’indépendance consiste à définir ses variables et écrire les hypothèses nulle et alternative. Dans la cellule C4, taper « La gravité d’une collision ». Dans La cellule C5, taper « Les mesures de sécurité » (voir la Figure 7.2.20).
Pour tout test d’indépendance, l’hypothèse nulle \(H_{0}\) est que les deux variables sont indépendantes. L’hypothèse alternative \(H_{1}\) est son contraire, soit que les deux variables sont dépendantes.
Dans l’encadré gris de la cellule D8, vis-à-vis \(H_{0}\text{,}\) taper « La gravité d’une collision et les mesures de sécurité utilisées sont indépendantes » (voir la Figure 7.2.20). Dans l’encadré gris de la cellule D11, vis-à-vis \(H_{1}\text{,}\) taper « La gravité d’une collision et les mesures de sécurité utilisées sont dépendantes » (voir la Figure 7.2.20)
Figure7.2.20.Remplissage des encadrés de la première étape d’un test d’indépendance entre la gravité d’une collision et les mesures de sécurité utilisées
Il faut commencer par générer un tableau croisé dynamique des effectifs observés. Dans la feuille Données_Collisions, sélectionner le tableau « Données ».
En suivant les étapes présentées à la Sous sous-section 1.2.6.1, générer, dans une nouvelle feuille de calcul qu’on renomme TCD_GraviteSécurité, un tableau croisé dynamique vide à partir du tableau Données. Placer ce tableau dans la cellule A3 (voir la Figure 7.2.21).
Glisser et déposer la variable Mesures de sécurité dans la zone de saisie Valeurs (voir la Figure 7.2.21). S’assurer que le calcul fait est bien le compte (Nombre) et non la somme. Si c’est la somme, changer pour Nombre avec les étapes vues à la Sous sous-section 1.2.6.2.
Glisser et déposer la variable Mois dans la zone de saisie Filtres. Le filtre apparaît dans les cellules A1:B1 (voir la Figure 7.2.21). Cliquer sur la flèche du menu déroulant de la cellule B1. Sélectionner \(12\) pour le mois de décembre (voir la Figure 7.2.21). Cliquer sur Ok.
Ce tableau croisé dynamique présente deux difficultés pour la poursuite d’un test d’indépendance du khi-deux. Premièrement, on ne veut pas inclure les modalités NN, QQ et UU, car elles n’offrent aucune information. On rappelle que ce sont les codes pour « l’élément d’information est sans objet », « autre situation que les précédentes » et « Inconnu ». Deuxièmement, les modalités \(9\text{,}\)\(10\) et \(13\) ont peu d’effectifs observés. En soi, ce n’est pas un problème. Cependant, le calcul d’effectifs théoriques impliquant ces modalités vont engendrer des valeurs inférieures à \(5\text{.}\) Ainsi, pour éviter d’avoir des effectifs théoriques inférieurs à \(5\text{,}\) on doit regrouper des modalités à échelle nominale.
Remarque7.2.23.Regrouper les valeurs d’une variable à échelle nominale.
Pour regrouper les valeurs d’une variable à échelle nominale, il est suggéré d’y aller avec la logique. Dans le cas des dispositifs de sécurité, les modalités \(1\text{,}\)\(12\) et \(13\) sont des catégories dans lesquelles aucun dispositif de sécurité n’a été utilisé. Il y a donc un lien logique à regrouper ces catégories. Les modalités \(2\text{,}\)\(9\) et \(10\) sont des catégories dans lesquelles une mesure de sécurité a été utilisée (ceinture, port de casque et port de vêtements réfléchissants respectivement). Il est donc logique de regrouper ces trois modalités.
On veut maintenant grouper certaines modalités de la variable Mesures de sécurité. Puisque les valeurs des modalités sont des codes numériques non consécutifs, il sera plus facile de les grouper s’ils sont placés l’un à la suite de l’autre dans l’ordre de groupement. Excel permet de déplacer des modalités.
Dans la colonne des étiquettes de lignes de la variable Mesures de sécurité, cliquer avec le bouton de gauche de la souris sur la valeur \(12\) telle que cette dernière est encadrée d’une bordure verte. Ensuite, cliquer avec le bouton de droite de la souris sur la valeur \(12\text{.}\) Sélectionner l’option Déplacer (voir la Figure 7.2.24), suivi de l’option Déplacer « 12 » vers le haut.
On va faire de même pour les modalités \(10\) et \(13\text{.}\) Dans la colonne des étiquettes de lignes de la variable Mesures de sécurité, cliquer avec le bouton de droite de la souris sur la valeur \(10\text{.}\) Sélectionner l’option Déplacer (voir la Figure 7.2.24), suivi de l’option Déplacer « 10 » vers le bas. Au final, les modalités \(1\text{,}\)\(12\) et \(13\) sont l’une à la suite de l’autre ainsi que les modalités \(10\text{,}\)\(2\) et \(9\) (voir la Figure 7.2.25).
Dans la colonne des étiquettes de lignes de la variable Mesures de sécurité, lorsque la flèche noire pointant vers la droite apparaît, sélectionner les trois lignes des modalités \(1\text{,}\)\(12\) et \(13\) (voir la Figure 7.2.26).
Une fois les lignes grisées, cliquer avec le bouton de droite de la souris et sélectionner l’option Grouper (voir la Figure 7.2.26). Excel groupe les trois modalités dans un groupe intitulé Groupe 1 (voir la Figure 7.2.27).
À gauche du nom Groupe 1, il y a un icône -. Cliquer cette icône pour réduire les modalités de ce groupe, c’est-à-dire pour rendre la lecture moins encombrante (voir la Figure 7.2.26).
Dans la colonne des étiquettes de lignes de la variable Mesures de sécurité, lorsque la flèche noire pointant vers la droite apparaît, sélectionner les trois lignes des modalités \(10\text{,}\)\(2\) et \(9\) (voir la Figure 7.2.26).
Cliquer avec le bouton de droite de la souris et sélectionner l’option Grouper (voir la Figure 7.2.26). Le Groupe 2 est créé. Cliquer sur l’icône - à gauche de Groupe 2 pour réduire les modalités de ce groupe.
Pour filtrer les modalités \(NN\text{,}\)\(QQ\) et \(UU\text{,}\) cliquer sur le petit triangle du menu déroulant de l’étiquette de lignes (voir la Figure 7.2.29).
Faire une mise en forme élémentaire du tableau. Le tableau final des effectifs observéss doit ressembler au tableau de la Figure 7.2.33. Les couleurs et bordures importent peu ici. Si ceci était un tableau de présentation pour un rapport final, il faudrait peaufiner la mise en page.
Copier la plage de cellules A18:D22, soit le tableau des effectifs observés. Faire un collage spécial en ne collant que les valeurs dans la cellule G18 (voir la Figure 7.2.34).
La formule pour calculer un effectif théorique est le total de la colonne multiplié par le total de la ligne divisé par la taille de l’échantillon. Dans la cellule H20, taper =H$22*$J20/$J$22 (voir la Figure 7.2.34).
Sélectionner la cellule H20. Placer le curseur dans le coin inférieur droit jusqu’à ce que la croix noire de recopie (+) apparaisse. Cliquer avec le bouton de gauche de la souris en gardant le bouton enfoncé et glisser le curseur vers le bas jusqu’à la cellule H21. Relâcher le bouton de gauche de la souris. Avec la plage H20:H21 sélectionnée, placer encore une fois le curseur dans le coin inférieur droit et glisser vers la droite pour remplir les cellules I20:I21 (voir la Figure 7.2.34).
Finalement, il ne reste qu’à vérifier si la condition d’application d’un test d’indépendance du khi-deux est respectée pour procéder à la prochaine étape. Tous les effectifs théoriques des cellules H20:I21 sont supérieurs à \(5\text{.}\) Ainsi, dans la case C34, taper taper « Oui, Tij > 5 ».
À la troisième étape, on procède de deux façons pour en arriver à trouver une règle de décision. On utilise la valeur p et le khi-deux observé \(\chi^{2}_{obs}\text{.}\) Il faut remplir les cases grisées, soit la valeur p (l’aire à droite du khi-deux observé), le degré de liberté et le seuil de signification \(\alpha\text{.}\) Les cases roses se rempliront automatiquement, car les formules pour le calcul des khi-deux respectifs sont inscrites. La fonction Excel LOI.KHIDEUX.INVERSE.DROITE est utilisée. Elle nécessite deux paramètres, soit l’aire à droite d’une valeur de khi-deux et le degré de liberté.
La fonction Excel CHISQ.TEST permet de calculer la valeur p. Il faut inscrire la plage des effectifs observés ainsi que la plage des effectifs théoriques.
Dans la cellule B40, taper =CHISQ.TEST(B20:C21;H20:I21) (voir la Figure 7.2.35). Il est possible de sélectionner les plages de cellules au lieu de taper la formule.
Dans la cellule B41, taper =(2-1)*(2-1), soit le calcul du degré de liberté d’un test d’indépendance. On le calcule en multipliant le nombre de modalités de la première variable moins \(1\) et le nombre de modalités de la deuxième variable moins \(1\) (voir la Figure 7.2.35).
Dans la cellule A56, écrire un texte qui permet de conclure s’il existe un lien entre les variables Gravité et Mesures de sécurité (voir la Figure 7.2.36).
