MaDIR Opérations sur les ensembles

Section 1.2 Opérations sur les ensembles

Introduction.

Il est possible de combiner des ensembles de différentes manières. On pourrait vouloir créer à partir de deux ensembles \(A\) et \(B\) un nouvel ensemble qui contiendrait tous les éléments qui sont dans \(A\) ou \(B\text{,}\) ceux qui sont à la fois dans \(A\) et \(B\) et ainsi de suite. On verra que ces opérations obéissent à des propriétés particulières, qui reviendront aussi dans le chapitre 2.

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Dans cette section, on définit l’union, l’intersection, le produit cartésien et la différence de deux ensembles. On définit aussi le complément d’un ensemble par rapport à un ensemble univers \(\Omega\text{.}\)

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Sous-section 1.2.1 Opérations élémentaires sur les ensembles

La première opération que l’on considère est celle qui, à partir de deux ensembles, crée un nouvel ensemble dont les éléments sont dans au moins l’un des deux ensembles. On l’appelle l’union.

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Définition 1.2.1. L’union de deux ensembles.

Soit \(A\) et \(B\) des ensembles quelconques. L’union de \(A\) et \(B\text{,}\) notée \(A\cup B\) est l’ensemble qui contient tous les éléments qui sont dans \(A\) ou dans \(B\text{,}\) potentiellement les deux:

\begin{equation*} A\cup B=\{c~|~ c\in A \text{ ou } c\in B\}\text{.} \end{equation*}

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Le mot « ou » n’a pas la même signification ici que dans la langue usuelle. On parle d’un « ou » inclusif. L’opération qui crée un ensemble dont les éléments sont dans \(A\) ou dans \(B\text{,}\) mais pas les deux est appelée la différence symétrique (voir exercice 1.2.4.5). C’est l’équivalent d’un « ou » exclusif.

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Exemple 1.2.2. L’union de deux ensembles.

Soit \(A=\{a,b,c,d\}\) et \(B=\{1,2,c,d,e\}\) deux ensembles. On cherche à écrire \(A\cup B\) en extension.

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Solution.

L’union est \(A\cup B=\{a,b,c,d,e,1,2\}\text{.}\) À remarquer qu’on ne met qu’une fois les éléments, comme le veut la définition d’un ensemble.

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La deuxième opération est celle qui, à partir de deux ensembles, crée un nouvel ensemble dont les éléments sont simultanément dans \(A\) et \(B\text{.}\) On l’appelle l’intersection.

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Définition 1.2.3. L’intersection de deux ensembles.

Soit \(A\) et \(B\) des ensembles quelconques. L’intersection de \(A\) et \(B\text{,}\) notée \(A\cap B\) est l’ensemble qui contient tous les éléments qui sont dans \(A\) et dans \(B\text{:}\)

\begin{equation*} A\cap B=\{c~|~ c\in A \text{ et } c\in B\}\text{.} \end{equation*}

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Deux ensembles dont l’intersection est vide sont dits disjoints.

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Exemple 1.2.4. L’intersection de deux ensembles.

On reprend les ensembles \(A=\{a,b,c,d\}\) et \(B=\{1,2,c,d,e\}\text{.}\) On cherche à écrire \(A\cap B\) en extension.

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Solution.

L’intersection est \(A\cap B=\{c,d\}\text{.}\)

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L’union et l’intersection de deux ensembles sont illustrées à la figure 1.2.5.

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Le diagramme de Venn de deux ensembles est illustré, avec l’union de A et B colorée. — Figure 1.2.5. L’union (à gauche) et l’intersection (à droite) de deux ensembles \(A\) et \(B\)
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Le diagramme de Venn de deux ensembles est illustré, avec l’intersection de A et B colorée. — Figure 1.2.5. L’union (à gauche) et l’intersection (à droite) de deux ensembles \(A\) et \(B\)
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L’union de deux ensembles est en quelque sorte une addition sur ces ensembles et l’intersection est une sorte de multiplication. Il y a quelques subtilités et différences, mais les propriétés de ces opérations, énoncées à la sous-section 1.2.2 iront dans ce sens. On définit maintenant la différence entre deux ensembles.

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Définition 1.2.6. La différence de deux ensembles.

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. La différence entre \(A\) et \(B\text{,}\) notée \(A-B\) (\(A\) moins \(B\)) est un ensemble dont les éléments sont tous dans \(A\text{,}\) mais pas dans \(B\text{:}\)

\begin{equation*} A-B=\{a\in A~|~ a\notin B\}\text{.} \end{equation*}

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La différence est parfois aussi notée \(A\backslash B\) et on dit aussi \(A\) sauf \(B\text{.}\) On préfèrera la notation \(A-B\text{,}\) car elle se conforme avec celle utilisée par Sage.

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Exemple 1.2.7. La différence de deux ensembles.

Soit \(A=\{a,b,c,d\}\) et \(B=\{1,2,c,d,e\}\text{.}\) On cherche à décrire en extension les ensembles \(A-B\) et \(B-A\) (vont-ils être égaux?)

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Solution.

Pour l’ensemble \(A-B\text{,}\) on retranche les éléments de \(A\) qui sont aussi dans \(B\text{.}\) Il reste \(A-B=\{a,b\}\text{.}\)

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Pour ce qui est de \(B-A\text{,}\) on obtient \(B-A=\{1,2,e\}\text{.}\)

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Lorsqu’un ensemble est vu comme un sous-ensemble d’un ensemble univers \(\Omega\text{,}\) on donne un nom particulier aux éléments qui sont dans \(\Omega\text{,}\) mais pas dans \(A\text{.}\) C’est le complément de \(A\text{.}\)

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Définition 1.2.8. Le complément d’un ensemble.

Soit \(A\) un ensemble à l’intérieur d’un ensemble univers \(\Omega\text{.}\) On appelle le complément de \(A\) l’ensemble des éléments de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(A\) et on le note:

\begin{equation*} A^c=\Omega-A\text{.} \end{equation*}

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On utilise parfois aussi la notion \(\bar{A}\) ou \(A^{'}\) pour désigner le complément.

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Exemple 1.2.9. Le complément d’ensembles.

On considère les ensembles \(A=\{0,2,4,6,8,10\}\) et \(B=\{n\in \N ~|~ n\leq 7\}\text{.}\) On cherche à décrire les compléments de \(A\) et \(B\) par rapport aux ensembles \(\Omega_1=\{n\in \N ~|~ n\leq 10\}\) et \(\Omega_2=\N\text{.}\)

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Solution.

On commence par trouver les compléments par rapport à l’ensemble univers \(\Omega_1\text{.}\) Pour \(A\text{,}\) on remarque que les éléments sont les nombres pairs plus petits ou égaux à \(10\text{.}\) Dans \(\Omega_1\text{,}\) son complément sera alors \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\text{.}\) Pour \(B\text{,}\) on cherche tous les nombres naturels qui sont inférieurs ou égaux à \(10\) (donc dans \(\Omega_1\)), mais pas inférieurs ou égaux à \(7\) (donc dans \(B\)). Il reste donc \(B^c=\{8,9,10\}\text{.}\)

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Maintenant pour \(\Omega_2\text{,}\) on observe que l’ensemble est infini. On pourrait écrire \(A^c=\{1,3,5,7,9,11,12,13,14,15,\ldots\}\text{,}\) mais comme la suite logique est en deux parties (d’abord, les impairs inférieurs à \(10\text{,}\) puis tous les nombres naturels plus grands que \(10\)), on pourrait préférer l’écrire en deux parties:

\begin{equation*} A^c=\{1,3,5,7,9\}\cup\{11,12,13,14,\ldots\}\text{.} \end{equation*}

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Pour l’ensemble \(B\text{,}\) on peut utiliser une description en compréhension assez claire:

\begin{equation*} B^c=\{n\in \N~|~ n\geq 8\}\text{.} \end{equation*}

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Une dernière opération sur les ensembles que l’on considère est le produit cartésien. Celle-ci sera particulièrement utile pour définir d’autres concepts de manières adéquates. On introduit dans un premier temps la notion de paires ordonnées.

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Définition 1.2.10. Paire ordonnée.

Une paire ordonnée, ou couple, est une collection de deux objets dont l’ordre est important. On la note \((a,b)\) avec \(a,b\) des objets quelconques. Pour deux paires ordonnées \((a_1,b_1),(a_2,b_2)\text{,}\) on a \((a_1,b_1)=(a_2,b_2)\) si et seulement si \(a_1=a_2\) et \(b_1=b_2\text{.}\)

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Définition 1.2.11. Le produit cartésien.

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(A\) par \(B\text{,}\) noté \(A\times B\) est l’ensemble de toutes les paires ordonnées \((a,b)\) formées à partir des éléments des ensembles \(A,B\text{:}\)

\begin{equation*} A\times B=\{(a,b)~|~a\in A\text{ et }b\in B\}\text{.} \end{equation*}

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Exemple 1.2.12. Le produit cartésien de deux ensembles.

On considère les ensembles \(A=\{a,b\}\) et \(B=\{0,1,2\}\text{.}\) On cherche à décrire le produit cartésien \(A\times B\) en extension.

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Solution.

On doit énumérer toutes les paires ordonnées possibles. On verra au chapitre 4 comment compter le nombre de paires. Voici une méthode simple pour les énumérer sans en oublier lorsque les ensembles sont finis.

On prend le premier élément de \(A\) et on crée toutes les paires ordonnées possibles contenant cet élément.
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On répète avec les autres éléments de \(A\) jusqu’à épuisement de l’ensemble \(A\text{.}\)
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On a donc \(A\times B=\{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)\}\text{.}\)

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Sous-section 1.2.2 Propriétés des opérations élémentaires

Les opérations définies à la sous-section précédente peuvent interagir de plusieurs manières entre elles et être combinées. On peut les démontrer de plusieurs manières. On en présente deux ci-dessous. On donne la liste des propriétés dans un premier temps et on effectue la démonstration de deux d’entre elles par la suite. Les exercices complèteront les preuves. Pour chaque propriété, \(A,B,C\) sont des ensembles quelconques et \(\Omega\) est un ensemble univers avec \(A\subseteq \Omega\text{.}\)

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Liste 1.2.13. Propriétés des opérations sur les ensembles

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Les propriétés d’identité:
- \(\displaystyle A\cup \emptyset =A\)
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- \(\displaystyle A\cap \Omega =A\)
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Ajouter le vide à \(A\) ne change pas \(A\text{,}\) et comme \(A\subseteq \Omega\text{,}\) l’intersection avec \(\Omega\) redonne \(A\text{.}\)

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Les propriétés d’idempotence:
- \(\displaystyle A\cup A =A\)
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- \(\displaystyle A\cap A =A\)
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Les propriétés de domination:
- \(\displaystyle A\cup \Omega=\Omega\)
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- \(\displaystyle A\cap \emptyset=\emptyset\)
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Les propriétés de complémentarité et de complétude:
- \(\displaystyle (A^c)^c=A\)
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- \(\displaystyle A\cup A^c=\Omega\)
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- \(\displaystyle A\cap A^c=\emptyset\)
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Les propriétés d’absorption:
- \(\displaystyle A\cup(A\cap B)=A\)
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- \(\displaystyle A\cap(A\cup B)=A\)
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Les propriétés de commutativité:
- \(\displaystyle A\cup B=B\cup A\)
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- \(\displaystyle A\cap B=B\cap A\)
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Les propriétés d’associativité:
- \(\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)
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- \(\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
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Ceci fait en sorte qu’on peut écrire \(A\cup B\cup C\) ou \(A\cap B\cap C\) sans aucun souci de clarté, l’ordre n’étant pas important.

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Les propriétés de distributivité
- \(\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)
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- \(\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\)
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Ici par contre, les parenthèses sont importantes pour préciser quelles des deux opérations on veut effectuer en premier.
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Les lois de De Morgan:
- \(\displaystyle (A\cap B)^c=A^c\cup B^c\)
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- \(\displaystyle (A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)
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Beaucoup de ces propriétés sont intuitives quand on prend le temps d’y réfléchir un instant. L’analogie de l’addition et de la multiplication mentionnée plus tôt faisait référence aux propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité avec une subtilité/différence à trouver! On démontre la propriété 1.2.13:7 ci-dessous afin d’illustrer deux techniques de preuves utilisées dans la théorie des ensembles.

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Proposition 1.2.14. L’union et l’intersection ont la propriété d’associativité.

Soit \(A,B,C\) trois ensembles quelconques. Alors

\begin{align*} A\cup(B\cup C)&=(A\cup B)\cup C\\ A\cap(B\cap C)&=(A\cap B)\cap C\text{.} \end{align*}

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Démonstration.

Pour démontrer l’identité de l’union, on utilise une table d’appartenance. Ce type de table reviendra dans la section 2.1 (sous le nom de table de vérité). Voici comment remplir une telle table.

Sur la première ligne, on met tous les ensembles pertinents à notre égalité, en commençant par les ensembles les plus simples à la gauche.
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En fonction du nombre d’ensembles seuls, on remplit les lignes sous les premières colonnes (ne contenant qu’un ensemble seul) avec des « non » (signifiant que l’élément n’est pas dans l’ensemble) ou « oui » (signifiant l’appartenance de l’élément à l’ensemble) afin d’obtenir toutes les combinaisons possibles.
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On remplit le reste de la table en utilisant la définition des opérations utilisées.
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L’égalité est vraie si les colonnes correspondant aux membres de part et d’autre de l’égalité sont identiques.

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Voici la table pour l’identité \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)

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Table 1.2.15. Table d’appartenance pour \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)

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\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(A\cup B\)	\(B\cup C\)	\(A\cup (B\cup C)\)	\((A\cup B)\cup C\)
oui	non	non	oui	non	oui	oui
oui	non	oui	oui	oui	oui	oui
oui	oui	non	oui	oui	oui	oui
oui	oui	oui	oui	oui	oui	oui
non	non	non	non	non	non	non
non	non	oui	non	oui	oui	oui
non	oui	non	oui	oui	oui	oui
non	oui	oui	oui	oui	oui	oui

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Démonstration.

On démontre l’identité de l’intersection avec le concept de sous-ensemble et d’égalité: si \(E,F\) sont des ensembles tels que \(E\subseteq F\) et \(F\subseteq E\text{,}\) alors \(E=F\text{.}\) Pour ce faire, on commence par montrer que \(A\cap(B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C\text{.}\)

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On veut montrer qu’un élément arbitraire de \(A\cap(B\cap C)\) sera aussi dans \((A\cap B)\cap C\text{.}\) Pour cela, il peut-être utile de transposer l’ensemble en mots. Soit \(a\in A\cap(B\cap C)\text{.}\) Alors l’élément \(a\) est dans l’intersection de \(A\) et de \((B\cap C)\) (en résolvant l’intersection extérieure à la parenthèse) et donc, \(a\in A\) et \(a\in (B\cap C)\text{.}\) Puisqu’on sait maintenant que \(a\in (B\cap C)\text{,}\) on peut aussi dire que \(a\in B\) et \(a\in C\text{.}\) Donc \(a\) est dans chacun des trois ensembles \(A,B,C\) (sous l’hypothèse initiale que \(a\in A\cap(B\cap C)\)).

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En particulier, puisque \(a\) est dans \(A\) et \(B\text{,}\) on obtient que \(a\in (A\cap B)\text{.}\) Finalement, en utilisant le fait que \(a\in C\text{,}\) on a que \(a\in (A\cap B)\) et \(a\in C\) et donc, \(a\in (A\cap B)\cap C\text{.}\) On a bel et bien \(A\cap(B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C\text{.}\)

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L’idée pour montrer l’autre direction, soit que \((A\cap B)\cap C\subseteq A\cap(B\cap C)\) est identique.

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Soit \(b\) un élément arbitraire de \((A\cap B)\cap C\text{.}\) Alors \(b\) est dans l’intersection de \(A\cap B\) et de \(C\text{.}\) En particulier, \(b\) est dans \(C\text{.}\) Puisque \(b\) est dans l’intersection de \(A\) et \(B\text{,}\) on voit que \(b\) est à la fois dans \(A\) et dans \(B\) (et dans \(C\text{!}\)). Comme \(b\) est à la fois dans \(B\) et dans \(C\text{,}\) il est dans leur intersection. En combinant cela avec le fait que \(b\in A\text{,}\) on obtient que \(b\) est dans l’intersection de \(A\) et \(B\cap C\text{.}\) Ainsi \(b\in A\cap(B\cap C) \text{.}\)

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Comme \(A\cap(B\cap C)\subseteq (A\cap B)\cap C\) et \(A\cap(B\cap C)\supseteq (A\cap B)\cap C\text{,}\) on conclut finalement que \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\text{.}\)

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En résumé.

Les points importants de cette section sont:

L’opération union de deux ensembles;
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L’opération intersection de deux ensembles;
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L’opération différence de deux ensembles;
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L’opération complément d’un ensemble par rapport à l’ensemble univers;
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L’opération produit cartésien de deux ensembles;
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Les propriétés de ces opérations.
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Questions de compréhension de la lecture 1.2.3 Questions de compréhension de la lecture

Répondre à ces questions suite à la lecture du texte qui précède pour valider la compréhension.

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1.

Soit \(A=\{a,b,c,d\}\) et \(B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\) vivant dans l’ensemble univers \(\Omega =\{l ~|~ l \text{ est une lettre de l'alphabet comprise entre } a \text{ et } j \text{ inclusivement } \}\text{.}\) Déterminer:

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(a)

\(A\cup B\)

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(b)

\(A\cap B\)

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(c)

\(A- B\)

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(d)

\(B-A\)

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(e)

\(A^c\)

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(f)

\(B^c\)

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2.

Dessiner l’ensemble \(A-B\) sur le diagramme de Venn de la figure suivante.

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Un diagramme de Venn contenant des ensembles A et B quelconques est illustré. — Figure 1.2.16. Un diagramme de Venn vide
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3.

Déterminer le produit cartésien de \(A=\{\text{Salade repas},\text{Burger du chef},\text{La prise du jour},\text{Soupe deluxe}\}\) et \(B=\{\text{Brownie décadent},\text{Tarte succulente},\text{Gâteau alléchant}\}\text{.}\) Quel est votre élément favori de \(A\times B\text{?}\)

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4.

On considère l’ensemble \(S=\{n\in \N~|~ n \text{ divise } 6\}\text{.}\)

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(a)

Donner \(\mathscr{P}(S)\text{.}\)

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(b)

Trouver un ensemble \(B\in\mathscr{P}(S)\) tel que \(|B|=3\)

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(c)

Trouver un ensemble \(C\subseteq\mathscr{P}(S)\) tel que \(|C|=3\)

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(d)

Un étudiant affirme avoir trouvé \(D\in \mathscr{P}(S)\) tel que \(|D|=6\text{.}\) Donner un exemple d’un tel ensemble ou expliquer pourquoi ce n’est pas possible.

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(e)

Un étudiant affirme avoir trouvé \(E\subseteq \mathscr{P}(S)\) tel que \(|E|=6\text{.}\) Donner un exemple d’un tel ensemble ou expliquer pourquoi ce n’est pas possible.

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5.

Noter toute question qui demeure suite à la lecture de la section et la résolution des exercices ci-dessus ou toute précision/clarification à apporter. Note: cette question est facultative.

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Exercices 1.2.4 Exercices

À faire en classe.

Ces exercices sont faits pour travailler en classe. Ils servent à approfondir les notions de la section et à atteindre les objectifs d’apprentissage plus avancés.

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1.

Soit \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\text{,}\) \(B=\{0,3,6,9\}\) et \(\Omega=\{n\in \N~|~ n\leq 10\}\text{.}\) Déterminer:

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(a)

\(A\cup B\)

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Réponse.

\(A\cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,9\}\)

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(b)

\(A\cap B\)

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Réponse.

\(A\cap B = \{0,3\}\)

🔗

(c)

\(A- B\)

🔗

Réponse.

\(A-B=\{1,2,4,5\}\)

🔗

(d)

\(B-A\)

🔗

Réponse.

\(B-A=\{6,9\}\)

🔗

(e)

\(A^c\)

🔗

Réponse.

\(A^c=\{6,7,8,9,10\}\)

🔗

(f)

\(B^c\)

🔗

Réponse.

\(B^c=\{1,2,4,5,7,8,10\}\)

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2.

On a vu les propriétés de distributivité pour combiner l’union et l’intersection. Cet exercice vise à montrer d’une autre manière que les parenthèses sont importantes.

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(a)

Un diagramme de Venn contenant des ensembles A, B et C quelconques est illustré. — Figure 1.2.17. Un diagramme de Venn vide
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Sur des diagrammes de Venn comme celui de la figure 1.2.17, illustrer les ensembles suivants:

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(i)

\(A\cup (B\cap C)\)

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Réponse.

Un diagramme de Venn à trois ensembles dans lequel A et C sont ombragés, sauf pour leur intersection. — Figure 1.2.18. Le diagramme de Venn de \(A\cup (B\cap C)\)
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(ii)

\((A\cup B)\cap C\)

🔗

Réponse.

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(b)

Expliquer pourquoi, à partir du résultat de la partie précédente, il n’est pas nécessaire de montrer que \(A\cap(B\cup C)\neq (A\cap B)\cup C\text{.}\)

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Indice.

Interchanger les rôles de \(A\) et \(C\) et utiliser la commutativité.

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3.

Sur un diagramme de Venn comme celui de la figure 1.2.17, illustrer les ensembles suivants.

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(a)

\(A^c\cap B\cap C\)

🔗

Réponse.

🔗

(b)

\(A^c\cap B^c\cap C\)

🔗

Réponse.

🔗

(c)

\(A^c\cap B^c\cap C^c\)

🔗

Réponse.

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(d)

Utiliser les parties précédentes et un argument de symétrie pour illustrer:

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(i)

\(A\cap B^c\cap C\) et \(A\cap B\cap C^c\text{.}\)

🔗

Solution.

Ici, on remarque que ces expressions sont les mêmes que l’expression \(A^c\cap B\cap C\) si on intervertit l’ensemble \(A\) avec l’ensemble \(B\) ou \(C\text{.}\) Ainsi, on peut obtenir les diagrammes de Venn en inversant les lettres.

🔗

(ii)

\(A^c\cap B\cap C^c\) et \(A\cap B^c\cap C^c\text{.}\)

🔗

Solution.

Encore une fois, on remarque que ces expressions sont les mêmes que l’expression \(A^c\cap B^c\cap C\) si on intervertit l’ensemble \(A\) ou l’ensemble \(B\) avec l’ensemble \(C\text{.}\) Ainsi, on peut obtenir les diagrammes de Venn en inversant les lettres.

🔗

4.

Pour chaque diagramme de Venn ci-dessous, décrire l’ensemble ombragé en fonction des ensembles \(A,B,C\) et des opérations élémentaires d’union, d’intersection et de complément.

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(a)

Réponse.

\((A\cup C)\cap(A\cap C)^c=(A\cap C^c)\cup (A^c\cap C)\text{.}\)

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(b)

Un diagramme de Venn à trois ensembles dans lequel C est ombragé, sauf la partie commune avec uniquement A . — Figure 1.2.28. Le diagramme de Venn d’un ensemble
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Réponse.

\((C\cap B)\cup(C\cap A^c) \text{.}\)

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5.

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles quelconques. On définit la différence symétrique de \(A\) et \(B\text{,}\) note \(A\oplus B\)

En effet, l’utilisation du symbole d’addition ne semble pas compatible avec le nom.

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, comme l’ensemble des éléments qui sont dans \(A\) ou \(B\text{,}\) mais pas les deux.

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(a)

Donner la différence symétrique des ensembles \(A,B\) de l’exercice 1.2.4.1.

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Réponse.

\(\{1,2,4,5,6,9\}\)

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(b)

Sur un diagramme de Venn comme celui de la figure 1.2.16, illustrer l’ensemble \(A\oplus B\text{.}\)

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Réponse.

Figure 1.2.29. Le diagramme de Venn de \(A\oplus B\)
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(c)

Sans faire une preuve complète (pour l’instant), expliquer intuitivement pourquoi \(A\oplus B=B\oplus A\)

Finalement, c’est peut-être le nom « différence » qui est mal choisi, pas le symbole \(\oplus\text{.}\)

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Réponse.

Car de dire qu’un élément est dans \(A\) ou \(B\) est équivalent à dire qu’un élément est dans \(B\) ou \(A\text{.}\)

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De même, de dire qu’un élément est dans \(A\) et \(B\) est équivalent à dire qu’un élément est dans \(B\) et \(A\text{.}\)

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(d)

Sans faire une preuve complète (pour l’instant), expliquer intuitivement pourquoi \((A\oplus B)\oplus B=A\)

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Indice.

Il peut être utile de revoir le diagramme de Venn de la partie 1.2.4.5.b.

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Réponse.

L’union de \(A \oplus B \) avec \(B\) est \(A\cup B\text{,}\) alors que l’intersection de \(A \oplus B \) avec \(B\) est \(B-A\text{.}\)

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Ainsi, \((A\oplus B)\oplus B\) est l’ensemble contenant les éléments de \(A\cup B\text{,}\) sans les élément de \(B - A\text{.}\)

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6.

Dans cet exercice, on s’intéresse à la cardinalité de l’union de deux ensembles.

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(a)

Donner deux ensembles \(A\) et \(B\) tels que \(|A|=4,|B|=3\) et \(|A\cup B|=7\text{.}\) Que vaut \(|A\cap B|\text{?}\)

🔗

Réponse.

\(A=\{1,2,3,4\}\)\(B=\{5,6,7\}\text{.}\)\(|A\cap B|=0\text{.}\)

🔗

(b)

Donner deux ensembles \(A\) et \(B\) tels que \(|A|=4,|B|=3\) et \(|A\cup B|=5\text{.}\) Que vaut \(|A\cap B|\text{?}\)

🔗

Réponse.

\(A=\{1,2,3,4\}\)\(B=\{3,4,5\}\text{.}\)\(|A\cap B|=2\text{.}\)

🔗

(c)

Si \(A=\{a,b,c\}\) et que \(|B|=6\text{,}\) quelles sont les valeurs possibles pour \(|A\cup B|\text{?}\) Donner des exemples d’ensembles \(B_1,B_2\) tel que \(|A\cup B_1|\) est égale à la plus petite valeur possible et \(|A\cup B_2|\) est égale à la plus grande valeur possible.

🔗

Réponse.

\(|A\cup B|\)\(6,7,8,9\text{.}\)\(B_1=\{a,b,c,d,e,f\}\)\(B_2=\{1,2,3,4,5,6\}\text{.}\)

🔗

(d)

Pour chaque cas de la partie précédente, que vaut \(|A\cap B|\text{?}\)

🔗

Réponse.

On a:

\begin{align*} \text{Si } |A\cup B|= 6 \amp \text{, alors } |A\cap B|= 3;\\ \text{Si } |A\cup B|= 7 \amp \text{, alors } |A\cap B|= 2;\\ \text{Si } |A\cup B|= 8 \amp \text{, alors } |A\cap B|= 1;\\ \text{Si } |A\cup B|= 9 \amp \text{, alors } |A\cap B|= 0; \end{align*}

🔗

7. Le principe d’inclusion-exclusion.

Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. Donner un argument justifiant le fait que

\begin{equation*} |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\text{.} \end{equation*}

🔗

Solution.

\(|A|+|B|\text{,}\)\(|A\cap B|\)\(|A|\)\(|B|\)\(|A\cap B|\)\(|A|+|B|\text{.}\)

🔗

8.

Au Cégep Gérald-Godin à l’automne \(2021\text{,}\) il y a présentement \(25\) étudiants inscrits en mathématiques discrètes et \(36\) étudiants inscrits en chimie générale. De plus, \(14\) étudiants suivent les deux cours. Combien d’étudiants sont inscrits dans au moins l’un de ces cours?

🔗

Solution.

\(25+36-14=47\text{.}\)

🔗

9.

On s’intéresse aux propriétés de distributivité et à leur justification. On s’inspire des démonstrations de la proposition 1.2.14.

🔗

(a)

À l’aide d’une table d’appartenance, démontrer que \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\text{.}\)

🔗

Solution.

Table 1.2.30. Table d’appartenance pour \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)

🔗

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(B\cap C\)	\(A \cup (B\cap C)\)	\(A\cup B\)	\(A\cup C\)	\((A\cup B)\cap (A\cup C)\)
oui	non	non	non	oui	oui	oui	oui
oui	non	oui	non	oui	oui	oui	oui
oui	oui	non	non	oui	oui	oui	oui
oui	oui	oui	oui	oui	oui	oui	oui
non	non	non	non	non	non	non	non
non	non	oui	non	non	non	oui	non
non	oui	non	non	non	oui	non	non
non	oui	oui	oui	oui	oui	oui	oui

Puisque la colonne de l’expression \(A\cup (B\cap C)\) est la même que celle de l’expression \((A\cup B)\cap (A\cup C)\text{,}\) on a bien que \(A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\)

🔗

(b)

À l’aide d’un argument d’inclusion, démontrer que \(A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\text{.}\)

🔗

Solution.

On commence par montrer que \(A\cap (B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C)\text{.}\) On considère un élément \(x \in A\cap (B\cup C)\text{.}\) Ainsi, par la définition de l’intersection, \(x\in A\) et \(x \in (B\cup C)\text{.}\) Par la définition de l’union, on a que \(x\in B\) ou \(x\in C\text{.}\)

🔗

Si \(x \in B\text{,}\) alors \(x \in (A\cap B)\text{.}\) Si \(x \in C\text{,}\) alors \(x \in (A\cap C)\text{.}\) Par ce qui précède, \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\text{.}\) On a donc montré que \(A\cap (B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C)\text{.}\)

🔗

On montre ensuite que \((A\cap B)\cup(A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C)\text{.}\) On considère un élément \(x \in (A\cap B)\cup(A\cap C)\text{.}\) Ainsi, par la définition de l’union, \(x\in (A\cap B)\) ou \(x \in(A\cap C)\text{.}\) Dans les deux cas, par la définition de l’intersection, on a que \(x \in A\text{.}\)

🔗

Si \(x \in (A\cap B)\text{,}\) alors \(x \in B\text{,}\) et donc \(x \in (B\cup C)\text{.}\) Si \(x \in(A\cap C)\text{,}\) alors \(x \in C\) et donc \(x \in (B\cup C)\text{.}\) Dans les deux cas, on a \(x \in A\cap(B\cup C)\text{.}\) On a donc montré que \((A\cap B)\cup(A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C) \text{.}\)

🔗

Puisque qu’on a montré que \(A\cap (B\cup C) \subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C)\) et \((A\cap B)\cup(A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C)\text{,}\) on a que \(A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)\text{.}\)

🔗

10.

Soit \(A,B\) et \(C\) des ensembles. En utilisant des arguments d’inclusion, démontrer les relations suivantes:

🔗

(a)

\((A-B)-C\subseteq A-C\)

🔗

Solution.

\(a\in (A-B)-C\text{,}\)\(a \in (A-B)\text{,}\)\(a \notin C\text{.}\)\(a\in A-B\text{,}\)\(a\in A\text{.}\)\(a\in A\text{,}\)\(a\notin C\text{.}\)\(a\in A-C\text{.}\)

🔗

(b)

\((A-C)\cap (C-B)=\emptyset\)

🔗

Solution.

On sait que \(\emptyset \subseteq (A-C)\cap (C-B)\text{.}\)

🔗

Soit \(x \in (A-C)\cap (C-B)\text{,}\) alors \(x\in A-C\) et \(x\in C-B\text{.}\) Puisque \(x\in A-C\text{,}\) alors \(x\notin C\text{,}\) mais puisque \(x\in C-B\text{,}\) alors \(x\in C\text{.}\) Puisque \(x\) ne peut pas être à la fois un élément de \(C\) et ne pas être un élément de \(C\text{,}\) un tel \(x\) ne peut pas exister.

🔗

Par ce qui précède, on a que \((A-C)\cap (C-B)\subseteq \emptyset\text{,}\) et donc \((A-C)\cap (C-B)=\emptyset\text{.}\)

🔗

(c)

\((A-B)\cup (C-B)=(A\cup C)-B\)

🔗

Solution.

Si \(a\in\ (A - B) \cup (C - B)\text{,}\) alors \(a\in\ A-B\) ou \(a\in\ C-B\text{.}\) Si \(a\in\ A-B\text{,}\) alors \(a\in\ A\) et \(a\notin\ B\text{.}\) Ainsi, \(a\in\ A\cup C\text{,}\) et donc \(a\in\ (A\cup C)-B\text{.}\) De la même manière, si \(a\in\ C-B\text{,}\) on peut montrer que \(a\in\ (A\cup C)-B\text{,}\) d’où \((A-B)\cup (C-B) \subseteq (A\cup C)-B\text{.}\)

🔗

Si \(a\in\ (A\cup C)-B\text{,}\) alors \(a\in\ (A\cup C)\) et \(a\notin\ B\text{.}\) Ainsi, \(a\in\ A\) ou \(a\in\ C\text{.}\) Si \(a\in\ A\text{,}\) alors \(a\in (A-B)\text{.}\) Si \(a\in\ C\text{,}\) alors \(a\in\ C-B\text{.}\) Dans les deux cas, on a \(a\in\ (A-B)\cup (C-B)\text{,}\) d’où \((A\cup C)-B\subseteq (A-B)\cup (C-B)\text{.}\)

🔗

Par ce qui précède, on a \((A-B)\cup (C-B) = (A\cup C)-B\)

🔗

11.

Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont donnés. Que peut-on dire sur leur relation si:

🔗

(a)

\(A\cup B=A\text{?}\)

🔗

Indice.

\(b\in B\text{.}\)\(b \in A\text{.}\)

🔗

Réponse.

\(B\subseteq A\)

🔗

(b)

\(A\cap B=A\text{?}\)

🔗

Indice.

\(a \in A\text{.}\)\(a\in B\text{.}\)

🔗

Réponse.

\(A \subseteq B\)

🔗

(c)

\(A- B=A\text{?}\)

🔗

Indice.

\(x \in A\cap B\text{.}\)\(x \notin B.\)\(x \in A\cap B\)

🔗

Réponse.

\(A\cap B = \emptyset\)

🔗

(d)

\(A- B=B-A\text{?}\)

🔗

Indice.

Montrer d’abord que \(A\subseteq B\text{.}\) Ceci est équivalent à montrer que \(A-B=\emptyset\text{.}\) Considérer un élément \(a \in A-B\text{,}\) et utiliser l’égalité pour montrer que \(a \notin A\text{.}\) Conclure qu’un tel élément ne peut pas exister, et donc que \(A-B=\emptyset\text{.}\)

🔗

Utiliser un argument similaire pour montrer que \(B\subseteq A\)

🔗

Réponse.

\(A=B\text{.}\)

🔗

12.

Montrer à l’aide d’une table d’appartenance les identités

🔗

(a)

\(A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)\)

🔗

Solution.

Table 1.2.31. Table d’appartenance pour \(A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)\)

🔗

\(A\)	\(B\)	\(A\oplus B\)	\(A\cup B\)	\(A\cap B\)	\((A\cup B)- (A\cap B)\)
oui	non	oui	oui	non	oui
oui	oui	non	oui	oui	non
non	non	non	non	non	non
non	oui	oui	oui	non	oui

🔗

(b)

\(A\oplus B=(A-B)\cup(B-A)\)

🔗

Solution.

Table 1.2.32. Table d’appartenance pour \(A\oplus B=(A-B)\cup(B- A)\)

🔗

\(A\)	\(B\)	\(A\oplus B\)	\(A - B\)	\(B- A\)	\((A- B)\cup (B-A)\)
oui	non	oui	oui	non	oui
oui	oui	non	non	non	non
non	non	non	non	non	non
non	oui	oui	non	oui	oui

🔗

13.

Démontrer les identités des exercices 1.2.4.5.c et 1.2.4.5.d

🔗

Solution 1.

On considère \(a\in\ A\oplus B\text{.}\) Par la définition de \(\oplus\text{,}\) il y a deux cas possibles. Soit \(a\in\ A\) et \(a\notin\ B\) ou bien \(a\notin\ A\) et \(a \in\ B\text{.}\) Dans les deux cas, \(a\in\ B \oplus A\text{.}\) Ainsi, \(A\oplus B \subseteq B \oplus A\text{.}\)

🔗

De la même manière, on montre que \(B \oplus A \subseteq A\oplus B\text{.}\) On conclut donc que \(A\oplus B=B\oplus A\text{.}\)

🔗

Solution 2.

D’une part, si \(a \in A\text{,}\) alors soit \(a \in B\) ou \(a \notin B\text{.}\) Si \(a \in B\) alors \(a \notin A \oplus B \text{.}\) Ainsi \(a \in \left(A\oplus B\right)\oplus B\text{,}\) car c’est un élément de \(B\text{,}\) mais pas de \(A \oplus B\text{.}\) Si \(a \notin B\text{,}\) alors \(a\in A\oplus B\text{.}\) Ainsi \(a \in \left(A\oplus B\right)\oplus B\text{,}\) car c’est un élément de \(A\oplus B\text{,}\) mais pas de \(B\text{.}\) Ainsi, on a montré que \(A\subseteq (A\oplus B)\oplus B\text{.}\)

🔗

D’autre part, si \(a \in \left(A\oplus B\right)\oplus B\text{,}\) alors soit \(a \in A\oplus B\) ou \(a\in B\text{,}\) mais pas les deux en même temps. Si \(a\in A\oplus B\) et \(a\notin B\text{,}\) alors \(a\) est un élément de \(A\) ou de \(B\text{,}\) mais on sait que \(a\notin B\text{,}\) donc \(a\) est un élément de \(A\text{.}\) Si \(a \notin A\oplus B\) et \(a \in B\text{,}\) alors \(a\) doit être un élément de \(A\text{.}\) En effet, si on avait \(a \in B\) et \(a \notin A\text{,}\) on aurait \(a \in A\oplus B\text{,}\) ce qui n’est pas le cas. Ainsi, on a montré que \((A\oplus B)\oplus B \subseteq A \text{.}\)

🔗

Puisqu’on a montré que \(A\subseteq (A\oplus B)\oplus B\) et que \((A\oplus B)\oplus B \subseteq A \text{,}\) on a montré que \((A\oplus B)\oplus B = A \)

🔗

Exercices supplémentaires.

14.

On considère \(S\) l’ensemble des étudiants du programme Sciences, informatique et mathématique à Gérald-Godin et \(C\) l’ensemble des étudiants de Gérald-Godin qui sont inscrits en calcul différentiel. Exprimer les ensembles suivants en fonction de \(S\) et \(C\text{.}\) Au besoin, considérer l’ensemble univers \(G\) de tous les étudiants inscrits à Gérald-Godin.

🔗

(a)

Les étudiants de Science, informatique et mathématique qui suivent le cours de calcul différentiel.

🔗

Réponse.

\(S\cap C\)

🔗

(b)

Les étudiants du cours de calcul différentiel qui ne sont pas en Sciences, informatique et mathématique.

🔗

Réponse.

\(C-S\)

🔗

(c)

Les étudiants de Sciences, informatique et mathématique ou ceux inscrits dans le cours de calcul différentiel.

🔗

Réponse.

\(S\cup C\)

🔗

(d)

Les étudiants du cégep Gérald-Godin qui ne sont pas en calcul différentiel ni en Sciences, informatique et mathématique.

🔗

Réponse.

\(G-(S\cup C)\)

🔗

(e)

Les élèves du cégep Gérald-Godin, sauf ceux qui sont en Sciences, informatique et mathématique, mais sans le cours de calcul différentiel ni ceux qui sont en calcul différentiel sans être dans le programme de Sciences, informatique et mathématique.

🔗

Réponse.

\((S\cup C)^c\cup (S\cap C)\)

🔗

15.

Déterminer des ensembles \(A,B\) tels que \(A-B=\{a,h,i\},B-A=\{c\}\) et \(B\cap A=\{b,f\}\) ou expliquer pourquoi c’est impossible. Dans le cas où c’est possible, est-ce que la réponse est unique?

🔗

Indice.

Faire un diagramme de Venn pour voir qu’une réponse unique existe.

🔗

Réponse.

\(A=\{a,b,f,h,i\}\) et \(B=\{b,c,f\}\text{.}\) La figure ci-dessous illustre ces deux ensembles.

🔗

Le diagramme de Venn de deux ensembles est illustré. — Figure 1.2.33. La solution à l’exercice
🔗

La réponse est unique puisque chacune des trois parties du diagramme de Venn est entièrement déterminée par l’énoncé du problème.

🔗

16.

Déterminer des ensembles \(A,B\) tels que \(A-B=\{3,4,7,8\}\) et \(B\cap A=\{b,f,i\}\) ou expliquer pourquoi c’est impossible. Dans le cas où c’est possible, est-ce que la réponse est unique?

🔗

Solution.

Cette fois la solution n’est pas unique, car il n’est pas précisé ce qui doit aller dans \(B-A\text{.}\) Deux exemples possibles sont \(A=\{3,4,7,8,b,f,i\}\) et \(B_1=\{b,f,i\}\) ou \(A=\{3,4,7,8,b,f,i\}\) et \(B_1=\{b,f,i,j,m,9,\text{carottes}\}\text{.}\)

🔗

17.

Déterminer des ensembles \(A,B\) tels que \(A-B=\{rouge,vert,jaune\}\) et \(B\cap A=\{jaune, mauve, orange\}\) ou expliquer pourquoi c’est impossible. Dans le cas où c’est possible, est-ce que la réponse est unique?

🔗

Solution.

C’est impossible, puisque l’élément jaune doit être dans \(A-B\) et donc, ne pas être dans \(B\text{,}\) et dans \(B\cap A\) et donc, être dans \(B\text{.}\)

🔗

18.

On va donner les démonstrations des propriétés de la liste 1.2.13 qui n’ont pas été faites dans le texte .

🔗

(a)

Démontrer les propriétés d’identité, à savoir

🔗

(i)

\(A\cup \emptyset =A\)

🔗

Solution.

Par un argument d’appartenance:

🔗

Soit \(a\) un élément quelconque de \(A\cup \emptyset\text{.}\) Alors \(a\in A\) ou \(A\in \emptyset\text{,}\) selon la définition de l’union. Or comme l’ensemble vide ne contient pas d’élément, on doit avoir \(a\in A\text{.}\) Ainsi, \(A\cup \emptyset \subseteq A\text{.}\)

🔗

D’un autre côté, soit \(b\in A\text{,}\) un élément de \(A\text{,}\) alors par définition \(b\in A\cup \emptyset\text{.}\) On peut donc déduire que \(A\subseteq (A\cup \emptyset)\text{.}\)

🔗

Les deux ensembles sont donc égaux.

🔗

(ii)

et \(A\cap \Omega =A\text{.}\)

🔗

Solution.

On procède avec une table d’appartenance.

🔗

Table 1.2.34. Table d’appartenance pour l’exercice

🔗

\(A\)	\(\Omega\)	\(A\cap \Omega\)
Oui	Oui	Oui
Non	Oui	Non

🔗

(b)

Démontrer les propriétés d’idempotence, à savoir

🔗

(i)

\(A\cup A =A\)

🔗

Solution.

Soit \(a\in A\) un élément de \(A\text{.}\) Alors \(A\in A\cup A\) et donc, \(A\subseteq (A\cup A)\text{.}\) Soit \(b\in A\cup A\text{.}\) Alors \(b\in A\) et donc, \((A\cup A)\subseteq A\text{.}\) On a donc égalité entre les ensembles.

🔗

(ii)

et \(A\cap A =A\text{.}\)

🔗

Solution.

Soit \(a\in A\) un élément de \(A\text{.}\) Alors \(A\in A\cap A\) et donc, \(A\subseteq (A\cap A)\text{.}\) Soit \(b\in A\cap A\text{.}\) Alors \(b\in A\) et donc, \((A\cap A)\subseteq A\text{.}\) On a donc égalité entre les ensembles.

🔗

(c)

Démontrer les propriétés de domination, à savoir

🔗

(i)

\(A\cup \Omega =\Omega\)

🔗

Solution.

Par défaut, tout ensemble est un sous-ensemble de l’espace \(\Omega\text{.}\) On a donc \(A\cup \Omega \subseteq \Omega\text{.}\) De plus, si un élément est dans \(\Omega\text{,}\) alors il sera dans \(A\cup \Omega\) et donc, \(\Omega \subseteq (A\cup \Omega)\text{.}\) Les ensembles sont donc égaux.

🔗

(ii)

et \(A\cap \emptyset =\emptyset\text{.}\)

🔗

Solution.

Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, l’intersection de \(A\) et \(\emptyset\) est aussi vide.

🔗

(d)

Démontrer les propriétés de complémentarité et complétude, à savoir que

🔗

(i)

\((A^c)^c=A\text{,}\)

🔗

Solution.

On procède avec une table d’appartenance.

🔗

Table 1.2.35. Table d’appartenance pour l’exercice

🔗

\(A\)	\(A^c\)	\((A^c)^c\)
Oui	Non	Oui
Non	Oui	Non

🔗

(ii)

\(A\cup A^c=\Omega\)

🔗

Solution.

On procède avec une table d’appartenance.

🔗

Table 1.2.36. Table d’appartenance pour l’exercice

🔗

\(A\)	\(A^c\)	\(\Omega\)	\(A\cup A^c\)
Oui	Non	Oui	Oui
Non	Oui	Oui	Oui

🔗

(iii)

et \(A\cap A^c=\emptyset\)

🔗

(e)

Démontrer les propriétés d’absorption, à savoir

🔗

(i)

\(A\cup (A\cap B) =A\)

🔗

Solution.

On procède avec une table d’appartenance.

🔗

Table 1.2.38. Table d’appartenance pour l’exercice

🔗

\(A\)	\(B\)	\(A\cap B\)	\(A\cup (A\cap B)\)
Oui	Oui	Oui	Oui
Oui	Non	Non	Oui
Non	Oui	Non	Non
Non	Non	Non	Non

🔗

(ii)

et \(A\cap (A\cup B) =A\text{.}\)

🔗

Solution.

Soit \(a\in A\text{.}\) Alors \(a\in A\cup B\) et donc \(a\in A\cap (A\cup B)\text{.}\) Donc, \(A\subseteq A\cap (A\cup B)\text{.}\) Soit \(b\in A\cap (A\cup B)\text{.}\) Alors \(a\in A\) et donc \(A\cap (A\cup B)\subseteq A\text{.}\) Les deux ensembles sont égaux.

🔗

(f)

Démontrer les propriétés de commutativité, à savoir

🔗

(i)

\(A\cup B =B\cup A\)

🔗

Solution.

Soit \(a\in A\cup B\text{.}\) Alors \(a\in A\) ou \(a\in B\text{.}\) Si \(a\in A\text{,}\) alors \(a\in B\cup A\text{.}\) De même, si on a plutôt \(a\in B\text{,}\) alors \(b\in B\cup A\) également. On a alors \((A\cup B)\subseteq B\cup A)\text{.}\) De manière analogue, on montre que \(B\cup A\subseteq A\) et on conclut que les ensembles sont égaux.

🔗

(ii)

et \(A\cap B =B\cap A\text{.}\)

🔗

Solution.

On procède par avec une table d’appartenance:

🔗

Table 1.2.39. Table d’appartenance pour l’exercice

🔗

\(A\)	\(B\)	\(A\cap B\)	\(B\cap A\)
Oui	Oui	Oui	Oui
Oui	Non	Non	Non
Non	Oui	Non	Non
Non	Non	Non	Non

🔗

19.

Soit \(A\subseteq \Omega\) un ensemble arbitraire. Démontrer les propriétés suivantes:

🔗

(a)

\(A\oplus A=\emptyset\)

🔗

Solution.

Par définition, les éléments à l’intérieur de la différence symétrique de deux ensembles doivent être dans exactement l’un des deux ensembles. Comme ici les deux ensembles sont égaux, aucun élément ne peut être dans \(A\text{,}\) mais pas dans \(A\text{.}\) On a donc \(A\oplus A=\emptyset\text{.}\)

🔗

(b)

\(A\oplus \emptyset=A\)

🔗

Solution.

Cette fois, comme il n’y a aucun élément dans l’ensemble vide, tous les éléments de \(A\) peuvent faire partie de la différence symétrique. On a donc \(A\oplus \emptyset= A\text{.}\)

🔗

(c)

\(A\oplus \Omega=A^c\)

🔗

20.

Dans l’exercice 1.2.4.19.b, on a vu que \(A\oplus \emptyset =A\text{.}\) Expliquer pourquoi si \(A\oplus B=A\text{,}\) alors nécessairement on doit avoir \(B=\emptyset\text{.}\)

🔗

Indice.

Il peut être utile de revoir le diagramme de Venn de la différence symétrique.

🔗

Solution.

Selon la figure 1.2.29, on observe qu’il y a deux régions distinctes qui sont grisées. Si \(A\oplus B=A\text{,}\) alors la région à droite contenue dans l’ensemble \(B\) doit être vide. De plus, il faut que la région à gauche contenue dans l’ensemble \(A\) soit en réalité équivalente à \(A\text{,}\) car celle-ci représente toute la différence symétrique et vaut \(A\text{.}\) Il s’ensuit que la région à l’intersection des ensembles \(A\) et \(B\) doit être vide.

🔗

21.

On sait que l’union est une opération associative. Est-ce le cas pour la différence symétrique, c’est-à-dire est-ce que

\begin{equation*} A\oplus(B\oplus C)=(A\oplus B)\oplus C\text{?} \end{equation*}

🔗

Indice.

Une table d’appartenance est la manière la plus simple de faire la vérification. Un diagramme de Venn peut aussi aider.

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Solution.

On construit la table d’appartenance de ce problème.

🔗

Table 1.2.40. Table d’appartenance pour l’exercice

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A	B	C	\(A\oplus B\)	\(B\oplus C\)	\(A\oplus (B\oplus C)\)	\((A\oplus B)\oplus C\)
Non	Non	Non	Non	Non	Non	Non
Non	Non	Oui	Non	Oui	Oui	Oui
Non	Oui	Non	Oui	Oui	Oui	Oui
Non	Oui	Oui	Oui	Non	Non	Non
Oui	Non	Non	Oui	Non	Oui	Oui
Oui	Non	Oui	Oui	Oui	Non	Non
Oui	Oui	Non	Non	Oui	Non	Non
Oui	Oui	Oui	Non	Non	Oui	Oui

🔗

22. L’union et l’intersection généralisée.

Les opérations d’union et d’intersection sont des opérations binaires, qui demandent deux ensembles qui agissent à titre d’opérandes. Parce qu’elles sont associatives, on peut généraliser ces opérations à plus de deux ensembles, possiblement même une infinité. Ainsi, si \(A_0,A_1,A_2,\ldots , A_n\) sont des ensembles, on note

\begin{equation*} A_0\cup A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\bigcup_{i=0}^n A_i \end{equation*}

l’union de ces \(n\) ensembles et par

\begin{equation*} A_0\cap A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n=\bigcap_{i=0}^n A_i \end{equation*}

leur intersection. La lettre \(i\) est appelée l’indice d’union (ou d’intersection). On aurait pu commencer à \(1\) ou à n’importe quel autre entier.

🔗