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Mathématiques discrètes Version préliminaire

Section 6.2 Relations de récurrence linéaires non-homogènes

Nous allons maintenant étudier les relations linéaires non-homogènes. Pour trouver les solutions à ces relations, il faudra trouver une solution particulière, ainsi que la solution générale à son équation homogène associée.
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Sous-section 6.2.1

À la section précédente, on a déjà vu certaines relations de récurrence qui étaient linéaires non-homogènes. En fait, on a même déjà trouvé la solution à certaines de ces relations assez facilement 6.1.9.
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Malheureusement, il s’agit d’exemples particuliers. La plupart des relations non-homogènes seront difficiles à résoudre. Tout de même, on peut séparer la résolution des relations homogènes en deux parties.
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D’une part, on pourra résoudre la partie homogène de l’équation à l’aide des méthodes de la section précédente. Par la suite, on devra trouver une solution qui tient en compte uniquement la partie non-homogène. Ceci est difficile en général, mais on pourra trouver des solutions dans certains cas particuliers.
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On commence par donner quelques définitions pour pouvoir bien décrire cette méthode et les solutions obtenues.
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Définition 6.2.1.

Une relation de récurrence linéaire non-homogène (à coefficients constants) est une relation de la forme
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_ka_{n-k}+F(n) \end{equation*}
où les \(c_i\) sont des constantes réelles et \(c_k\neq0\text{.}\)
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L’ordre de la relation est alors \(k\text{.}\)
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De plus, \(F(n)\) est une fonction qui n’est pas identiquement nulle (c’est-à-dire qu’il y a au moins une valeur de \(n\) pour laquelle \(F(n)\neq0\)).
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Finalement, la relation de récurrence linéaire homogène associée est celle obtenue en remplaçant \(F(n)\) par \(0\text{,}\) c’est-à-dire
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots+c_ka_{n-k}\text{.} \end{equation*}
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Voici quelques exemples
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Exemple 6.2.2. Relations linéaires non-homogènes.

Chacune des relations de récurrence ci-dessous sont linéaires non-homogènes.
\begin{align*} a_n\amp=a_{n-1}+2^n\\ a_n\amp=a_{n-1}+a_{n-2}+n^2+n+1\\ a_n\amp=3a_{n-1}+n3^n\\ a_n\amp=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+ n! \end{align*}
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Les relations linéaires homogènes associées à celles-ci sont respectivement
\begin{align*} a_n\amp=a_{n-1}\\ a_n\amp=a_{n-1}+a_{n-2}\\ a_n\amp=3a_{n-1}\\ a_n\amp=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3} \end{align*}
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Tel que mentionné plus haut, pour trouver la solution générale à une relation non-homogène, il suffit de trouver une solution particulière ainsi qu’une solution à la relation homogène associée.
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Il existe certaines classes de fonctions \(F(n)\) pour lesquelles on connait la forme que doit prendre la suite \(\{a^{(p)}_n\}\text{.}\) Cependant, pour notre cours, des candidats pour les solutions particulières seront fournis. Il faudra alors vérifier sous quelles conditions ces candidats sont des solutions.
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Exemple 6.2.4. Solution particulière: Terme linéaire.

Trouver toutes les solutions à la relation \(a_n=3a_{n-1}+2n\) en considérant la solution particulière \(a^{(p)}_n=cn+d.\) Trouver ensuite la solution telle que \(a_1=3\text{.}\)
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Solution.
Toutes les solutions auront la forme \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n\) où \(a^{(h)}_n\) est une solution de la relation homgogène \(a_n=3a_{n-1}\text{.}\)
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On peut montrer, à l’aide des méthodes vues dans la section précédente, que \(a_n^{(h)}=\alpha\cdot 3^n\text{.}\)
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Par la suite, on veut déterminer sous quelles conditions est-ce que \(a^{(p)}_n=cn+d.\) est une solution à la relation initiale. Pour cela, on doit avoir
\begin{align*} cn+d \amp= 3(c(n-1)+d)+2n \\ cn+d \amp= (3c)n-3c+3d+2n \\ cn+d \amp= (3c+2)n+(3d-3c) \end{align*}
Pour que cette égalité soit vraie, il faut que les termes devant chaque puissance de \(n\) doivent être les mêmes à gauche et à droite de l’égalité. Ainsi,
\begin{equation*} \begin{cases} c &= (3c+2) \\ d &= (3d-3c) \\ \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \iff \begin{cases} c &= -1 \\ d &= \frac{3c}{2} \\ \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \iff \begin{cases} c &= -1 \\ d &= \frac{-3}{2} \\ \end{cases} \end{equation*}
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Ainsi, toutes les solutions à la relation de récurrence seront \(a_n=-n-\frac{3}{2}+\alpha\cdot 3^n \text{.}\)
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Pour trouver la solution telle que \(a_1=3,\) on considère l’équation
\begin{align*} a_1=3\amp= -(1)-\frac{3}{2}+\alpha\cdot 3^1 \\ 3\amp= \frac{-5}{2}+\alpha\cdot 3 \\ \frac{11}{2}\amp=\alpha\cdot 3 \\ \frac{11}{6}\amp=\alpha \end{align*}
Ainsi, \(a_n=-n-\frac{3}{2}+\left(\frac{11}{6}\right)3^n\text{.}\)
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Exemple 6.2.5. Solution particulière: Terme exponentiel.

Trouver toutes les solutions à la relation \(a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}+7^n\) en considérant la solution particulière \(a^{(p)}_n=c7^n.\)
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Solution.
Toutes les solutions auront la forme \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n\) où \(a^{(h)}_n\) est une solution de la relation homgogène \(a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}\text{.}\)
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On peut alors montrer que \(a_n^{(h)}=\alpha_1\cdot 3^n+ \alpha_2\cdot 2^n\text{.}\)
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Par la suite, on veut déterminer sous quelles conditions est-ce que \(a^{(p)}_n=c7^n.\) est une solution à la relation initiale. Pour cela, on doit avoir
\begin{align*} c7^n \amp= 5(c7^{n-1})-6(c7^{n-2})+7^n \\ c7^n \amp= (5\cdot 7^{1}c-6c+7^{2}) 7^{n-2}\\ c7^2 \amp= 35c-6c+7^{2} \\ c(49-35+6) \amp= 49 \\ c \amp= \frac{49}{20} \end{align*}
Ainsi, toutes les solutions à la relation de récurrence seront \(a_n=\left( \frac{49}{20}\right)7^n+\alpha_1\cdot 3^n+\alpha_2\cdot 2^n \text{.}\)
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Exemple 6.2.6. La somme des \(n\) premiers entiers positifs.

On considère la relation \(a_n=a_{n-1}+n\) avec condition initiale \(a_1.\) On peut alors remarquer que \(a_n\) est la somme des \(n\) premiers entiers positifs.
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On connait déjà la formule pour \(a_n,\) mais on veut la retrouver à l’aide de la relation de récurrence à l’aide d’une solution particulière de la forme \(a^{(p)}_n=cn^2+dn\text{.}\)
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Solution.
On sait que \(a_n=a^{(h)}+a^{(p)}_n\) et on peut facilement montrer que \(a_n^{(h)}=\alpha(1^n)=\alpha\) en résolvant la relation de récurrence homogène \(a_{n}=a_{n-1}\text{.}\)
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Par la suite, on veut déterminer sous quelles conditions est-ce que \(a^{(p)}_n=cn^2+dn.\) est une solution à la relation initiale. Pour cela, on doit avoir
\begin{align*} cn^2+dn \amp= c(n-1)^2+d(n-1) +n \\ cn^2+dn \amp= c(n^2-2n+1) +dn-d+n \\ cn^2+dn \amp= (c)n^2+(d-2c+1)n+(c-d) \end{align*}
Pour que cette égalité soit vraie, il faut que les termes devant chaque puissance de \(n\) doivent être les mêmes à gauche et à droite de l’égalité. Ainsi,
\begin{equation*} \begin{cases} c &= c \\ d &= (d-2c+1) \\ 0 &= c-d \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \iff \begin{cases} c &= c \\ d &= (d-2c+1) \\ d &= c \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \iff d = (d-2d+1) = -d+1 \iff d=\frac{1}{2} \end{equation*}
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Ainsi, toutes les solutions à la relation de récurrence seront \(a_n=\left(\frac{1}{2}\right)n^2+\left(\frac{1}{2}\right)n+\alpha=\frac{n(n+1)}{2} +\alpha \text{.}\)
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Pour trouver la solution telle que \(a_1=1,\) on considère l’équation
\begin{align*} a_1=1\amp= \frac{1(1+1)}{2} +\alpha \\ 1\amp= 1+\alpha \\ 0\amp=\alpha \end{align*}
Ainsi, \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
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Exemple 6.2.7. Solution particulière: D’autres termes exponentiels.

(a)
On considère la suite \(\{a_n\}\) telle que \(a_n=6a_{n-1}-9a_{n-2}+2^n,\) \(a_0=1\) et \(a_1=4\text{.}\)
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Trouver la forme générale de la suite à l’aide d’une solution particulière de la forme \(a_n^{(p)}=c2^n\text{.}\)
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Réponse.
\(a_n=-3(3)^n+\left(\frac{5n}{3}\right)3^n+4\cdot 2^n\)
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Solution.
On sait que la solution aura la forme \(a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)},\) où \(a_n^{(h)}=\alpha_1\cdot 3^n+\alpha_2n\cdot 3^n,\) par l’exemple 6.1.23, et on propose \(a^{(p)}_n=c\cdot 2^n\)
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Pour trouver la valeur de \(c\) telle que \(c\cdot 2^n\) est une solution particulière, on remplace \(a_n\) par \(c\cdot 2^n\) dans la relation de récurrence, et on trouve la valeur de \(c\) satisfaisant l’équation résultante.
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On a
\begin{align*} c\cdot 2^n\amp= 6c\cdot 2^{n-1}-9c\cdot 2^{n-2}+2^n\\ 2^{n-2}(c\cdot 2^2)\amp= 2^{n-2}(6c\cdot 2-9c+2^2)\\ c\cdot 4\amp= 12c-9c+4\\ (4-12+9)c\amp= 4\\ c\amp= 4 \end{align*}
Ainsi, \(a^{(p)}_n=4\cdot 2^n\) est une solution particulière à la relation de récurrence.
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On a donc \(a_m=n=\alpha_1(3^n)+\alpha_2(n3^n)+4\cdot 2^n\text{.}\)
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Pour trouver \(\alpha_1\) et \(alpha_2\text{,}\) on doit résoudre le système d’équations
\begin{align*} 1\amp= \alpha_1 +4;\\ 4\amp= 3\alpha_1+3\alpha_2+8; \end{align*}
En résolvant ces équations, on trouve \(\alpha_1=-3\) et \(\alpha_2=\frac{5}{3}\text{.}\)
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(b)
On considère la suite \(\{a_n\}\) telle que \(a_n=6a_{n-1}-9a_{n-2}+3^n,\) \(a_0=1\) et \(a_1=4\text{.}\)
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Trouver la forme générale de la suite à l’aide d’une solution particulière de la forme \(a_n^{(p)}=cn^2(3^n)\text{.}\)
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Réponse.
\(a_n=(3)^n+\left(\frac{-n}{6}\right)3^n+\frac{1}{2}\cdot n^23^n\)
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Solution.
On sait que la soultion aura la forme \(a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)},\) où \(a_n^{(h)}=\alpha_1\cdot 3^n+\alpha_2n\cdot 3^n,\) par l’exemple 6.1.23, et on propose \(a^{(p)}_n=c\cdot n^23^n\)
🔗
Pour trouver la valeur de \(c\) telle que \(c\cdot n^2 3^n\) est une solution particulière, on remplace \(a_n\) par \(c\cdot n^2 3^n\) dans la relation de récurrence, et on trouve la valeur de \(c\) satisfaisant l’équation résultante.
🔗
On a
\begin{align*} c\cdot n^2 3^n\amp= 6c\cdot (n-1)^2\cdot 3^{n-1}-9c\cdot (n-2)^2 3^{n-2}+3^n\\ c\cdot n^2 3^2\amp= 6c\cdot (n^2-2n+1)3-9c(n^2-4n+4)+3^2\\ (9c)n^2 \amp= (18cn^2-36cn+18c)+(-9cn^2+36cn-36c)+9\\ (9c)n^2 \amp= (9c)n^2+(-18c+9) \end{align*}
Pour que cette égalité soit vraie, on doit avoir \(9c=9c\) et \(0=-18c+9\text{.}\) On trouve alors \(c=\frac{1}{2}\)
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Ainsi, \(a^{(p)}_n=\frac{1}{2}\cdot n^2 3^n\) est une solution particulière à la relation de récurrence.
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On a donc \(a_m=n=\alpha_1(3^n)+\alpha_2(n3^n)+\frac{1}{2}\cdot n^2 3^n\text{.}\)
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Pour trouver \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\text{,}\) on doit résoudre le système d’équations
\begin{align*} 1\amp= \alpha_1;\\ 4\amp= 3\alpha_1+3\alpha_2+\frac{1}{2}\cdot 3; \end{align*}
En résolvant ces équations, on trouve \(\alpha_1=1\) et \(\alpha_2=\frac{-1}{6}\text{.}\)
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Questions de compréhension de la lecture 6.2.2 Questions de compréhension de la lecture

Ces questions sont à faire avant de venir en classe et à remettre au début du cours.
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1.

\(a_n=2a_{n-1}+2n\text{.}\)
(a)
En utilisant la notation de la définition 6.2.1, déterminer \(F(n)\) ainsi que la relation que la relation de récurrence linéaire homogène associée.
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(b)
Déterminer la forme générale de la solution homogène \(\left\{a_n^{(h)}\right\}\text{,}\)c’est-à-dire la solution à la relation de récurrence linéaire homogène trouvée en 6.2.2.1.a.
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(c)
Déterminer la forme générale d’une solution particulière à la relation non-homogène en supposant que la solution particulière est de la forme \(a^{(p)}_n=cn+d\text{.}\)
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2.

\(a_n=2a_{n-1}+3^n\text{.}\)
(a)
En utilisant la notation de la définition 6.2.1, déterminer \(F(n)\) ainsi que la relation que la relation de récurrence linéaire homogène associée.
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(b)
Déterminer la forme générale de la solution homogène \(\left\{a_n^{(h)}\right\}\text{,}\)c’est-à-dire la solution à la relation de récurrence linéaire homogène trouvée en 6.2.2.2.a.
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(c)
Déterminer la forme générale d’une solution particulière à la relation non-homogène en supposant que la solution particulière est de la forme \(a^{(p)}_n=c3^n\text{.}\)
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3.

\(a_n=-5a_{n-1}-6a_{n-2}+42\cdot 4^n\text{.}\)
(a)
En utilisant la notation de la définition 6.2.1, déterminer \(F(n)\) ainsi que la relation que la relation de récurrence linéaire homogène associée.
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(b)
Déterminer la forme générale de la solution homogène \(\left\{a_n^{(h)}\right\}\text{,}\)c’est-à-dire la solution à la relation de récurrence linéaire homogène trouvée en 6.2.2.3.a.
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(c)
Déterminer la forme générale d’une solution particulière à la relation non-homogène en supposant que la solution particulière est de la forme \(a^{(p)}_n=c4^n\text{.}\)
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4.

On considère la relation de récurrence \(a_n=-5a_{n-1}-6a_{n-2}+2^n+3n\text{.}\) Déterminer la forme générale d’une solution particuilère à cette relation en supposant que la solution particulière est de la forme \(a^{(p)}_n=a (2^n)+cn+d\text{.}\)
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5.

Noter toute question qui demeure suite à la lecture de la section et la résolution des exercices ci-dessus ou toute précision/clarification à apporter. Note: cette question est facultative.
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Exercices 6.2.3 Exercices

À faire en classe

Ces exercices sont faits pour travailler en classe. Ils servent à approfondir les notions de la section et à atteindre les objectifs d’apprentissage plus avancés.
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1.
(a)
\(a_n=2a_{n-1} + (n+5) \text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= cn+d \text{,}\) où \(c\) et \(d\) sont des constantes.
Réponse.
\(a_n=\alpha_1 2^n - n - 7\)
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Solution.
À l’aide des méthodes de la section 6.1, on trouve \(a^{(h)}_n=\alpha_1 2^n\text{.}\) En suite, on pose \(a^{(p)}_n=cn+d\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} cn+d \amp= 2\bigl(c(n-1)+d\bigr)+(n+5) \\ \amp= 2cn-2c+2d+n+5 \\ \amp= (2c+1)n-2c+2d+5. \end{align*}
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Pour que \(cn+d=(2c+1)n-2c+2d+5\) pour tout \(n\in \N\text{,}\) on doit avoir
\begin{align*} c \amp=2c+1 \text{ et}\\ d \amp= -2c+2d+5 . \end{align*}
En résolvant ces deux équations, on trouve \(c=-1\) et \(d=-7\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=-n-7\text{.}\) On obtient alors \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n=\alpha_1 2^n - n - 7\text{.}\)
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(b)
\(a_n=2a_{n-1} + 3\cdot 2^n \text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= n(c\cdot 2^n) \text{,}\) où \(c\) est une constante.
Réponse.
\(a_n=\alpha_1 2^n + 3n2^n\)
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Solution.
À l’aide des méthodes de la section 6.1, on trouve \(a^{(h)}_n=\alpha_1 2^n\text{.}\) En suite, on pose \(a^{(p)}_n=n(c\cdot 2^n)\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} n(c\cdot 2^n) \amp= 2\bigl((n-1)c\cdot 2^{n-1}\bigr)+3\cdot 2^n \\ nc \amp= cn-c+3 \text{ en divisant par } 2^{n}\\ 0 \amp= -c +3. \end{align*}
🔗
On trouve donc \(c=3\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=3n\cdot 2^n\text{.}\) On obtient alors \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n=\alpha_1 2^n +3n\cdot 2^n\text{.}\)
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(c)
\(a_n=a_{n-1}+ a_{n-2} + 1\text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= c\text{.}\)
Réponse.
\(\alpha_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\alpha_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n -1\)
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Solution.
À l’aide des méthodes de la section 6.1, on trouve \(a^{(h)}_n=\alpha_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\alpha_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \text{.}\) En suite, on pose \(a^{(p)}_n=c\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} c \amp= c+c+1 \\ \amp= 2c+1 \end{align*}
🔗
On trouve donc \(c=-1\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=-1\text{.}\) On obtient alors \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n=\alpha_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\alpha_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n -1\text{.}\)
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(d)
\(a_n=4a_{n-1} -4a_{n-2} + (n+1)2^n \text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= (cn^3+dn^2)2^n \text{,}\) où \(c\) et \(d\) sont des constantes.
Réponse.
\(\alpha_1(2^n) + \alpha_2(n2^n) + \left(\frac{n^3}{6}+n^2\right)2^n\)
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Solution.
À l’aide des méthodes de la section 6.1, on trouve \(a^{(h)}_n=\alpha_1(2^n) + \alpha_2(n2^n)\text{.}\) En suite, on pose \(a^{(p)}_n=(cn^3+dn^2)2^n\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} (cn^3+dn^2)2^n \amp= 4\biggl( \bigl(c(n-1)^3+d(n-1)^2\bigr)2^{n-1}\biggr)-4\biggl( \bigl(c(n-2)^3+d(n-2)^2\bigr)2^{n-2}\biggr)+(n+1)2^n \\ (cn^3+dn^2)2^2 \amp= 4\biggl( \bigl(c(n-1)^3+d(n-1)^2\bigr)2\biggr)-4\biggl( \bigl(c(n-2)^3+d(n-2)^2\bigr)\biggr)+(n+1)2^2 \text{ en divisant par } 2^{n-2}\\ 4c\cdot n^3+4d\cdot n^2 \amp=4\biggl( \bigl(c(n^3-3n^2+3n-1)+d(n^2-2n+1)\bigr)2\biggr)-4\biggl( \bigl(c(n^3-6n^2+12n-8)+d(n^2-4n+4)\bigr)\biggr)+(n+1)4 \\ 4c\cdot n^3+4d\cdot n^2 \amp= 8c\cdot n^3-24c\cdot n^2 +24c\cdot n-8c+8d\cdot n^2-16d\cdot n+8d -4c\cdot n^3+24c\cdot n^2-48c\cdot n+32c-4d\cdot n^2+16d\cdot n-16d+4\cdot n+4\\ {\color{red}{4c\cdot n^3}}+{\color{blue}{4d\cdot n^2}} \amp= {\color{red}{4c\cdot n^3}}+{\color{blue}{4d\cdot n^2}} + (-24c+4)\cdot n + (24c-8d+4) \\ 0 \amp= (-24c+4)\cdot n + (24c-8d+4) \end{align*}
🔗
Pour que \(0 = (-24c+4)\cdot n + (24c-8d+4)\) pour tout \(n\in \N\text{,}\) on doit avoir
\begin{align*} 0 \amp= -24c+4 \text{ et}\\ 0 \amp= 24c-8d+4 . \end{align*}
🔗
En résolvant ces deux équations, on trouve \(c=\frac{1}{6}\) et ensuite \(d=1\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=\left(\frac{n^3}{6}+n^2\right)2^n\text{.}\)
🔗
On obtient alors \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n=\alpha_1(2^n) + \alpha_2(n2^n) + \left(\frac{n^3}{6}+n^2\right)2^n\text{.}\)
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2.
On considère \(a_n=t_1 + t_2 + \cdots + t_n\text{,}\) où \(t_k=\frac{k(k+1)}{2}\text{.}\)
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(a)
Vérifier que la suite \(\{a_n\}\) satisfait la relation
\begin{equation*} a_n=a_{n-1} +\frac{n(n+1)}{2} \end{equation*}
avec condition initiale \(a_1=1\text{.}\)
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Solution.
Par définition de \(a_n\) et de \(t_k\text{,}\) on a que \(a_n = t_1+t_2+ \cdots + t_{n-1} +t_n = a_{n-1} + t_n = a_{n-1} + \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
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Aussi, en posant \(n=1\text{,}\) on a \(a_1=t_1=\frac{1(1+1)}{2}=1\text{.}\)
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(b)
Résoudre la relation de récurrence en utilisant \(a_n^{(p)}= c_3n^3+c_2n^2+c_1n\text{,}\) où les \(c_i\) sont des constantes.
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Réponse.
\(a_n=\alpha_1 + \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\)
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Solution.
À l’aide des méthodes de la section 6.1, on trouve \(a^{(h)}_n=\alpha_1\text{.}\) En suite, on pose \(a^{(p)}_n=c_3n^3+c_2n^2+c_1n\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} c_3n^3+c_2n^2+c_1n \amp= c_3(n-1)^3+c_2(n-1)^2+c_1(n-1) +\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n \\ c_3n^3+c_2n^2+c_1n \amp= c_3(n^3-3n^2+3n-1)+c_2(n^2-2n+1)+c_1(n-1) +\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n \\ c_3n^3+c_2n^2+c_1n \amp=c_3n^3-3c_3n^2+3c_3n-c_3+c_2n^2-2c_2n+c_2+c_1n-c_1 +\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\ c_3n^3+c_2n^2+c_1n \amp=c_3n^3 \left(-3c_3+c_2+\frac{1}{2}\right)\cdot n^2 +\left(3c_3-2c_2+c_1+\frac{1}{2} \right)\cdot n +(-c_3+c_2-c_1)\\ c_2n^2+c_1n \amp= \left(-3c_3+c_2+\frac{1}{2}\right)\cdot n^2 +\left(3c_3-2c_2+c_1+\frac{1}{2} \right)\cdot n +(-c_3+c_2-c_1) \end{align*}
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Pour que cette égalité soit vraie pour tout \(n\in \N\text{,}\) on doit avoir
\begin{align*} c_2 \amp= -3c_3+c_2+\frac{1}{2} \\ c_1 \amp= 3c_3-2c_2+c_1+\frac{1}{2} \text{ et}\\ 0 \amp= -c_3+c_2-c_1 \end{align*}
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En résolvant ces trois équations, on trouve \(c_3=\frac{1}{6}\text{,}\) ensuite \(c_2=\frac{1}{2}\) et finalement \(c_1=\frac{1}{3}\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=\frac{n^3}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\text{.}\)
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On obtient alors \(a_n=a^{(h)}_n+a^{(p)}_n=\alpha_1 + \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\text{.}\)
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3.
On considère l’équation
\begin{equation*} a_n = a_{n-1}+6a_{n-2} + F(n)\text{.} \end{equation*}
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(a)
Trouver la solution générale lorsque \(F(n)=0\)
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Réponse.
\(a_n=\alpha_1 (3^n)+\alpha_2(-2)^n\text{.}\)
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(b)
Trouver une solution particulière \(\{a_n^{(p)}\}\text{,}\) lorsque \(F(n)=3^n\text{.}\) Utiliser une solution de la forme \(a_n^{(p)}= n(c\cdot 3^n) \text{,}\) où \(c\) est une constante.
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Réponse.
\(a_n^{(p)}= \frac{n 3^{n+1}}{5}\)
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Solution.
On pose \(a^{(p)}_n=n(c\cdot 3^n)\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} n(c\cdot 3^n) \amp= (n-1)(c\cdot 3^{n-1})+6(n-2)(c\cdot 3^{n-2})+3^n \\ n(c\cdot 3^2) \amp= (n-1)(c\cdot 3)+6(n-2)c+3^2 \text{ en divisant par } 3^{n-2} \\ 9c\cdot n \amp= 3c\cdot n-3c+6c\cdot n-12c+9 \\ 9c\cdot n \amp= 9c\cdot n-15c+9. \\ 0 \amp= -15c+9. \end{align*}
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On trouve alors \(c= \frac{3}{5}\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=\frac{3}{5}\cdot 3^n=\frac{3^{n+1}}{5}\text{.}\)
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(c)
À l’aide des réponses aux questions précédentes, trouver la solution générale à la relation de récurrence lorsque \(F(n)=3^n\text{.}\)
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Réponse.
\(a_n=\alpha_1 (3^n)+\alpha_2(-2)^n+ \frac{n 3^{n+1}}{5}\)
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(d)
Lorsque \(F(n)=3^n\text{,}\) expliquer pourquoi on ne peut pas utiliser une solution particulière de la forme \(a_n^{(p)}= (c\cdot 3^n) \text{,}\) où \(c\) est une constante.
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Réponse.
Puisque \(3^n\) est une solution à la relation de récurrence homogène, si on remplace \(a_n^{(p)} = c\cdot 3^n\) dans la relation, on obtiendra toujours \(c\cdot 3^n = c\cdot 3^{n-1}+ 6 c\cdot (3)^{n-2}+3^n=c\cdot 3^{n}+3^n\text{,}\) c’est-à-dire que \(0=3^n\text{,}\) ce qui est impossible.
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4.
Soit \(a_n^{(p_1)}\) une solution particulière à la relation
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2} + F_1(n) \end{equation*}
et \(a_n^{(p_2)}\) une solution particulière à la relation
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2} + F_2(n)\text{.} \end{equation*}
Montrer que si \(b_1, b_2\in \R\) sont des constantes quelconques, alors \(b_1\cdot a_n^{(p_1)}+b_2\cdot a_n^{(p_2)} \) est une solution particulière à la relation
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2} + b_1\cdot F_1(n)+b_2\cdot F_2(n)\text{.} \end{equation*}
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Solution.
On a
\begin{align*} b_1\cdot a_n^{(p_1)} + b_2\cdot a_n^{(p_2)} \amp = b_1\cdot \left(c_1a_{n-1}^{(p_1)}+c_2a_{n-2}^{(p_1)} + F_1(n)\right) +b_2\cdot \left(c_1a_{n-1}^{(p_2)}+c_2a_{n-2}^{(p_2)} + F_2(n)\right) \\ \amp = c_1\left(b_1\cdot a_{n-1}^{(p_1)}+b_2\cdot a_{n-1}^{(p_2)}\right)+c_2\left(b_1\cdot a_{n-2}^{(p_1)}+b_2\cdot a_{n-2}^{(p_2)}\right) + \bigl(b_1\cdot F_1(n)+b_2\cdot F_2(n)\bigr) \end{align*}
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5.
À l’aide de l’exercice 6.2.3.4, montrer que si \(a_n^{(p_1)}\) et \(a_n^{(p_2)}\) sont des solutions particulières à la relation
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2} + F(n)\text{,} \end{equation*}
alors \(a_n^{(p_1)} - a_n^{(p_2)}\) est une solution particulière à l’équation
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2} \end{equation*}
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Indice.
Poser \(F_1(n)=F_2(n)=F(n)\) dans l’exercice 6.2.3.4.
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Solution.
En posant \(F_1(n)=F_2(n)=F(n)\text{,}\) \(b_1=1\) et \(b_2=-1\text{,}\) par l’exercice 6.2.3.4, on a que \(a_n^{(p_1)}- a_n^{(p_2)}\) est une solution particulière à
\begin{equation*} a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+F_1(n)-F_2(n)=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+F(n)-F(n)=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}. \end{equation*}
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6.
On considère \(a_n=4a_{n-1} -3a_{n-2} + F(n)\text{.}\) Trouver une solution particulière à cette équation si:
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(a)
\(F(n)=2^n\text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= c\cdot 2^n \text{,}\) où \(c\) est une constante;
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Réponse.
\(a_n^{(p)}= -4\cdot 2^n \)
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Solution.
On pose \(a^{(p)}_n=c\cdot 2^n\text{.}\) En remplaçant dans la relation de récurrence, on obtient:
\begin{align*} c\cdot 2^n \amp= 4(c\cdot 2^{n-1})-3(c\cdot 2^{n-2})+2^n \\ c\cdot 2^2 \amp= 4(c\cdot 2)-3(c)+2^2 \text{ en divisant par } 2^{n-2} \\ 4c \amp= 8c-3c+4 \\ 4c \amp= 5c+4. \end{align*}
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On trouve alors \(c= -4\text{,}\) c’est-à-dire que \(a_n^{(p)}=-4\cdot 2^n\text{.}\)
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(b)
\(F(n)=n+3\text{,}\) avec \(a_n^{(p)}= (cn^2+dn) \text{,}\) où \(c\) et \(d\) sont des constantes;
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Réponse.
\(a_n^{(p)}= -\frac{n^2}{4} - \frac{5n}{2}\)
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(c)
\(F(n)=2^n+(n+3)\text{.}\)
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Indice.
Utiliser les parties précédentes, ainsi que l’exercice 6.2.3.4.
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Réponse.
\(a_n^{(p)}= -4\cdot 2^n -\frac{n^2}{4} - \frac{5n}{2}\)
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