Section 5.1 Méthodes de preuves
Depuis le début du cours (et dans vos autres cours de mathématiques), nous avons présenté plusieurs propriétés pour lesquelles nous avons également fourni une démonstration.
Dans ce chapitre, nous allons explorer plus en détail les différentes méthodes de preuves utilisées en mathématiques.
Dans la présente section, nous présenterons les méthodes de preuves de base, soit les preuves directes, les preuves indirectes et les preuves par contradiction.
Dans les prochaines sections, nous présenterons des méthodes de preuves plus avancées, telles que les preuves pas récurrence et les preuves utilisant le principe des tiroirs de Dirichlet.
Sous-section 5.1.1 Un peu de terminologie
Un théorème ou une proposition est un énoncé que l’on peut montrer être vrai. L’argument permettant de vérifier qu’un théorème est vrai est appelé une preuve.
Beaucoup de théorèmes peuvent être énoncés sous la forme d’une implication logique (avec ou sans quantificateurs). Dans ce cas, pour démontrer le théorème, on peut supposer que l’hypothèse est vraie, et à l’aide de propriétés connues et de raisonnements d’inférence, montrer que la conclusion est alors vraie.
Dans n’importe quelle théorie mathématique, il y aura des énoncés qui seront considérés comme étant vrais, sans que l’on puisse les démontrer. On appelle ces énoncés des axiomes. Certains théorèmes sont “moins importants” que d’autres, et on leur donne des noms particuliers. Un lemme est un théorème qu’on utilise principalement pour en démontrer un autre, alors qu’un corollaire est un théorème qui découle directement d’un autre.
Sous-section 5.1.2 Différentes méthodes de preuves
Sous sous-section 5.1.2.1 Preuve directe
Une preuve directe sert à démontrer qu’un énoncé de la forme \(p\rightarrow q\) est vrai, en montrant que si \(p\) est vraie, alors \(q\) est nécessairement vraie. D’un point de vue logique, cette technique est simple, mais elle peut être difficile à utiliser et peut demander de l’intuition.
Exemple 5.1.2. Les carrés parfaits.
Donner une preuve directe que si \(m\) et \(n\) sont des carrés parfaits, alors \(mn\) est aussi un carré parfait. Un carré parfait est un entier \(a\) tel que \(a=b^2\text{,}\) pour \(b\) un entier.Solution.
Si \(m\) et \(n\) sont des entiers parfaits, alors par définition, il existe des entiers \(s\) et \(t\) tels que \(m=s^2\) et \(n=t^2\text{.}\)
Ainsi on a que \(mn=s^2t^2=(ss)(tt)=(st)(st)=(st)^2\text{,}\) où on a utilisé la commutativité et l’associativité du produit dans les entiers. Par définition d’un carré parfait, on peut conclure que \(mn\) est un carré parfait.
Remarque 5.1.3.
Formellement, la plupart des théorèmes sont des énoncés avec quantificateurs. L’énoncé de l’exercice précédent aurait pu être écrit sous la forme suivante.
\begin{equation*}
\forall m\in\,\Z\forall n\in\,\Z\left(P(n)\wedge P(m)\rightarrow P(m\cdot n)\right)\text{,}
\end{equation*}
où \(P(m)\) est la proposition “\(m\) est un carré parfait”.
Pour montrer que l’énoncé est vrai pour tout entier \(m\) et pour tout entier \(n\text{,}\) il suffit de choisir \(m\) et \(n\) des entiers quelconques, c’est-à-dire qu’on utilise uniquement le fait qu’ils sont des entiers, et rien d’autre!
Pour plusieurs des exemples et exercices de la section, on démontrera des propriétés des nombres rationnels et des nombres irrationnels. On rappelle ici les définitions.
Définition 5.1.4.
L’ensemble des nombres rationnels est l’ensemble \(\Q=\{\frac{a}{b}\mid a\in\,\Z,\,b\in\,\Z,\,b\neq 0\}\)Définition 5.1.5.
L’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble \(\Q^c=\{x\in\, \R\mid x\notin\,\Q\}\)Exemple 5.1.6. Le produit de rationnels.
Montrer que si \(p,q\in\,\Q\) alors \(p\cdot q\in\,\Q\text{.}\)Solution.
Si \(p,q\in\,\Q\text{,}\) alors il existe \(r,s,t,u\in\,\Z \) tels que \(p=\frac{r}{s}\text{,}\) \(q=\frac{t}{u}\text{,}\) \(s\neq 0\) et\(u\neq 0\text{.}\)
Ainsi, on a
\begin{equation*}
p\cdot q=\frac{r}{s}\cdot \frac{t}{u}=\frac{rt}{su}\text{,}
\end{equation*}
par définition du produit dans \(\Q\text{.}\) De plus, puisque \(\Z\) est fermé sous le produit, \(rt\in\,\Z\) et \(su\in\,\Z\text{.}\) Finalement, puisque \(s\neq 0\) et \(u\neq 0\text{,}\) alors \(su\neq 0\text{.}\) Ainsi, \(p\cdot q\in\,\Q\text{.}\)
Exemple 5.1.7. Le produit d’irrationnels.
Soit \(p,q\in\,\Q^c\text{,}\) peut-on conclure que \(p\cdot q\in\,\Q^c\) ou bien que \(p\cdot q\in\,\Q\text{?}\)Solution.
On ne peut pas conclure!
En effet, on peut montrer que \(p=\sqrt[3]{2}\in\,\Q^c\) et \(\sqrt[3]{4}\in\, \Q^c\) (voir l’exercice 5.1.4.11). Dans ce cas, si on pose \(q_1=\sqrt[3]{2}\text{,}\) alors \(p\cdot q_1=\sqrt[3]{4}\in\, \Q^c\text{.}\)
Cependant, si \(q_2=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) , alors \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\in\,\Q^c\) (voir l’exercice 5.1.4.6). Dans ce cas, \(p\cdot q_2= 1\in\,\Q\text{.}\)
Exemple 5.1.8. La somme de rationnels.
Montrer que si \(p,q\in\,\Q\) alors \(p+q\in\,\Q\text{.}\)Solution.
Si \(p,q\in\,\Q\text{,}\) alors il existe \(r,s,t,u\in\,\Z \) tels que \(p=\frac{r}{s}\text{,}\) \(q=\frac{t}{u}\text{,}\) \(s\neq 0\) et\(u\neq 0\text{.}\)
Ainsi, on a
\begin{equation*}
p+q=\frac{r}{s}+\frac{t}{u}=\frac{ru+st}{su}\text{,}
\end{equation*}
par définition de la somme dans \(\Q\text{.}\) De plus, puisque \(\Z\) est fermé sous l’adition et le produit, \(ru+st\in\,\Z\) et \(su\in\,\Z\text{.}\) De plus, puisque \(s\neq 0\) et \(u\neq 0\text{,}\) alors \(su\neq 0\text{.}\) Ainsi, \(p+q\in\,\Q\text{.}\)
Sous sous-section 5.1.2.2 Preuve indirecte
Il est parfois difficile de trouver un chemin direct pour montrer que \(p\rightarrow q\text{.}\) Dans certains cas, il sera plus facile de passer par la contraposée! On rappelle que la contraposée de \(p\rightarrow q\) est l’implication \(\neg q \rightarrow \neg p,\) et que \(p\rightarrow q\equiv \neg q\rightarrow \neg p\text{.}\)
Ainsi, au lieu de montrer que si \(p\) est vrai alors \(q\text{,}\) on montre que si \(q\) est fausse, alors \(p\) est fausse.
Exemple 5.1.9. Une preuve indirecte.
Montrer que, si \(n=ab\) pour \(a,b\in\,\N\) alors \(a\leq \sqrt{n}\) ou \(b\leq \sqrt{n}\text{.}\)Solution.
On suppose que la conclusion est fausse, c’est-à-dire que \(\neg(a\leq \sqrt{n}\vee b\leq \sqrt{n})\) est vraie. Par les lois de De Morgan, on suppose que la proposition \(a\gt \sqrt{n} \wedge b\gt \sqrt{n}\) est vraie, et on veut montrer que la proposition \(n\neq ab\) est vraie.
Ainsi, si \(a\gt \sqrt{n}\) et \(b\gt \sqrt{n}\text{,}\) on aura \(n=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n} \lt ab\text{.}\) En particulier, si \(n\lt ab\text{,}\) alors \(n\neq ab\text{.}\)
Exemple 5.1.10. La parité et les carrés, prise 2.
Pour \(n\in\,\N,\) si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair.Sous sous-section 5.1.2.3 Preuve par contradiction
Supposons qu’on veuille montrer qu’une proposition \(p\) est vraie. Suppons également qu’on arrive à montrer que \(\neg p \rightarrow q\) est vraie, où \(q\) une contradiction (une proposition qui est toujours fausse).
Si \(\neg p \rightarrow q\) est vraie et que \(q\) est fausse, alors nécessairement \(\neg p\) est fausse, c’est-à-dire que \(p\) est vraie. La contradiction \(q\) sera souvent formée par \(q\equiv (r \wedge \neg r)\text{.}\)
Exemple 5.1.11. Un premier nombre irrationnel.
Montrer que \(\sqrt{2}\in\,\Q^c\text{.}\)Solution.
On suppose que \(\sqrt{2}\in\,\Q\text{,}\) et on cherche à montrer que cela implique une contradiction.
Si \(\sqrt{2}\in\,\Q\text{,}\) alors \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\text{,}\) où \(a,b\in\,\Z\) et \(b\neq 0\text{.}\) De plus, on peut supposer que cette faction est réduite, c’est-à-dire que \(\pgcd(a,b)=1\text{.}\)
On a alors
\begin{equation*}
2=(\sqrt{2})^2=\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{a^2}{b^2}\text{.}
\end{equation*}
En isolant, on obtient \(a^2=2b^2\text{.}\) Ainsi, par un des exemples précédents on a que \(a^2\) est un nombre pair, et donc \(a\) l’est également. On peut donc écrire \(a=2k\text{,}\) pour \(k\in\,\Z\text{,}\) d’où
\begin{equation*}
a^2=(2k)^2=4k^2=2b^2\text{.}
\end{equation*}
En divisant par \(2\) des deux côtés, on a \(2k^2=b^2\text{.}\) Par le même argument que précédemment, on a que \(b\) est pair. Or, si \(a\) et \(b\) sont pair, on a que \(2\leq\pgcd(a,b)=1\text{.}\) Ceci est une contradiction, car \(2\leq 1\) est faux.
Exemple 5.1.12. La somme d’un rationnel et d’un irrationnel.
Montrer par contradiction que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.Solution.
Soit \(r\in\,\Q\) et \(x\in\,\Q^c\text{,}\) on suppose que \(r+x=s\in\,\Q\text{.}\) On cherche une contradiction.
En isolant \(x,\) on a \(x=s-r=s+(-r).\) On sait que \(-r\in\,\Q\) par 5.1.6, et donc \(s+(-r)\in\,\Q\) par 5.1.8. Ceci est une contradiction, car \(x\in\,\Q^c\text{.}\)
Ainsi, \(r+x\in\,\Q^c\text{.}\)
Exemple 5.1.13. Une implication par contradiction.
Soit \(m,n,p\in\,\Z.\) Montrer par contradiction que si \(m+n\) et \(n+p\) sont pairs, alors \(m+p\) est pair.Solution.
On a une implication \(P\rightarrow Q\text{,}\) où
\begin{equation*}
P:\ m+n \text{ et } n+p \text{ sont pairs }
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
Q:\ m+p\text{ est pair}.
\end{equation*}
On fait une preuve par contradiction. Puisque \(P\rightarrow Q\equiv \neg P \vee Q \text{,}\) la négation de \(P\rightarrow Q\) est \(P\wedge \neg Q.\)
Ainsi, on suppose que \(m+n\) et \(n+p\) sont pairs, mais que \(m+p\) est impair. On cherche ensuite une contradiction.
On sait que la somme de deux nombres pairs est paire et la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire (on demande la preuve de ceci dans les questions de compréhension de la lecture). Ainsi, \((m+n)+(n+p)+(m+p)\) est impair, mais
\begin{equation*}
(m+n)+(n+p)+(m+p)=2(m+n+p)
\end{equation*}
est donc pair. On a ainsi une contradiction.
On a montré qu’il est impossible que les nombres \(m+n\) et \(n+p\) soient pairs et que \(m+p\) soit impair. Ainsi, si \(m+n\) et \(n+p\) sont pairs, alors \(m+p\) est pair.
Sous sous-section 5.1.2.4 La double implication
On rappelle que la proposition \(P\leftrightarrow Q\) est équivalente à \((P\rightarrow Q) \wedge (Q\rightarrow P)\text{.}\) Ainsi, pour montrer que \(P\leftrightarrow Q\) est vraie, il faut montrer que \(P\rightarrow Q\) et \(Q\rightarrow P\) sont vraies.
Si l’on veut montrer plusieurs doubles implications, on peut souvent négliger certaines implications si on arrive à faire le tour des propositions impliquées. Par exemple, pour montrer que les doubles implications \(P_1\leftrightarrow P_2\text{,}\) \(P_2\leftrightarrow P_3\) et \(P_3\leftrightarrow P_1\) sont vraies, il est suffisant de montrer que les implications \(P_1\rightarrow P_2\text{,}\) \(P_2\rightarrow P_3\) et \(P_3\rightarrow P_1\) sont vraies.
Exemple 5.1.14. Si et seulement si.
Soit \(m,\,n\in\,\Z,\) montrer que \(m^2=n^2\) si et seulement si \(m=n\) ou \(m=-n\text{.}\)Solution.
On suppose d’abord que \(m^2=n^2.\) On veut montrer que \(m=\pm n.\) Puisque \(m^2=n^2,\) on a
\begin{align*}
0 \amp = m^2-n^2 \\
\amp = (m-n)(m+n).
\end{align*}
Ainsi, soit \(m-n=0,\) ou bien \(m+n=0\text{,}\) c’est-à-dire que \(m=n\) ou \(m=-n\text{.}\)
On supposons maintenant que \(m=n\) ou \(m=-n\text{.}\) Dans ce cas, \(m-n=0,\) ou bien \(m+n=0\text{,}\) et donc
\begin{align*}
0 \amp = (m-n)(m+n) \\
\amp = m^2-n^2,
\end{align*}
d’où \(m^2=n^2\text{.}\)
Exemple 5.1.15. Un petit raccourci.
Montrer que si \(n\) est un entier, alors les trois énoncés suivants sont équivalents.-
\(P_1:\ 3n+2\) est pair,
-
\(P_2:\ n+5\) est impair,
-
\(P_3:\ n^2\) est pair.
Solution.
-
On montre que \(P_1\rightarrow P_2\) est vraie.Puisque \(3n +2 \) est pair, on a\begin{align*} 0\amp\equiv 3n+2 \mod 2 \\ \amp\equiv n \mod 2. \end{align*}Ainsi,\begin{align*} n+5\amp\equiv 0+1\mod 2\\ \amp\equiv 1 \mod 2, \end{align*}d’où \(n+5\) est impair.
-
On montre que \(P_2\rightarrow P_3\) est vraie.Puisque \(n+5\) est impair, on a\begin{align*} 1\amp\equiv n+5 \mod 2\\ \amp\equiv n + 1 \mod 2. \end{align*}Ainsi, \(n\equiv 0 \mod 2,\) et donc \(n^2\equiv 0 \mod 2,\) c’est-à-dire que \(n^2\) est pair.
-
Finalement, on montre que \(P_3\rightarrow P_1\) est vraie.Puisque \(n^2\) est pair, on sait que \(n\) est pair, et donc \(n\equiv 0 \mod 2.\) En remplaçant, on a\begin{align*} 3n+2\amp\equiv 3(0)+0 \mod 2\\ \amp\equiv 0 \mod 2. \end{align*}Ainsi, \(3n+2\) est pair.
Les éléments importants de cette section sont les différentes méthodes de preuves:
-
Les preuves directes.
-
Les preuves indirectes .
-
Le cas d’une ou plusieurs implications, en particulier, le cas de la double implication.
Questions de compréhension de la lecture 5.1.3 Questions de compréhension de la lecture
Ces questions sont à faire avant de venir en classe et à remettre au début du cours.
1.
Utiliser une preuve directe pour démontrer que la somme de deux entiers impairs est paire.2.
Utiliser une preuve directe pour démontrer que la somme de deux entiers pairs est paire.3.
Utiliser une preuve directe pour démontrer que tout nombre entier impair est la différence de deux carrés parfaits.4.
Utiliser une preuve indirecte pour démontrer que pour tout \(n\in\,\N,\) si \(n^3+5\) est impair, alors \(n\) est pair.5.
Noter toute question qui demeure suite à la lecture de la section et la résolution des exercices ci-dessus ou toute précision/clarification à apporter. Note: cette question est facultative.
Exercices 5.1.4 Exercices
À faire en classe.
Ces exercices sont faits pour travailler en classe. Ils servent à approfondir les notions de la section et à atteindre les objectifs d’apprentissage plus avancés.
1.
Montrer que si \(x\in\,\Q\) et \(x\neq 0\text{,}\) alors \(\frac{1}{x}\in\,\Q\text{.}\)Indice.
Solution.
Puisque \(x\in\,\Q-\{0\}\text{,}\) par définition de \(\Q\text{,}\) on sait qu’il existe \(p,\,q\in\,\Z\) tel que \(x=\frac{p}{q}\text{,}\) avec \(q\neq 0\text{.}\) Puisque \(x\neq 0\text{,}\) on sait également que \(p\neq 0\text{.}\)
2.
Montrer que si \(x,y\in\,\R\) alors \(\text{min}(x,y)+\text{max}(x,y)=x+y,\) où \(\text{min}(x,y)\) est la plus petite valeur entre \(x\) et \(y,\) alors que \(\text{max}(x,y)\) est la plus grande valeur entre \(x\) et \(y\text{.}\)Indice.
Solution.
On suppose d’abord que \(x\geq y.\) Dans ce cas, on a que \(\text{min}(x,y)=y\) et \(\text{max}(x,y)=x.\) Ainsi, \(\text{min}(x,y)+\text{max}(x,y)=y+x=x+y,\) par commutativité de l’addition dans \(\Z\text{.}\)
On ensuite que \(y \gt x.\) Dans ce cas, on a que \(\text{min}(x,y)=x\) et \(\text{max}(x,y)=y.\) Ainsi, \(\text{min}(x,y)+\text{max}(x,y)=y+x\text{.}\)
3.
Montrer que si \(m\) et \(n\) sont des entiers de parité différente, alors \(5m+5n\) est un entier impair.Indice.
Solution.
On suppose que \(m\) est pair et que \(n\) est impair. Ainsi, \(m\equiv 0 \mod 2,\) alors que \(n\equiv 1 \mod 2\text{.}\)
Ainsi, on a
\begin{align*}
5m+5n \amp\equiv 5(0)+5(1) \mod 2 \amp \text{par les propriétés de }\equiv\mod 2\\
\amp\equiv 1 \mod 2
\end{align*}
d’où \(5m+5n\) est un entier impair.
4.
Montrer que pour \(n\) un entier, si \(n^3\) est pair, alors \(n\) est pair.Indice.
Solution.
Ainsi,
\begin{align*}
n^3 \amp\equiv (1)^3 \mod 2 \amp \text{ par les propriétés de }\equiv\mod 2\\
\amp\equiv 1 \mod 2
\end{align*}
d’où \(n^3\) est un nombre impair.
On a montré que si \(n\) est un entier impair, alors \(n^3\) est impair. Ainsi, si \(n^3\) est pair, on doit nécessairement avoir que \(n\) est pair.
5.
Soit \(a\in\,\Z,\) et soit \(m\) et \(n\) des entiers plus grand que \(0\text{.}\) Montrer que \(a^m+a^n\equiv 0 \mod 2\)Indice.
Solution.
Supposons que \(a\equiv 0 \mod 2.\) Par les propriétés de l’équivalence modulo \(2,\) on a que
\begin{align*}
a^m+a^n \amp\equiv 0^m + 0^n \mod 2\\
\amp\equiv 0 + 0 \mod 2\\
\amp\equiv 0 \mod 2
\end{align*}
d’où \(a^m+a^n\) est pair. On remarque ici qu’on a utilisé le fait que \(m\) et \(n\) sont non nuls, car \(0^0\) n’est pas défini.
Supposons maintenant que \(a\equiv 1 \mod 2.\) Par les propriétés de l’équivalence modulo \(2,\) on a que
\begin{align*}
a^m+a^n \amp\equiv 1^m + 1^n \mod 2\\
\amp\equiv 1 + 1 \mod 2\\
\amp\equiv 0 \mod 2
\end{align*}
d’où \(a^m+a^n\) est pair.
Puisque \(a\) est nécessairement pair ou impair, on a montré dans tous les cas que \(a^m+a^n\) est pair.
6.
Montrer que si \(x\in\,\Q^c,\) alors \(\frac{1}{x}\in\,\Q^c\text{.}\)Indice.
Solution.
On suppose que \(\frac{1}{x}\in\,\Q.\) On veut montrer que \(x\in\,\Q.\) Puisque \(\frac{1}{x}\in\,\Q,\) on sait que \(x\neq 0\text{.}\) Aussi, \(\frac{1}{x}\neq 0\text{,}\) car \(1\neq 0\text{.}\)
Par le numéro 5.1.4.1, on a que \(\frac{1}{\frac{1}{x}}\in\,\Q.\) Or, on sait aussi que \(\frac{1}{\frac{1}{x}}=x.\) On a donc \(x\in\,\Q\text{.}\)
On vient de montrer que si \(\frac{1}{x}\in\,\Q,\) alors \(x\in\,\Q\text{.}\) Ainsi, si \(x\in\,\Q^c,\) on doit nécessairement avoir que \(\frac{1}{x}\in\,\Q^c\text{.}\)
7.
Soit \(x,\, y\in\,\R\text{,}\) montrer que si \(x+y\geq 2,\) alors \(x\geq 1\) ou \(y\geq 1\text{.}\)Indice.
Solution.
On suppose que \(x\lt 1\) et \(y \lt 1.\) On veut montrer que \(x+y\lt 2.\) Puisque \(x\lt 1\) et \(y \lt 1,\) on a que \(x+y \lt 1 + 1 =2\text{.}\)
On a montré que si \(x\lt 1\) et \(y \lt 1,\) alors \(x+y\lt 2.\) Ainsi, si \(x+y\geq 2,\) on doit nécessairement avoir que \(x\geq 1\) ou \(y\geq 1\text{.}\)
8.
Soit \(m,\, n\in\,\Z,\) montrer que si \(mn\) est pair, alors \(m\) est pair ou \(n\) est pair.Indice.
Solution.
On suppose que \(m\) et \(n\) sont tous les deux impairs. On veut alors montrer que le produit \(mn\) est également impair.
Puisque \(m\) et \(n\) sont impairs, on a que \(m\equiv 1 \mod 2\) et \(n\equiv 1 \mod 2.\) Ainsi,
\begin{align*}
mn\amp\equiv 1\cdot 1 \mod 2\\
\amp\equiv 1 \mod 2
\end{align*}
c’est-à-dire que \(mn\) est impair.
On a montrer que si \(m\) et \(n\) sont tous deux impairs, alors \(mn\) est également impair. Ainsi, si \(mn\) est pair, on doit nécessairement avoir que \(m\) ou \(n\) est pair.
9.
Montrer qu’au moins un des nombres réels \(a_1,a_2,\dots,a_n\) est plus grand ou égal à la moyenne de ces nombres.Indice.
Solution.
On note \(M\) la moyenne des \(a_i,\) et on suppose que \(a_i\lt M\) pour \(i\) allant de \(1\) à \(n.\)
Par les propriétés de la somme dans \(\R,\) on a que \(a_1+a_2+\cdots + a_n \lt \underbrace{M+M+\cdots + M}_{n \text{ fois }} =n\cdot M.\)
Ainsi,
\begin{equation*}
M=\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\lt\frac{nM}{n}=M\text{.}
\end{equation*}
On vient donc de montrer que \(M\lt M,\) ce qui est une contradiction. Il doit donc nécessairement y avoir au moins un des \(a_i\) qui est plus grand ou égal à \(M\text{.}\)
10.
Soit \(p\in\,\N\) un nombre premier et \(m,\,n\in\,\N\text{.}\) Montrer que si \(p\) divise \(m\cdot n,\) alors \(p\) divise \(m\) ou \(n\text{.}\)Indice 1.
Indice 2.
Solution.
On suppose que \(p\) divise \(m\cdot n,\) et on veut montrer que \(p\) divise \(m\) ou \(n\text{.}\) Si \(p\mid n\text{,}\) on a terminé. Si \(p\) ne divise pas \(n,\) on doit montrer que \(p\) divise \(m\)
Puisque \(p\) ne divise pas \(n\) et puisque \(p\) est un nombre premier, on a que \(\pgcd(n,p)=1.\) Ainsi, on sait que \(n\) possède un inverse modulo \(p,\) c’est-à-dire qu’il existe un entier \(a\) tel que
\begin{equation*}
a\cdot n \equiv 1 \mod p\text{.}
\end{equation*}
D’un autre côté, puisque \(p\) divise \(m\cdot n\text{,}\) on a que \(n\cdot m \equiv 0 \mod p\text{.}\)
On a alors
\begin{align*}
\amp\amp n\cdot m \amp\equiv 0 \mod p\\
\text{d'où } \amp\amp (a n)\cdot m \amp\equiv a \cdot 0 \mod p\\
\amp\amp (1)m\amp\equiv 0 \mod p\\
\amp\amp m\amp\equiv 0 \mod p
\end{align*}
c’est-à-dire que \(p\mid m\)
11.
Montrer que \(\sqrt[3]{2}\in\,\Q^c\) et \(\sqrt[3]{4}\in\,\Q^c\text{.}\)Indice 1.
Solution 1.
Posons \(x=\sqrt[3]{2}\text{.}\) On suppose que \(x\in\,\Q.\) On peut alors écrire \(x=\frac{a}{b},\) avec \(a,\,b\in\,\Z,\) et \(b\neq 0.\) Sans perdre de généralité, on peut également supposer que cette fraction est réduite, c’est-à-dire que \(\pgcd(a,b)=1\text{.}\)
On a donc
\begin{equation*}
2=x^3=\frac{a^3}{b^3}\text{,}
\end{equation*}
d’où
\begin{equation*}
2b^3=a^3\text{.}
\end{equation*}
En particulier, on a que \(2\mid a^3\text{.}\) Par l’exercice 5.1.4.4, on a que \(2\mid a\text{.}\) On peut donc écrire \(a=2k,\) où \(k\) est un entier quelconque. En remplaçant dans la dernière égalité, on a
\begin{align*}
2 b^3 \amp= (2k)^3=2^3k^3 \\
b^3 \amp= 2^2k^3
\end{align*}
On a donc montré que \(2\mid a\) et \(2\mid b,\) d’où \(2\leq \pgcd(a,b) = 1,\) ce qui est une contradiction. Ainsi, on doit nécessairement avoir \(x\in\,\Q^c\text{.}\)
Solution 2.
Posons \(x=\sqrt[3]{4}\text{.}\) On suppose que \(x\in\,\Q.\) On peut alors écrire \(x=\frac{a}{b},\) avec \(a,\,b\in\,\Z,\) et \(b\neq 0.\) Sans perdre de généralité, on peut également supposer que cette fraction est réduite, c’est-à-dire que \(\pgcd(a,b)=1\text{.}\)
On a donc
\begin{equation*}
4=x^3=\frac{a^3}{b^3}\text{,}
\end{equation*}
d’où
\begin{equation*}
2^2b^3=a^3\text{.}
\end{equation*}
En particulier, on a que \(2\mid a^3\text{.}\) Encore une fois, par 5.1.4.4, on a que \(2\mid a\text{.}\) On peut donc écrire \(a=2k,\) où \(k\) est un entier quelconque. En remplaçant dans la dernière égalité, on a
\begin{align*}
2^2b^3 \amp= (2k)^3=2^3k^3 \\
b^3 \amp= 2k^3
\end{align*}
On a donc montré que \(2\mid a\) et \(2\mid b,\) d’où \(2\leq \pgcd(a,b) = 1,\) ce qui est une contradiction. Ainsi, on doit nécessairement avoir \(x\in\,\Q^c\text{.}\)
12.
Montrer par contradiction qu’il n’y a pas de nombre \(r\in\,\Q\) tel que \(r^3+r+1=0\text{.}\)Indice.
Solution.
On suppose que \(r=\frac{a}{b}\) où \(\pgcd(a,b)=1\text{.}\) Ainsi, on a
\begin{align*}
0 \amp= r^3+r+1 \\
0 \amp= \left(\frac{a}{b}\right)^3+\frac{a}{b}+1 \\
0 \amp= \frac{a^3}{b^3}+\frac{a}{b} + 1 \\
0 \amp= a^3+ab^2 +b^3
\end{align*}
Supposons que \(b\) soit impair. On a alors
\begin{align*}
0 = a^3 + ab^2+b^3 \amp\equiv a^3+ a^2 +1 \mod 2\\
0 \amp\equiv 0+ 1 \mod 2 \amp\amp\text{ par l'exercice }\knowl{./knowl/xref/exo-sommePuissancePair.html}{\text{5.1.4.5}}\\
0 \amp\equiv 1 \mod 2
\end{align*}
ce qui est une contradiction. Ainsi, on doit avoir que \(b\) est pair.
Sachant que \(b\) est pair, on veut également montrer que \(a\) est pair. Puisque \(b\) est pair, on a
\begin{align*}
0 = a^3 + ab^2+b^3 \amp\equiv a^3+ a^2\cdot 0+0 \mod 2\\
0 \amp\equiv a^3 \mod 2
\end{align*}
Avec tout ce travail, on a montré que \(2\mid a\) et \(2\mid b\text{,}\) mais alors \(2\leq \pgcd(a,b)=1,\) ce qui est une contradiction. Il n’y a donc pas de solution rationnelle à l’équation \(x^3+x+1=0\text{.}\)
13.
Montrer ou réfuter que le produit d’un nombre rationnel différent de \(0\) par un irrationnel est un irrationnel.Indice 1.
Indice 2.
Solution.
Soit \(r\in\,\Q^\ast\) et \(x\in\,\Q^c,\) supposons que \(rx=y\in\,\Q.\) Puisque \(r\neq 0,\) par l’exercice 5.1.4.1, on sait que \(\frac{1}{r}\in\,\Q.\) Ainsi, \(x= y \frac{1}{r}\in\,\Q,\) par l’exemple 5.1.6.
Ceci est une contradiction, car on avait supposé \(x\in\,\Q^c.\) On doit donc avoir \(y\in\,\Q^c\text{.}\)
14.
15.
Montrer que si \(n\) est un entier, alors les quatre énoncés suivants sont équivalents.-
\(n\) est pair,
-
\(n+1\) est impair,
-
\(3n+1\) est impair,
-
\(3n\) est pair.
Indice.
\(n+1\equiv 1 \mod 2\rightarrow n \equiv 0 \mod 2\rightarrow 3n \equiv 0 \mod 2\rightarrow 3n+1\equiv 1 \mod 2\rightarrow n+1\equiv 1 \mod 2\)
Solution.
Supposons que \(n+1\equiv 1 \mod 2,\) par les propriétés des équivalences modulo \(2,\) on a que \(n \equiv 0 \mod 2\text{.}\)
Supposons que \(n \equiv 0 \mod 2,\) par les propriétés des équivalences modulo \(2,\) on a que \(3n \equiv 0 \mod 2\text{.}\)
Supposons que \(3n \equiv 0 \mod 2,\) par les propriétés des équivalences modulo \(2,\) on a que \(3n+1 \equiv 1 \mod 2\text{.}\)
Supposons que \(3n +1 \equiv 1 \mod 2,\) par les propriétés des équivalences modulo \(2,\) on a que \(3n \equiv 0 \mod 2.\) Ainsi, on a que \(3n\) est pair. Par l’exercice 5.1.4.10, on a que \(2\mid n,\) car on sait que \(3\) est impair.
16.
Montrer ou réfuter que si \(x\in\,\Q\) et \(y\in\,\Q\text{,}\) alors \(x^y\in\,\Q\text{.}\)Indice 1.
Indice 2.
17.
Montrer ou réfuter qu’il existe \(x\in\,\Q^c\) et \(y\in\,\Q^c\) tel que \(x^y\in\,\Q\text{.}\)Indice 1.
Indice 2.
\(\sqrt{2}^\sqrt{2}\text{.}\)\(\sqrt{2}^\sqrt{2}\in\,\Q,\)\(\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}\text{?}\)
Solution.
On considère \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\in \R\text{.}\) À priori, on ne sait pas si \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\in \Q\) ou si \(\sqrt{2}^\sqrt{2}\in \Q^c\text{.}\) On étudie ces deux possibilités.
Si \(\sqrt{2}^\sqrt{2} \in \Q\text{,}\) on a déjà terminé. En effet, on peut poser \(x=y=\sqrt{2}\in \Q^c\text{.}\) On aurait alors \(x^y = \sqrt{2}^\sqrt{2}\in \Q\text{.}\)
Si on a plutôt \(\sqrt{2}^\sqrt{2} \in \Q^c\text{,}\) on doit travailler un peu plus. On pose \(x=\sqrt{2}^\sqrt{2} \in \Q^c\text{,}\) et \(y=\sqrt{2}\in \Q^c\text{.}\) On a alors
\begin{equation*}
x^y=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} =\sqrt{2}^\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \right) = \sqrt{2}^2 = 2
\end{equation*}
18.
Montrer ou réfuter qu’il existe un \(x\in\,\Q\) et un \(y\in\,\Q^c\) tels que \(x^y\in\,\Q^c\text{.}\)Indice 1.
Indice 2.
\(2^\sqrt{2}\text{.}\)\(2^\sqrt{2}\in\, \Q^c\text{,}\)\({\left(2^\sqrt{2}\right)}^{\frac{\sqrt{2}}{4}}\text{?}\)
Solution.
Tout d’abord, on remarque que \(2\in\,\Q\) et \(\sqrt{2}\in\,\Q^c.\) Il y a alors deux cas possibles. Soit \(2^\sqrt{2}\in\,\Q^c,\) ou bien \(2^\sqrt{2}\in\,\Q\text{.}\)
Supposons que \(2^{\sqrt{2}}\in\,\Q^c,\) alors on peut poser \(x=2\) et \(y=\sqrt{2}\text{,}\) et on a terminé.
Si \(2^{\sqrt{2}}\in\,\Q,\) on peut alors poser \(x=2^\sqrt{2}\in\,\Q\) et \(y= \frac{\sqrt{2}}{4}\in\,\Q^c\text{,}\) par l’exercice 5.1.4.13. On a alors
\begin{equation*}
x^y=\left(2^\sqrt{2}\right)^\frac{\sqrt{2}}{4}=2^{\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\in\,\Q^c\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, on n’a pas explicitement trouvé un \(x\in\,\Q\) et un \(y\in\,\Q^c\) tel que \(x^y\in\,\Q^c,\) mais on a montré qu’une telle paire existe.
