Ce chapitre laisse un peu de côté les vecteurs et les transformations linéaires. Ils seront toujours présents en arrière-plan, mais le but ici est de voir les matrices d’un point de vue davantage calculatoire, avec les applications que cela peut avoir. Dans le reste du livre, on fera souvent le saut entre géométrie et algèbre.
La plupart des problèmes en algèbre linéaire peuvent se résumer à l’aide des trois équations suivantes:
Plus précisément, l’équation (3.0.1) se décline selon les sous-questions
Étant donnés une matrice \(A\) et un vecteur \(\vec{b}\text{,}\) quelles sont les solutions à l’équation \(A\vec{v}=\vec{b}\text{?}\)
Étant donnée une matrice \(A\text{,}\) pour quel(s) vecteur(s) \(\vec{b}\) peut-on trouver une solution à l’équation \(A\vec{v}=\vec{b}\text{?}\)
L’équation (3.0.2) pose la question, étant donné une matrice \(A\text{,}\) est-ce qu’il existe des vecteurs dont la direction est inchangée suite à une transformation linéaire? Cette question semble anodine à première vue, mais est au cœur de plusieurs résultats en mathématique.
Finalement, l’équation (3.0.3) est reliée à l’équation (3.0.1) dans le sens où, si pour \(A,\vec{b}\) donnés, l’équation \(A\vec{v}=\vec{b}\) ne possède pas de solution exacte, quelle serait une solution approximative adéquate?
On mentionne aussi que dans certains cas, on parlera de la forme \(A\vec{x}=\vec{b}\text{,}\) la lettre \(x\) étant souvent utilisée pour représenter une inconnue dans d’autres contextes.
Principalement, on va se concentrer sur l’équation (3.0.1) et ses sous-questions. Éventuellement, on abordera aussi l’équation (3.0.2) jusqu’à un certain point, puisqu’elle a un certain intérêt géométrique. Finalement, on parlera peut-être un peu de l’équation (3.0.3), mais sans entrer dans les détails techniques.
Dans ce chapitre, on introduit les systèmes d’équations linéaires, les matrices élémentaires, la forme échelonnée réduite d’une matrice et la méthode de Gauss-Jordan. .
