Projet 3.5.1. Des matrices magiques.
On considère la matrice
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} 4& 9& 2\\
3& 5& 7\\
8& 1& 6\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Dans cette matrice, on peut remarquer que la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut \(15\text{.}\) De plus, la somme des deux diagonales vaut aussi \(15\text{.}\) La matrice \(M\) est un exemple de ce qu’on appelle un carré magique. Dans la matrice \(M\text{,}\) on constate que les neuf entrées sont exactement les valeurs \(1,2,\ldots , 9\text{,}\) mais ce n’est pas une condition essentielle d’un carré magique. Un tel exemple sera dit carré magique classique.
Soit \(M\text{,}\) une matrice \(n\times n\text{.}\) Si toutes les lignes et toutes les colonnes de la matrice somment à la même valeur, on dit que \(M\) est semi-magique. Si, en plus, les deux diagonales somment à cette même valeur, on dit alors que \(M\) est magique.
Dans cette activité, on s’intéresse à la construction de carrés magiques.
(a) Le cas \(3\times 3\).
On commence avec une méthode qui permettra d’obtenir la matrice \(M\) de l’introduction. On considère une matrice quelconque de taille \(3\times 3\)
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} a& d& g\\
b& e& h\\
c& f& i\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
(i)
Dans l’exemple en introduction, la somme magique est \(15\text{.}\) On peut écrire un système à 8 équations et 9 inconnues pour que la matrice quelconque soit magique et que sa somme soit \(15\text{:}\)
\begin{alignat*}{12}
a&&&&&{}+{}&d&&&&&{}+{}&g&&&&&{}={}& 15&&&&\text{ ligne 1}\\
&&b&&&&&{}+{}&e&&&&&{}+{}&h&&&{}={}& 15&&&& \text{ ligne 2}\\
&&&&c&{}+{}&&&&{}+{}&f&&&&&{}+{}&i&{}={}& 15&&&& \text{ ligne 3}\\
a&{}+{}&b&{}+{}&c&&&&&&&&&&&&&{}={}& 15&&&& \text{ colonne 1}\\
&&&&&&d&{}+{}&e&{}+{}&f&&&&&&&{}={}& 15&&&& \text{ colonne 2}\\
&&&&&&&&&&&&g&{}+{}&h&{}+{}&i&{}={}& 15&&&& \text{ colonne 3}\\
a&&&&&&&{}+{}&e&&&&&&&{}+{}&i&{}={}& 15&&&& \text{ diagonale 1}\\
&&&&c&&&{}+{}&e&&&{}+{}&g&&&&&{}={}& 15&&&& \text{ diagonale 2}\text{.}
\end{alignat*}
Utiliser Sage pour résoudre ce système d’équations. Il devrait y avoir deux variables libres dans la forme échelonnée réduite. Quelles sont-elles et quelles doivent être les valeurs de ces variables libres pour que la solution soit égale à la matrice \(M\) de l’introduction?
(ii)
Déterminer le carré magique \(3\times 3\) où votre date de fête, sous le format (jj/mm), apparait aux variables libres, toujours avec une somme de \(15\text{.}\)
(iii)
Donner d’autres exemples de carrés magiques \(3\times 3\) dont la somme vaut \(15\text{,}\) en changeant la valeur des variables libres. Qu’y a-t-il de commun entre chacun des carrés magiques?
(iv)
Donner le carré magique dont la somme est égale aux trois derniers chiffres de votre numéro de DA, toujours avec les variables libres égales à votre date de fête.
(v)
Vérifier à nouveau l’hypothèse de la partie 3.5.1.a.iii pour les carrés magiques de somme le numéro de DA.
