Projet 1.5.1. De la géométrie particulièrement hasardeuse.
La fonction
choice([]) de Sage permet d’obtenir un des éléments dans la liste [ ] de manière aléatoire. Par exemple, on simule le lancer d’un dé dans la cellule ci-dessous.Le résultat change entre chaque clic du bouton évaluer.
La fonction
triangle(n), définie ci-dessous, utilise la fonction choice() pour sélectionner de manière aléatoire un sommet d’un triangle équilatéral centré à l’origine. On note ce point \(P\text{.}\) On effectue ensuite le jeu suivant:- On sélectionne un sommet du triangle \(S\text{,}\) au hasard avec la fonction
choice(). - On calcule le point \(Q\text{,}\) situé à mi-chemin entre \(P\) et \(S\text{.}\)
- Le point \(Q\) devient le nouveau point \(P\text{.}\)
- On répète ce processus \(n\) fois et on affiche le graphique de tous les points ainsi obtenus.
(a)
Dans la fonction triangle ci-dessous, il faut compléter la ligne
####### À COMPLÉTER ####### afin de calculer le point \(Q\text{.}\) Une fois cette opération effectuée, exécuter la commande triangle(10) afin de générer dix tours de ce jeu. Le résultat devrait ressembler à la figure 1.5.1, sans nécessairement lui être identique, puisqu’il s’agit de hasard.
Indice.
Utiliser la cellule suivante pour comprendre comment la boucle
for i in range(n) fonctionne.(b)
On va maintenant regarder ce qui se passe lorsque le nombre de points devient suffisamment grand.
(i)
Évaluer la cellule ci-dessous plusieurs fois pour voir le résultat des \(100\) premiers tours de jeu. À quoi ressemblera la figure avec davantage (\(10000\text{?}\)) de points? Tenter une prédiction avant de tester \(10000\) points.
(ii)
Évaluer la cellule suivante. Attention, cela peut prendre un certain temps.
(iii)
Dans le cas présent, on prend le point milieu entre \(P\) et \(S\text{.}\) Que se passe-t-il si l’on prend un point \(Q\) sur le segment \(PS\text{,}\) mais avec un rapport plus petit ou plus grand que \(\frac{1}{2}\text{.}\) Par exemple, si on prend \(Q\) au \(2/3\) du segment \(PS\) (en partant de \(P\)), qu’obtiendra-t-on après \(10000\) tours? Tenter de faire une prédiction et modifier le code de la simulation en le copiant dans les cellules ci-dessous.
Que se passe t-il si le point Q est en dehors du segment \(PS\text{?}\)
(c)
On explore maintenant d’autres généralisations. Voici des figures représentant certaines de ces généralisations.
Trouver une variante du jeu qui produit un effet intéressant. Il est possible de s’inspirer de ou de simplement reproduire ces figures.
