ALIR Vecteurs dans \mathbb{R}^n

Section 1.4 Vecteurs dans \(\mathbb{R}^n\)

Aller aux exercices 1.4.4 de la section.

Bien que notre conception de la géométrie se limite aux objets dans \(\R^2\) ou \(\R^3\text{,}\) il y a de l’intérêt à considérer les objets de dimension supérieure. Dans le chapitre 3, on s’intéresse à résoudre un ensemble d’équations de la forme

\begin{equation*} a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n=b_1\text{,} \end{equation*}

appelées équations linéaires. Ces équations comportant \(n\) variables apparaissent dans plusieurs domaines. On n’a qu’à penser à la quantité sans cesse grandissante de données disponibles pour les compagnies, gouvernements, etc. Une approche vectorielle des problèmes liés à l’interprétation de ces données facilite grandement la chose, en particulier grâce à la puissance des ordinateurs d’aujourd’hui. Dans cette section, on généralise les concepts du présent chapitre afin de les étendre, lorsque possible, à des vecteurs à \(n\) composantes.

Sous-section 1.4.1 Définition et opérations sur les vecteurs

Un vecteur dans \(\R^n\) possède les mêmes caractéristiques qu’un vecteur dans \(\R^2\) ou \(\R^3\text{;}\) ces caractéristiques sont données dans la définition 1.1.2. Il est toujours possible de représenter le vecteur comme une flèche, mais on ne pourra pas le représenter dans l’espace au complet. Algébriquement, on décrit un vecteur à l’aide d’une suite de nombres, entre parenthèses, séparés par des virgules. Par exemple,

\begin{align*} \vec{u}&=(1,2,-3,4)\\ \vec{v}&=\left(-1,0,0,2,3,4,\frac{1}{2},\pi\right) \end{align*}

sont deux vecteurs, respectivement de \(\R^4\) et \(\R^8\text{.}\) L’espace \(\R^n\) est donc défini comme l’ensemble des points ou vecteurs de la forme

\begin{equation*} \vec{u}=(u_1,u_2,\ldots , u_n) \end{equation*}

où \(u_1,u_2,\ldots , u_n\in \R\text{.}\) Le vecteur nul est toujours noté \(\vec{0}=(0,0,\cdots , 0)\) et possède les mêmes propriétés que dans \(\R^2\) ou \(\R^3\text{.}\)

Si deux points \(A\) et \(B\) de \(\R^n\) sont donnés, il est possible de créer le vecteur \(\vecl{AB}\) les reliant à l’aide de l’équation vectorielle

\begin{equation*} \vecl{AB}=\vecl{OB}-\vecl{OA}=(b_1-a_1,b_2-a_2,\ldots , b_n-a_n)\text{.} \end{equation*}

La longueur d’un vecteur est définie comme étant

\begin{equation*} \norm{\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots + u_n^2}\text{.} \end{equation*}

De plus, on définit la multiplication par un scalaire et l’addition vectorielle composante par composante, de sorte que

\begin{align*} c\vec{u}&=(cu_1,cu_2,\cdots , cu_n)\\ \vec{u}+\vec{v}&=(u_1+v_1,u_2+v_2,\cdots, u_n+v_n)\text{.} \end{align*}

Les propriétés de la multiplication par un scalaire et de l’addition, en particulier celles données à l’exercice 1.1.4.12 demeurent valides dans \(\R^n\) puisqu’une simple adaptation de la solution à l’exercice permettrait d’avoir l’équivalent dans \(\R^n\text{.}\)

Même sans la géométrie, on garde la notion de vecteurs parallèles lorsque \(\vec{v}=c\vec{u}\text{.}\) Par convention, on considère toujours que le vecteur nul n’est parallèle à aucun vecteur.

Sage est capable de travailler avec les vecteurs de dimension \(n\text{,}\) à l’aide des mêmes commandes algébriques que celles définies tout au long du chapitre.

Calcul 1.4.1. Les vecteurs de dimension supérieure avec Sage.

On peut définir des vecteurs à l’aide de la commande vector. On peut les multiplier par un scalaire, les additionner, etc.

Sous-section 1.4.2 Le produit scalaire et le calcul d’angle en dimension supérieure

À la section 1.2, on a obtenu de manière algébrique le produit scalaire de deux vecteurs à la définition 1.2.4. Cette définition se généralise donc facilement aux vecteurs à \(n\) composantes:

\begin{equation} \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n\text{.}\tag{1.4.1} \end{equation}

On a également, à partir de la loi des cosinus, obtenu une formule pour l’angle entre deux vecteurs. La notion d’angle entre deux vecteurs de \(\R^n\) peut sembler inutile sans la géométrie pour l’appuyer, or le concept de vecteurs orthogonaux est primordial dans toutes les dimensions. Comme il est possible d’exprimer le cosinus de l’angle entre deux vecteurs d’une manière purement algébrique, on définit pour tout vecteur de \(\R^n\) l’unique valeur de \(\theta\in [0,\pi]\) telle que

\begin{equation} \cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}}\text{.}\tag{1.4.2} \end{equation}

Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux si cet angle vaut \(\frac{\pi}{2}\) ou \(90^\circ\text{.}\) Notons encore une fois que le vecteur nul n’est orthogonal à aucun vecteur.

Les propriétés du produit scalaire, notamment celles de la proposition 1.2.6, sont aussi valides dans \(\mathbb{R}^n\text{.}\) Nulle part dans leur démonstration on n’a utilisé le fait que les vecteurs étaient dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) spécifiquement. L’inégalité de Cauchy-Schwarz 1.2.11 est aussi valide dans \(\R^n\text{.}\)

Finalement, la notion de projection orthogonale définie par l’équation (1.2.5) est aussi un concept qui se généralise, et comme deux vecteurs peuvent toujours être représentés dans un même plan, l’image est la même (figure 1.2.14).

Exemple 1.4.2. Exemple de calculs avec les vecteurs de dimension supérieure.

On considère les vecteurs \(\vec{u}=(1,1,1,1)\) et \(\vec{v}=(-2,3,-4,1)\text{.}\) On cherche à calculer

L’angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)
La projection \(\vec{u}_{\vec{v}}\text{.}\)
La projection \(\vec{v}_{\vec{u}}\text{.}\)

Solution 1.

On sait selon, la formule (1.4.2), que le cosinus de l’angle doit être égal à

\begin{align*} \cos(\theta)&=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}}\\ &=\frac{-2+3-4+1}{2*\sqrt{30}}\\ &=\frac{-2}{2\sqrt{30}}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{30}}\text{.} \end{align*}

En prenant la fonction cosinus inverse, on trouve

\begin{equation*} \theta=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)\approx 1.7544\text{.} \end{equation*}

Solution 2.

Pour la projection, on utilise la formule (1.2.5) (les rôles de \(\vec{u},\vec{v}\) sont inversés ici). On obtient donc

\begin{align*} \vec{u}_{\vec{v}}&=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\norm{\vec{v}}^2}\vec{v}\\ &=\frac{-2}{30}(-2,3,-4,1)\\ &=\left(\frac{2}{15},-\frac{1}{5},\frac{4}{15},-\frac{1}{15}\right)\text{.} \end{align*}

Solution 3.

Toujours en utilisant la formule (1.2.5). On obtient donc

\begin{align*} \vec{v}_{\vec{u}}&=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\norm{\vec{u}}^2}\vec{u}\\ &=\frac{-2}{4}(1,1,1,1)\\ &=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\text{.} \end{align*}

Sous-section 1.4.3 Espace engendré

Dans les espaces \(\R^2\) et \(\R^3\text{,}\) l’ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs engendre toujours un point, une droite, un plan ou l’espace au complet. Comme la dimension de l’espace y est limitée à deux ou trois, il y est toujours possible de décrire le résultat géométriquement. Que représente l’ensemble des combinaisons linéaires de deux, quatre ou sept vecteurs de \(\R^8\text{?}\) Sans la géométrie, on se contente de définir certains termes analogues à ceux déjà définis et pour le reste, on y va d’une définition plus abstraite.

Soit \(\vec{v}\) un vecteur non nul et \(A\) un point de \(\R^n\text{.}\) Le lieu des points \(P\) tels que

\begin{equation*} \mathcal{D}: \vecl{OP}=c\vec{v}+\vecl{OA} \end{equation*}

est aussi appelé une droite, en raison de l’aspect unidimensionnel (un seul vecteur). Le vecteur \(\vec{v}\) est toujours appelé un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}\text{.}\) De même, si \(\vec{u}\) est un autre vecteur non parallèle au vecteur \(\vec{v}\text{,}\) alors le lieu des points \(P\) décrits par l’équation

\begin{equation*} \mathcal{P}:\vecl{OP}=a\vec{u}+b\vec{v}+\vecl{OA} \end{equation*}

est appelé un plan, de vecteurs directeurs \(\vec{u},\vec{v}\text{.}\)

Dans \(\R^2\text{,}\) une droite peut être caractérisée par une équation normale, de la forme \(\vec{n}\cdot\vecl{AP}=0\text{.}\) Cette même équation avec des vecteurs de \(\R^3\) représente un plan.

Que représente-t-elle dans un espace de dimension \(n\text{?}\) En la développant, on obtient une équation de la forme

\begin{equation*} a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_{n}x_{n}=d\text{,} \end{equation*}

où \(\vec{n}=(a_1,a_2,\cdots , a_n)\) est appelé un vecteur normal. On définit le lieu des points satisfaisant une telle équation comme un hyperplan de \(\R^n\text{.}\) On verra plus loin que cet objet est composé de \(n-1\) dimensions et peut donc aussi être décrit à partir d’un ensemble de \(n-1\) vecteurs possédant une propriété spécifique.

De façon plus générale, on définit l’espace engendré par un ensemble de vecteurs.

Définition 1.4.3.

Soit \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\ldots, \vec{u}_n\) un ensemble de vecteurs. On définit l’espace engendré par ces vecteurs, noté \(\vspan\text{,}\) comme étant l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\ldots \vec{u}_n\text{:}\)

\begin{equation*} \vspan(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\ldots, \vec{u}_n)=\{a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+\ldots +a_n\vec{u}_n~|~ a_1,a_2,\ldots, a_n\in\R\}\text{.} \end{equation*}

À noter qu’on ne donne aucune condition sur les vecteurs engendrant l’espace. Certains pourraient être nuls, parallèles à d’autres vecteurs ou une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Exemple 1.4.4. Un exemple d’espace engendré.

On considère les vecteurs \(\vec{u}_1=(1,-2,3,1),\vec{u}_2=(0,3,-1,1),\vec{u}_3=(0,0,0,0)\) et \(\vec{u}_4=(0,-3,1,-1)\text{.}\) On cherche à caractériser le \(\vspan(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4)\text{.}\)

Solution.

En principe, l’espace engendré est constitué de tous les vecteurs de la forme

\begin{equation*} \vec{v}=a\vec{u}_1+b\vec{u}_2+c\vec{u}_3+d\vec{u}_4\text{.} \end{equation*}

Il est parfois possible, selon les vecteurs présents, de simplifier l’équation vectorielle et peut-être même de reconnaitre une droite, un plan ou un hyperplan. Dans notre cas, on a

\begin{align*} \vec{v}&=a\vec{u}_1+b\vec{u}_2+c\vec{u}_3+d\vec{u}_4\\ &=a(1,-2,3,1)+b(0,3,-1,1)+c(0,0,0,0)+d(0,-3,1,-1)\\ &=a(1,-2,3,1)+b(0,3,-1,1)-d(0,3,-1,1)\\ &=a(1,-2,3,1)+(b-d)(0,3,-1,1)\text{.} \end{align*}

Comme \(b-d\) est un nombre réel quelconque, on peut réécrire les vecteurs du \(\vspan(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4)\) comme les vecteurs s’écrivant comme une combinaison linéaire des deux vecteurs \((1,-2,3,1)\) et \((0,3,-1,1)\text{.}\) Le \(\vspan\) est donc un plan dans \(\R^4\text{.}\)

Les éléments importants de cette section sont:

Les vecteurs à \(n\) dimensions se comportent essentiellement comme ceux à \(2\) ou \(3\) dimensions, en particulier pour ce qui est des opérations;
Le produit scalaire (1.4.1) de deux vecteurs quelconques;
L’angle (1.4.2) entre deux vecteurs, défini à partir du produit scalaire;
La définition du span 1.4.3, l’espace engendré par les combinaisons linéaires de vecteurs.

Exercices 1.4.4 Exercices

1.

Soit \(\vec{u}=(1,5,3,2), \vec{v}=(-2,-1,1,2)\) et \(\vec{w}=(0,3,3,0)\text{,}\) des vecteurs de \(\R^4\text{.}\)

(a)

Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\text{,}\) \(\vec{v}\cdot\vec{w}\) et \(\vec{u}\cdot\vec{w}\text{.}\)

Réponse.

\begin{equation*} \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{v}\cdot\vec{w}=0 \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{u}\cdot\vec{w}=24 \end{equation*}

Solution.

\begin{equation*} \vec{u}\cdot\vec{v}=(1,5,3,2)\cdot(-2,-1,1,2)=1*(-2)+5*(-1)+3*1+2*2=0 \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{v}\cdot\vec{w}=(-2,-1,1,2)\cdot(0,3,3,0)=(-2)*0+(-1)*3+1*3+2*0=0 \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{u}\cdot\vec{w}=(1,5,3,2)\cdot(0,3,3,0)=1*0+5*3+3*3+2*0=24 \end{equation*}

(b)

Calculer l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\text{.}\) Donner l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et entre \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\text{.}\)

Réponse.

\begin{equation*} \theta_{\vec{u}\vec{w}}\approx 0.4375 \text{ radians } \approx 25.1^\circ \end{equation*}

\begin{equation*} \theta_{\vec{u}\vec{v}}=\frac{\pi}{2}=90^\circ \end{equation*}

\begin{equation*} \theta_{\vec{v}\vec{w}}=\frac{\pi}{2}=90^\circ \end{equation*}

Solution.

D’abord, pour l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\text{,}\) on utilise la formule (1.4.2) habituelle.

\begin{align*} \cos(\theta)&=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\norm{\vec{u}}\norm{\vec{w}}}\\ \cos(\theta)&=\frac{24}{\sqrt{1^2+5^2+3^2+2^2}\sqrt{0^2+3^2+3^2+0^2}}\\ \cos(\theta)&=\frac{24}{\sqrt{39}\sqrt{18}}\\ \cos(\theta)&=\frac{8}{\sqrt{78}}\\ \theta &\approx 0.4375 \text{ radians } \approx 25.1^\circ \end{align*}

Pour les angles entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et entre \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\text{,}\) on peut immédiatement conclure du fait que leur produit scalaire est nul que leur angle sera de \(90^\circ\) ou \(\frac{\pi}{2}\text{.}\)

(c)

L’affirmation suivante est seulement vraie dans \(\R^2\text{.}\) Expliquer pourquoi géométriquement en donnant un exemple dans \(\R^3\text{.}\)

«Deux vecteurs perpendiculaires au même vecteur sont nécessairement parallèles.»

Solution.

C’est tout simplement puisqu’il existe une infinité de directions qui sont toutes perpendiculaires à un même vecteur. On a compris ceci en étudiant le plan dans \(\R^3\text{.}\) Le vecteur normal au plan était perpendiculaire à tout vecteur dans le plan. C’est pour cette raison qu’on peut donner une infinité de paires de vecteurs directeurs afin de définir le plan.

On donne un exemple très simple. Les vecteurs \((1,0,0)\) et \((0,1,0)\) sont tous les deux perpendiculaires au vecteur \((0,0,1)\text{.}\) Cependant, ils ne sont pas parallèles. Ils sont même perpendiculaires entre eux aussi!

(d)

Calculer la projection \(\vec{u}_{\vec{w}}\) et expliquer pourquoi \(\vec{u}_{\vec{v}}\) donne le vecteur nul.

Réponse.

\begin{equation*} \vec{u}_{\vec{w}}=(0,4,4,0) \end{equation*}

Solution.

\begin{align*} \vec{u}_{\vec{w}}&=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}\\ &=\frac{24}{18}(0,3,3,0)\\ &=(0,4,4,0) \end{align*}

La projection \(\vec{u}_{\vec{v}}\) donne le vecteur nul puisque leur produit scalaire est nul. Ce produit étant au numérateur de la formule de la projection, on obtiendra donc le vecteur nul dans \(\R^4\text{,}\) soit

\begin{equation*} \vec{u}_{\vec{v}}=(0,0,0,0) \end{equation*}

2.

Soit un ensemble de vecteurs \(\vec{v}_1=(1,4,-3,0),\vec{v}_2=(0,2,3,1),\vec{v}_3=(1,6,0,1)\) et \(\vec{v}_4=(2,10,-3,1)\text{.}\) Caractériser le \(\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4)\) en termes de combinaisons linéaires de vecteurs. Est-ce que cet espace correspond à \(\R^4\text{?}\)

Indice.

Utiliser l’exemple 1.4.4 pour vous aider.

Réponse.

\begin{equation*} \vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4)=\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_3) \end{equation*}

Cet espace ne correspond pas à \(\R^4\text{.}\) Noter qu’on aurait pu caractériser le span avec d’autres paires de vecteurs.

Solution.

On suit le conseil de l’indication et on cherche à caractériser l’ensemble des combinaisons linéaires possibles avec ces quatre vecteurs. On verra qu’il est difficile de trouver un moyen de combiner les vecteurs afin de trouver les redondances.

\begin{align*} \vec{v}&=a\vec{v}_1+b\vec{v}_2+c\vec{v}_3+d\vec{v}_4\\ &=a(1,4,-3,0)+b(0,2,3,1)+c(1,6,0,1)+d(2,10,-3,1)\\ &=a(1,4,-3,0)+b(0,2,3,1)+c(1,6,0,1)+d\big((1,4,-3,0)+(1,6,0,1)\big)\\ &=a(1,4,-3,0)+b(0,2,3,1)+c(1,6,0,1)+d(1,4,-3,0)+d(1,6,0,1)\\ &=(a+d)(1,4,-3,0)+b(0,2,3,1)+(c+d)(1,6,0,1)\\ &=(a+d)(1,4,-3,0)+b\big((1,6,0,1)-(1,4,-3,0)\big)+(c+d)(1,6,0,1)\\ &=(a+d-b)(1,4,-3,0)+(c+d+b)(1,6,0,1)\\ &=(a+d-b)\vec{v}_1+(c+d+b)\vec{v}_3 \end{align*}

Puisque les valeurs de \(a\) et de \(c\) n’apparaissent qu’une fois pour chaque vecteur, toutes les combinaisons linéaires imaginables avec les quatre vecteurs initiaux se construisent à l’aide des deux vecteurs restants. Autrement dit, peu importe les valeurs choisies pour \(b\) et \(d\text{,}\) on est incapable de créer un nouveau vecteur simplement en ajustant les valeurs de \(a\) et de \(c\) en conséquence. Les vecteurs \(\vec{v}_2\) et \(\vec{v}_4\) sont donc redondants.

Il est primordial de remarquer qu’on aurait pu combiner différemment et obtenir deux autres vecteurs à la fin. L’important est que le \(\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4)\) est un sous-espace de \(\R^4\) engendré par deux vecteurs. C’est donc un plan. On verra plus tard que cet espace est de dimension \(2\text{.}\)

On peut donc écrire:

\begin{equation*} \vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3,\vec{v}_4)=\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_3) \end{equation*}

3.

Soit deux vecteurs \(\vec{v}, \vec{w}\) qui sont tous les deux des combinaisons linéaires des vecteurs \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots ,\vec{u}_k\text{.}\)

(a)

Montrer que, pour tout scalaire \(c\in\R\text{,}\) le vecteur \(c\vec{v}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \dots ,\vec{u_k}\text{.}\)

Solution.

On sait que \(\vec{v}\) est une combinaison linéaire des vecteurs donnés. Supposons que cette combinaison est donnée par les scalaires \(a_1, a_2, \dots , a_k \in\R\text{.}\) Ainsi,

\begin{equation*} \vec{v}=a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+ \cdots +a_k\vec{u}_k\text{.} \end{equation*}

Alors,

\begin{align*} c\vec{v}&=c\big(a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+ \cdots +a_k\vec{u}_k\big)\\ &=c(a_1\vec{u}_1)+c(a_2\vec{u}_2)+ \cdots +c(a_k\vec{u}_k)\\ &=(ca_1)\vec{u}_1+(ca_2)\vec{u}_2+ \cdots +(ca_k)\vec{u}_k \end{align*}

Les valeurs \(ca_1, ca_2, \dots , ca_k\) étant des scalaires, on a montré que \(c\vec{v}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots ,\vec{u}_k\text{.}\)

(b)

Montrer que le vecteur \(\vec{v}+\vec{w}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \dots ,\vec{u_k}\text{.}\)

Solution.

On sait que \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont des combinaisons linéaires des vecteurs donnés. Supposons que ces combinaisons sont données par les scalaires \(a_1, a_2, \dots , a_k \in\R\) et \(b_1, b_2, \dots , b_k \in\R\text{.}\) Ainsi,

\begin{equation*} \vec{v}=a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+ \cdots +a_k\vec{u}_k \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{w}=b_1\vec{u}_1+b_2\vec{u}_2+ \cdots +b_k\vec{u}_k\text{.} \end{equation*}

Alors,

\begin{align*} \vec{v}+\vec{w}&=\big(a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+ \cdots +a_k\vec{u}_k\big)+\big(b_1\vec{u}_1+b_2\vec{u}_2+ \cdots +b_k\vec{u}_k\big)\\ &=(a_1\vec{u}_1+b_1\vec{u}_1)+(a_2\vec{u}_2+b_2\vec{u}_2)+ \cdots +(a_k\vec{u}_k+b_k\vec{u}_k)\\ &=(a_1+b_1)\vec{u}_1+(a_2+b_2)\vec{u}_2+ \cdots +(a_k+b_k)\vec{u}_k \end{align*}

Les valeurs \(a_1+b_1, a_2+b_2, \dots , a_k+b_k\) étant des scalaires, on a montré que \(\vec{v}+\vec{w}\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \dots ,\vec{u}_k\text{.}\)

(c)

Expliquer pourquoi il n’est pas important de connaitre l’espace dans lequel ces vecteurs existent?

Solution.

Puisqu’on n’a jamais utilisé les composantes des vecteurs en question. On se limite purement à la multiplication par un scalaire et l’addition vectorielle. Ces opérations fonctionnent de la même façon peu importe l’espace dans lequel on se trouve. Attention, tous les vecteurs doivent faire partie du même espace. On ne peut jamais additionner des vecteurs de \(\R^2\) avec des vecteurs de \(\R^3\text{,}\) par exemple.

4.

Soit deux vecteurs \(\vec{v}, \vec{w}\in\R^n\) et une constante \(c\in\R\text{.}\) Montrer algébriquement l’égalité suivante en vous servant de la définition 1.4.3:

\begin{equation*} \vspan(\vec{v}+c\vec{w},\vec{w})=\vspan(\vec{v},\vec{w})\text{.} \end{equation*}

Solution.

On montrera cette égalité en partant du membre de droite.

\begin{align*} \vspan(\vec{v},\vec{w})&=\{a\vec{v}+b\vec{w}~|~ a,b\in\R\}\\ &=\{a\vec{v}+b\vec{w}+ac\vec{w}-ac\vec{w}~|~ a,b,c\in\R\}\\ &=\{a(\vec{v}+c\vec{w})+(b-ac)\vec{w}~|~ a,b,c\in\R\}\\ &=\vspan(\vec{v}+c\vec{w},\vec{w}) \end{align*}

Puisque les valeurs de \(a\) et de \(b\) sont n’importe quelle valeur réelle, on pourrait rebaptiser \(b-ac=d\) et on obtient donc directement la définition du span.

5.

(a)

Soit un vecteur \(\vec{v}\in\R^n\text{.}\) Si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) pour tout vecteur \(\vec{u}\in\R^n\text{,}\) montrer que \(\vec{v}=\vec{0}\text{.}\)

Indice.

Pour démontrer ce genre de conclusion où l’hypothèse est vraie pour tout vecteur \(\vec{u}\in\R^n\text{,}\) il faut choisir des vecteurs spécifiques \(\vec{u}\) qui permettent de trouver les composantes de \(\vec{v}\text{.}\)

Solution.

On suit l’indication et on décide de choisir des vecteurs \(\vec{u}\) qui permettent de trouver les composantes de \(\vec{v}\text{.}\) On propose d’utiliser des vecteurs qui sont presque le vecteur nul, à l’exception d’une composante. Ainsi, si on pose \(\vec{u}=(1,0,\dots, 0)\text{,}\) alors

\begin{align*} \vec{u}\cdot\vec{v}&=0\\ \Leftrightarrow(1,0,\dots, 0)\cdot(v_1,v_2,\dots,v_n)&=0\\ \Leftrightarrow 1*v_1+0*v_2+\cdots+0*v_n&=0\\ \Leftrightarrow v_1&=0 \end{align*}

En refaisant cette démarche avec, chaque fois, un choix de vecteur pour \(\vec{u}\) qui soit toujours le vecteur nul sauf une composante, on montre que la composante correspondante du vecteur \(\vec{v}\) doit être nulle.

(b)

Soit \(\vec{v}, \vec{w}\in\R^n\text{.}\) Si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}\) pour tout vecteur \(\vec{u}\in\R^n\text{,}\) que peut-on conclure à propos de \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\text{?}\)

Indice.

Appliquer la démarche de la première question.

Réponse.

Ils sont égaux (\(\vec{v}=\vec{w}\)).

Solution.

On suit l’indication et on décide de choisir des vecteurs \(\vec{u}\) qui permettent de trouver les composantes de \(\vec{v}\) et de \(\vec{w}\text{.}\) Ainsi, si on pose \(\vec{u}=(1,0,\dots, 0)\text{,}\) alors

\begin{align*} \vec{u}\cdot\vec{v}&=\vec{u}\cdot\vec{w}\\ \Leftrightarrow(1,0,\dots, 0)\cdot(v_1,v_2,\dots,v_n)&=(1,0,\dots, 0)\cdot(w_1,w_2,\dots,w_n)\\ \Leftrightarrow 1*v_1+0*v_2+\cdots+0*v_n&=1*w_1+0*w_2+\cdots+0*w_n\\ \Leftrightarrow v_1&=w_1 \end{align*}

En refaisant cette démarche avec, chaque fois, un choix de vecteur pour \(\vec{u}\) qui soit toujours le vecteur nul sauf une composante, on montre que les composantes correspondantes des vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) doivent être égales.

6.

Dans l’exercice 1.1.4.9, nous avons vérifié géométriquement la validité de l’inégalité du triangle. Nous savons maintenant que les vecteurs de tout espace euclidien (\(\R^n\)) possèdent sensiblement les mêmes propriétés. Ceci est vrai pour cette inégalité.

Soit \(\vec{u}, \vec{v}\in\R^n\text{.}\) Démontrer l’inégalité du triangle:

\begin{equation*} \norm{\vec{u}+\vec{v}}\leq\norm{\vec{u}}+\norm{\vec{v}}\text{.} \end{equation*}

Indice.

Il est conseillé de démontrer cette inégalité en en démontrant sa forme élevée au carré: \(\norm{\vec{u}+\vec{v}}^2\leq(\norm{\vec{u}}+\norm{\vec{v}})^2\text{.}\)

Observer que le produit scalaire est très utile pour exprimer une norme au carré. Cela évite d’avoir à expliciter les composantes des vecteurs. On démontre donc l’inégalité dans tous les espaces euclidiens en même temps.

Solution.

Comme suggéré dans l’indication, on va démontrer l’inégalité élevée au carré qui lui est équivalente.

\begin{align*} \norm{\vec{u}+\vec{v}}^2&=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\\ &=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}\\ &=\vec{u}\cdot\vec{u}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v}\\ &=\norm{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norm{\vec{v}}^2\\ &\leq\norm{\vec{u}}^2+2\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}+\norm{\vec{v}}^2 \text{ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz }\knowl{./knowl/xref/eq-ineqCS.html}{\text{(1.2.4)}} \\ &=(\norm{\vec{u}}+\norm{\vec{v}})^2 \end{align*}

7.

Dans l’exemple 1.3.18, on a montré deux techniques différentes pour trouver l’équation vectorielle d’un plan dans \(\R^3\text{.}\) Dans la présente section, on a compris que l’équation normale dans \(\R^n\) définit un objet géométrique de dimension \(n-1\) que l’on appelle un hyperplan.

Pour chaque équation normale suivante, trouver une équation vectorielle décrivant le même hyperplan.

(a)

\(2x_1+x_2-3x_3+4x_4=8\) dans \(\R^4\)

Réponse.

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,x_3,x_4)=a(1,-2,0,0)+b(0,3,1,0)+c(0,-4,0,1)+(0,8,0,0) \end{equation*}

Solution.

On rappelle qu’il y a au moins deux façons de faire et une infinité de réponses différentes, en raison du fonctionnement des équations vectorielles. On choisit la première façon de faire. Ici, dans \(\R^4\text{,}\) on va créer des vecteurs à quatre composantes. On isole une des variables, par exemple \(x_2=8-2x_1+3x_3-4x_4\text{,}\) et on crée l’équation vectorielle du plan ainsi:

\begin{align*} \mathcal{P}&:& (x_1,x_2,x_3,x_4)&=(x_1,8-2x_1+3x_3-4x_4,x_3,x_4)\\ && &=(x_1,-2x_1,0,0)+(0,3x_3,x_3,0)+(0,-4x_4,0,x_4)+(0,8,0,0)\\ && &=x_1(1,-2,0,0)+x_3(0,3,1,0)+x_4(0,-4,0,1)+(0,8,0,0) \end{align*}

On remplace les constantes par des lettres plus habituelles pour obtenir:

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,x_3,x_4)=a(1,-2,0,0)+b(0,3,1,0)+c(0,-4,0,1)+(0,8,0,0) \end{equation*}

(b)

\(2x_1+x_2-3x_3+4x_4=8\) dans \(\R^5\)

Réponse.

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=a(1,-2,0,0,0)+b(0,3,1,0,0)+c(0,-4,0,1,0)+d(0,0,0,0,1)+(0,8,0,0,0) \end{equation*}

Solution.

Attention, il s’agit de la même équation, mais les vecteurs doivent maintenant avoir cinq composantes. On isole une des variables, par exemple \(x_2=8-2x_1+3x_3-4x_4\) et on crée l’équation vectorielle du plan ainsi:

\begin{align*} \mathcal{P}&:& (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)&=(x_1,8-2x_1+3x_3-4x_4,x_3,x_4,x_5)\\ && &=(x_1,-2x_1,0,0,0)+(0,3x_3,x_3,0,0)+(0,-4x_4,0,x_4,0)+(0,0,0,0,x_5)+(0,8,0,0,0)\\ && &=x_1(1,-2,0,0,0)+x_3(0,3,1,0,0)+x_4(0,-4,0,1,0)+x_5(0,0,0,0,1)+(0,8,0,0,0) \end{align*}

On remplace les constantes par des lettres plus habituelles pour obtenir:

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=a(1,-2,0,0,0)+b(0,3,1,0,0)+c(0,-4,0,1,0)+d(0,0,0,0,1)+(0,8,0,0,0) \end{equation*}

(c)

\(z=1\) dans \(\R^3\)

Réponse.

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x,y,z)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+(0,0,1) \end{equation*}

Solution.

\begin{align*} \mathcal{P}&:& (x,y,z)&=(x,y,1)\\ && &=(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,1)\\ && &=x(1,0,0)+y(0,1,0)+(0,0,1) \end{align*}

On remplace les constantes par des lettres plus habituelles pour obtenir:

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x,y,z)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+(0,0,1) \end{equation*}

(d)

\(x_{n}=0\) dans \(\R^n\)

Réponse.

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_1(1,0,\dots,0)+a_2(0,1,0,\dots,0)+\cdots+a_{n-1}(0,0,\dots,0,1,0)+(0,0,\dots,0) \end{equation*}

Solution.

\begin{align*} \mathcal{P}&:& (x_1,x_2,\dots,x_n)&=(x_1,x_2,\dots,0)\\ && &=(x_1,0,\dots,0)+(0,x_2,0,\dots,0)+\cdots+(0,0,\dots,0,x_{n-1},0)+(0,0,\dots,0)\\ && &=x_1(1,0,\dots,0)+x_2(0,1,0,\dots,0)+\cdots+x_{n-1}(0,0,\dots,0,1,0)+(0,0,\dots,0) \end{align*}

On remplace les constantes par des lettres plus habituelles pour obtenir:

\begin{equation*} \mathcal{P}:(x_1,x_2,\dots,x_n)=a_1(1,0,\dots,0)+a_2(0,1,0,\dots,0)+\cdots+a_{n-1}(0,0,\dots,0,1,0)+(0,0,\dots,0) \end{equation*}

Précédent Top Suivant