Section 5.3 Retour sur les quatre sous-espaces fondamentaux

Aller aux exercices 5.3.4 de la section.

Dans la section Section 3.4, on définit les quatre sous-espaces fondamentaux 3.4.8 d’une matrice. À la sous-section Sous-section 5.1.2, on a ensuite montré que ces ensembles sont des sous-espaces vectoriels et qu’il existe une relation de complément orthogonal entre certains de ces ensembles pris deux à deux.

Dans cette section, on cherche à établir une base et la dimension de chacun de ces sous-espaces. On donne une marche à suivre pour trouver une base pour les quatre sous-espaces d’une matrice. On définit également une importante relation entre la dimension des sous-espaces fondamentaux qui sont compléments orthogonaux.

Sous-section 5.3.1 Une base pour les sous-espaces fondamentaux

On débute cette section avec la recherche d’une base pour les quatre espaces fondamentaux. À partir de là, on pourra obtenir la dimension de chaque espace directement en comptant le nombre de vecteurs dans la base trouvée.

Proposition 5.3.1. Une base pour l’espace ligne et une base pour l’espace nul.

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\) et soit \(R=rref(A)\text{,}\) sa forme échelonnée réduite. Alors

Les lignes non nulles de \(R\) forment une base de \(\mathcal{L}(A)\text{;}\)
Les solutions de base à l’équation \(A\vec{x}=\vec{0}\) sont une base de l’espace nul.

Démonstration.

Les lignes de \(R\) sont nécessairement indépendantes, puisqu’en regardant les positions pivots, la seule manière d’obtenir le vecteur nul avec une combinaison linéaire est de prendre zéro fois chaque ligne. Puisque les lignes nulles de \(R\) ne contribuent pas à \(\mathcal{L}(R)\text{,}\) on a que \(\mathcal{L}(R)\) est égal au span des lignes non nulles de \(R\text{.}\) Comme elles sont indépendantes, elles forment une base en vertu de la proposition Proposition 5.2.26.

De plus, puisqu’on obtient \(R\) à partir de \(A\) par une suite d’opérations élémentaires, toutes réversibles, les lignes de \(A\) peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des lignes de \(R\text{.}\) Ceci entraine que \(\mathcal{L}(A)=\mathcal{L}(R)\text{.}\) Les lignes de \(R\) forment donc une base pour l’espace ligne de \(A\text{.}\)

Démonstration.

Tout vecteur dans \(\mathcal{N}(A)\) peut bien sûr s’écrire comme une combinaison linéaire des solutions de base par construction de celles-ci. Ainsi, elles engendrent \(\mathcal{N}(A)\text{.}\) De plus, l’exercice Exercice 5.2.4.8 montre que les solutions de bases sont indépendantes. Elles forment donc bel et bien une base de l’espace nul.

Afin de déterminer si un ensemble de \(k\) vecteurs est indépendant ou non, on sait déjà qu’on pouvait utiliser le rang 5.2.8. Si jamais les vecteurs ne sont pas indépendants, la proposition Proposition 5.3.1 permet de trouver une base de leur espace engendré.

Exemple 5.3.2. Base de l’espace ligne.

On considère la matrice

\begin{equation*} A=\left(\begin{array}{rrrrr} 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 8 \\ -1 & 3 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right) \end{equation*}

et l’on cherche une base de son espace ligne. On cherche aussi la dimension de l’espace ligne.

Solution.

On utilise Sage pour échelonner la matrice et trouver la base.

Une base pour \(\mathcal{L}(A)\) est \(\mathcal{B}=\langle (1,0,0,1,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1) \rangle\text{.}\) La dimension de l’espace ligne est \(4\) et c’est un sous-espace vectoriel de \(\R^5\text{.}\)

Puisque \(\mathcal{C}(A)=\mathcal{L}(A^T)\) et que l’espace nul gauche est défini avec la transposée, on pourrait appliquer le résultat de la proposition Proposition 5.3.1 pour obtenir une base de ces espaces. On propose toutefois une alternative directe avec la matrice \(A\text{.}\) On aura besoin du résultat suivant, qui sera démontré dans les exercices.

Lemme 5.3.3. L’espace nul de la transposée d’une matrice échelonnée réduite.

Soit \(R\text{,}\) une matrice \(m\times n\) de rang \(r< m\) qui est échelonnée réduite et soit \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots , \vec{e}_m\text{,}\) les vecteurs de la base standard de \(\R^m\text{.}\) Alors une base possible pour l’espace nul gauche \(\mathcal{N}(R^T)\) est \(\langle \vec{e}_{r+1},\vec{e}_{r+2},\ldots , \vec{e}_m \rangle\text{.}\)

Démonstration.

Voir l’exercice Exercice 5.3.4.6.

Proposition 5.3.4. Une base pour l’espace colonne et l’espace nul gauche.

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\text{,}\) \(R=rref(A)\) sa forme échelonnée réduite et soit \(E\text{,}\) une matrice \(m\times m\) telle que \(EA=R\) (la matrice \(E\) correspond à la multiplication de matrices élémentaires permettant d’échelonner \(A\)). Alors

Les colonnes pivots de \(A\) (celles qui sont pivots dans \(R\)) forment une base de \(\mathcal{C}(A)\text{;}\)
Les lignes de \(E\) qui sont aux mêmes positions que les lignes nulles de \(R\) forment une base de l’espace nul gauche.

Démonstration.

Soit \(j_1,j_2,\ldots , j_r\text{,}\) l’indice des colonnes de \(R\) contenant un pivot, avec \(j_1< j_2< \cdots < j_r\text{.}\) Soit \(\vec{a}_{j_{1}},\vec{a}_{j_{2}},\ldots ,\vec{a}_{j_{r}}\text{,}\) les colonnes de \(A\) correspondant à ces positions. On veut montrer que ces colonnes forment une base de \(\mathcal{C}(A)\text{.}\)

D’abord la question de l’indépendance. Soit \(c_1,c_2,\ldots ,c_r\in \R\) tels que

\begin{equation*} c_1\vec{a}_{j_{1}}+c_2\vec{a}_{j_{2}}+\ldots +c_r\vec{a}_{j_{r}}=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

On pose \(\vec{v}\text{,}\) le vecteur qui a une valeur \(0\) en position \(i\) si \(i\notin \{j_1,j_2,\ldots , j_r\}\) et qui vaut \(c_{j_{i}}\) aux positions \(j_1,j_2,\ldots , j_r\text{.}\) Le vecteur \(\vec{v}\) est donc une solution à l’équation \(A\vec{x}=\vec{0}\text{.}\) Par le fait même, on a \(R\vec{v}=\vec{0}\text{.}\) Ceci entraine que

\begin{equation*} c_1\vec{a^{'}}_{j_{1}}+c_2\vec{a^{'}}_{j_{2}}+\ldots +c_r\vec{a^{'}}_{j_{r}}=\vec{0}\text{,} \end{equation*}

où \(\vec{a^{'}}_{j_{k}}\) est la \(k\)-ème colonne de \(R\text{.}\) Puisque, par définition, celles-ci sont pivots, ces colonnes ne contiennent qu’un \(1\) et des zéros partout ailleurs. On conclut que \(c_1=c_2=c_r=0\) et que les colonnes de \(A\) qui correspondent aux positions pivots de \(R\) sont indépendantes.

Il reste à montrer que ces colonnes engendrent \(\mathcal{C}(A)\text{.}\) Évidemment, \(\mathcal{C}(A)=\vspan(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots ,\vec{a}_n)\text{.}\) Si l’on montre que les colonnes qui ne sont pas pivots peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des colonnes pivots, alors on pourra les retirer du \(\vspan\) et il ne restera dans celui-ci que les colonnes pivots.

Dans la matrice \(R\text{,}\) on a vu comment lire les solutions de base à partir des colonnes qui ne sont pas pivots. Ces solutions de base offrent une solution à l’équation \(R\vec{x}=\vec{0}\text{.}\) Elles donnent une combinaison linéaire de la colonne libre ainsi que des colonnes pivots à sa gauche donnant le vecteur nul. Puisque l’équation \(A\vec{x}=\vec{0}\) possède les mêmes solutions que l’équation \(R\vec{x}=\vec{0}\text{,}\) on obtient aussi une combinaison linéaire des colonnes correspondantes dans \(A\) qui donne le vecteur nul. En isolant la colonne correspondant à la colonne libre, on voit qu’elle s’écrit comme une combinaison linéaire des colonnes pivots.

On a donc bel et bien que \(\mathcal{C}(A)=\vspan(\vec{a}_{j_{1}},\vec{a}_{j_{2}},\ldots ,\vec{a}_{j_{r}})\text{,}\) les colonnes pivots de \(A\text{.}\)

Démonstration.

Finalement, on veut montrer que les lignes de \(E\) qui sont aux mêmes positions que les lignes nulles de \(R\) forment une base pour l’espace nul gauche. La matrice \(E\) est la matrice obtenue en multipliant chaque matrice élémentaire transformant \(A\) en \(R\text{.}\) Chaque matrice élémentaire étant inversible, leur produit l’est aussi, comme indiqué à la proposition Proposition 2.3.18 (sa généralisation). Les lignes de \(E\) sont donc indépendantes, plus particulièrement celles qui correspondent aux lignes nulles de \(R\text{.}\) Il reste à montrer que ces lignes engendrent l’espace nul gauche.

L’espace nul gauche est consistué de l’ensemble des vecteurs \(\vec{x}\) tels que \(A^{T}\vec{x}=\vec{0}\text{.}\) Puisque \(EA=R\text{,}\) on réécrit \(A^T=(E^{-1}R)^T=R^T(E^T)^{-1}\) en vertu des propriétés de la transposée 3.4.3. On a donc

\begin{align*} \vec{0}&=A^{T}\vec{x}\\ &=R^T(E^T)^{-1}\vec{x} \end{align*}

On pose \(\vec{y}=(E^T)^{-1}\vec{x}\)

\begin{align*} &=R^T\vec{y}\text{.} \end{align*}

On conclut que \(\vec{y}\in \mathcal{N}(R^T)\text{.}\) Selon le lemme Lemme 5.3.3, l’espace nul de \(R^T\) est engendré par les \(m-r\) derniers vecteurs de la base standard de \(R^m\text{,}\) où \(r\) est le rang de \(A\text{.}\) Le vecteur \(\vec{y}\) est donc une combinaison linéaire de ces vecteurs. Si l’on isole \(\vec{x}\) dans l’équation \(\vec{y}=(E^T)^{-1}\vec{x}\text{,}\) on obtient \(\vec{x}=E^T\vec{y}\text{.}\) Puisque \(\vec{y}\) est une combinaison linéaire des \(m-r\) derniers vecteurs de la base standard, le vecteur \(\vec{x}\) est une combinaison linéaire des \(m-r\) dernières colonnes de \(E^T\) et donc, aux \(m-r\) lignes de \(E\text{.}\) Ce sont exactement ces lignes qui correspondent aux lignes nulles de \(R\text{.}\) Ceci montre que les \(m-r\) lignes de \(E\) forment une base pour \(\mathcal{N}(A^T)\text{.}\)

Dans la pratique, il est souvent plus simple de déterminer une base de l’espace nul gauche de \(A\) en considérant directement l’espace nul de sa transposée, mais la proposition Proposition 5.3.4 donne une manière différente à partir de \(A\) et de son processus d’échelonnage. On montre tout de même un exemple complet utilisant les propositions Proposition 5.3.1 et Proposition 5.3.4.

Exemple 5.3.5. Une base des quatre espaces fondamentaux d’une matrice.

On considère la matrice

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& -2& -6& -3& 2\\ 2& 0& 6& 7& -8\\ \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

On cherche une base pour les quatre espaces fondamentaux.

Solution.

On commence par échelonner la matrice en gardant bien en vue les opérations élémentaires effectuées dans le but de créer la matrice \(E\text{.}\)

\begin{align*} \begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& -2& -6& -3& 2\\ 2& 0& 6& 7& -8\\ \end{pmatrix}&\matsimilc{1}{-2}{4}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& -2& -6& -3& 2\\ 0& -4& -12& 7& 6\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{2}{2}{3}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& -4& -12& 7& 6\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{2}{4}{4}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{3}{-}{4}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 2& -2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{3}{-2}{2}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 7& -7\\ 0& 1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{3}{-7}{1}\begin{pmatrix} 1& 2& 9& 0& 7\\ 0& 1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ &\matsimilc{2}{-2}{1}\begin{pmatrix} 1& 0& 3& 0& 3\\ 0& 1& 3& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}\\ &=R\text{.} \end{align*}

À chaque opération élémentaire correspond une matrice élémentaire. On a

\begin{align*} E_1&=\begin{pmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0& 1&0 & 0\\ 0& 0& 1&0 \\ -2&0 &0 &1\end{pmatrix} \\ E_2&=\begin{pmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0& 1&0 &0 \\ 0& 2& 1&0 \\ 0&0 &0&1\end{pmatrix} \\ E_3&=\begin{pmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0& 1&0 &0 \\ 0& 0& 1&0 \\ 0& 4&0 &1\end{pmatrix} \\ E_4&=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&0 \\ 0& 1& 0&0 \\ 0 & 0& 1& 0\\ 0& 0& -1&1\end{pmatrix} \\ E_5&=\begin{pmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0& 1& -2&0 \\ 0&0 & 1&0 \\ 0&0 &0 &1\end{pmatrix} \\ E_6&=\begin{pmatrix} 1&0 & -7&0 \\ 0& 1&0 &0 \\ 0& 0&1 &0 \\ 0& 0& 0&1\end{pmatrix} \\ E_7&=\begin{pmatrix}1 &-2 &0 &0 \\ 0& 1& 0&0 \\ 0& 0& 1&0 \\ 0& 0& 0&1\end{pmatrix} \text{.} \end{align*}

Finalement, \(E=E_7E_6E_5E_4E_3E_2E_1\text{,}\) que l’on calcule avec Sage.

Selon la proposition Proposition 5.3.1, l’espace ligne est engendré par les lignes non nulles de \(R\text{.}\) On a donc \(\mathcal{L}(A)=\vspan((1,0,3,0,3),(0,1,3,0,2),(0,0,0,1,-2))\text{.}\) Toujours selon cette proposition, l’espace nul est engendré par les solutions de base à l’équation \(A\vec{x}=\vec{0}\) qui se trouvent à même la matrice \(R\text{,}\) comme indiqué à l’exemple Exemple 3.3.6. On a donc \(\mathcal{N}(A)=\vspan((-3,-3,1,0,0),(-3,-2,0,2,1))\text{.}\)

Selon la proposition Proposition 5.3.4, l’espace colonne est engendré par les colonnes de \(A\) qui correspondent aux colonnes pivots de sa forme échelonnée réduite \(R\text{.}\) On a donc \(\mathcal{C}(A)=\vspan((1,0,0,2),(2,1,-2,0),(7,2,-3,7))\text{.}\) Toujours selon cette proposition, l’espace nul gauche est engendré par les lignes de la matrice \(E\) qui correspondent aux lignes nulles de la matrice \(R\text{.}\) On a donc \(\mathcal{N}(A^T)=\vspan((-2,2,-1,1))\text{.}\)

On a déjà observé la relation de complément orthogonal des sous-espaces fondamentaux à la proposition Proposition 5.1.18. Toutefois, les sous-espaces fondamentaux gagnent en importance par le lien entre leur dimension et l’espace dans lequel ils vivent.

Proposition 5.3.6. La dimension des quatre espaces fondamentaux.

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\) de rang \(r\text{.}\) Alors

\(\text{dim}(\mathcal{L}(A))=\text{dim}(\mathcal{C}(A))=r\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A))=n-r\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A^T))=m-r\text{.}\)

Plus particulièrement, on remarque que la somme des espaces ligne et nul, qui sont des sous-espaces de \(\R^n\text{,}\) donne \(n\) et que la dimension des espaces colonne et nul gauche, qui sont des sous-espaces de \(\R^m\text{,}\) donne \(m\text{.}\)

Démonstration.

Pour les espaces ligne et colonne, le nombre de vecteurs dans la base correspond respectivement au nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée réduite de la matrice \(A\) et au nombre de colonnes pivots de cette même matrice échelonnée réduite. Dans les deux cas, ce nombre est égal au rang de la matrice. La dimension est donc égale au rang, soit \(r\text{.}\)

Pour l’espace nul, le nombre de vecteurs dans la base correspond au nombre de solutions de base. Celles-ci sont aussi nombreuses qu’il y a de variables libres, soit \(n-r\) (\(n\) variables moins les \(r\) qui sont pivots).

Finalement pour l’espace nul gauche, le nombre de vecteurs dans la base correspond au nombre de lignes nulles dans la forme échelonnée réduite. Celles-ci sont en nombre de \(m-r\) (\(m\) lignes moins les \(r\) qui contiennent un pivot).

Ensemble, les propositions Proposition 5.1.18 et Proposition 5.3.6 donnent le théorème fondamental de l’algèbre linéaire.

L’adjectif ‘fondamental’ de ce théorème n’est pas aussi répandu que son homologue en calcul différentiel et intégral. Il a été caractérisé ainsi pour la première fois par Gilbert Strang, professeur au MIT.

Théorème 5.3.7. Théorème fondamental de l’algèbre linéaire.

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\) de rang \(r\text{.}\) Alors

\(\text{dim}(\mathcal{L}(A))=\text{dim}(\mathcal{C}(A))=r\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A))=n-r\) et \((\mathcal{L}(A))^{\perp}=\mathcal{N}(A)\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A^T))=m-r\) et \((\mathcal{C}(A))^{\perp}=\mathcal{N}(A^T)\text{.}\)

Démonstration.

Le résultat découle des propositions Proposition 5.1.18 et Proposition 5.3.6.

La figure ci-dessous illustre le concept du théorème fondamental de l’algèbre linéaire. Les espaces fondamentaux y sont dessinés comme des plans, mais peuvent bien entendu être d’une dimension quelconque.

À gauche, deux rectangles sont dessinés, se touchant en un coin à quatre-vingt-dix degrés. Sur le rectangle supérieur, on peut lire "dimension r" et "espace ligne". Sur le rectangle inférieur, on peut lire "espace nul" et "dimension n moins r". À droite un dessin similaire est présent, avec sur le rectangle supérieur les mots "dimension r" et "espace colonne" alors que sur le rectangle inférieur on peut lire les mots "espace nul gauche" et "dimension m moins r". — Figure 5.3.8. Une image du théorème fondamental de l’algèbre linéaire

Pour voir une application concrète de ce théorème, on considère le problème familier suivant dans \(\mathbb{R}^3\text{.}\) On a un plan dans l’espace et un point \(P\) qui n’appartient pas au plan. On aimerait connaitre le point \(Q\) sur le plan qui est le plus près de \(P\text{.}\) Ce point \(Q\) est le même que celui à la figure Figure 1.3.24. On peut déjà le trouver grâce à la projection orthogonale. Si l’on voulait toutefois résoudre le même problème, mais pour un sous-espace de dimension 5 dans \(\mathbb{R}^7\text{,}\) la méthode de la projection orthogonale ne fonctionnerait pas parce qu’il y aurait plus qu’une direction perpendiculaire. On regarde donc ce problème à nouveau avec les concepts des espaces fondamentaux.

Exemple 5.3.9. Le point le plus proche.

On considère le plan engendré par les vecteurs \(\vec{u}=(-1,2,1)\) et \(\vec{v}=(-5,4,-3)\) ainsi que le point \(P(-3,-7,0)\text{.}\) On cherche le point \(Q\) sur le plan qui est le plus près de \(P\text{.}\)

Solution.

On commence par former la matrice dont les colonnes sont les vecteurs directeurs du plan:

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} -1&-5\\ 2&4\\ 1&-3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Puisque le point \(Q\) sur le plan le plus proche du point \(P\) est un point pour lequel le vecteur \(\vecl{QP}\) est perpendiculaire au plan, on peut déduire du théorème Théorème 5.3.7 que ce vecteur est dans l’espace nul gauche de la matrice \(A\text{,}\) pour laquelle le plan représente l’espace colonne. Il faut donc que \(\vecl{QP}=\vecl{OP}-\vecl{OQ}\) soit dans l’espace nul gauche ou, de façon équivalente, il faut que

\begin{equation*} A^T(\vecl{OP}-\vecl{OQ})=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

Pour progresser, on remarque que, comme le point \(Q\) est sur le plan, il doit nécessairement exister un vecteur \(\vec{x}\) tel que \(A\vec{x}=\vecl{OQ}\text{.}\) Ainsi,

\begin{align*} A^T(\vecl{OP}-\vecl{OQ})&=\vec{0}\\ A^T(\vecl{OP}-A\vec{x})&=\vec{0}\\ A^T\vecl{OP}-A^TA\vec{x}&=\vec{0}\\ A^T\vecl{OP}&=A^TA\vec{x}\text{.} \end{align*}

Concrètement, on peut calculer toutes ces matrices et obtenir un système simple à résoudre. On utilise Sage pour faire ces calculs.

Le point \(Q\) est donc obtenu en trouvant la valeur du vecteur \(\vec{x}\) pour lequel

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 6&10\\ 10&50 \end{pmatrix}\vec{x}=\vecd{-11}{-13}\text{.} \end{equation*}

Ce système se résout facilement à l’aide de n’importe quelle méthode des chapitres précédents. Avec Sage:

Le point \(Q\) est finalement obtenu en utilisant ce vecteur \(\vec{x}=\left(-\frac{21}{10},\frac{4}{25}\right)\) et la matrice \(A\text{:}\)

\begin{align*} \vecl{OQ}&=A\vec{x}\\ &=\begin{pmatrix} -1&-5\\ 2&4\\ 1&-3 \end{pmatrix}\vecd{-\frac{21}{10}}{\frac{4}{25}}\\ &=\vecddd{\frac{13}{10}}{-\frac{89}{25}}{-\frac{129}{50}}\text{.} \end{align*}

Ce dernier exemple peut sembler long et fastidieux, surtout que les outils de la section Section 1.3 permettaient une résolution beaucoup plus rapide. En regardant attentivement la démarche de l’exemple Exemple 5.3.9, on peut déduire une méthode générale pour ce genre de problème qui est fondamentale en statistique et en informatique (apprentissage profond et intelligence artificielle): la méthode des moindres carrés. Elle sera présentée plus en détail dans le chapitre Chapitre 7.

On termine avec des commandes Sage en lien avec la sous-section.

Calcul 5.3.10. Base des quatre espaces sur Sage.

Dans la section Section 3.4, on a introduit des commandes permettant de trouver une base des espaces fondamentaux sans avoir défini au préalable la notion de base. Ceci a été fait à l’exemple calculatoire Calcul 3.4.12. On reprend ici ces commandes avec la notion de base maintenant bien définie.

Les commandes pour les espaces ligne, colonne, nul et nul gauche sont respectivement row_space().basis(),column_space().basis(),right_kernel(basis="pivot").basis(),left_kernel(basis="pivot").basis(). On les utilise pour retrouver la base de chacun des quatre espaces de l’exemple Exemple 5.3.5.

À noter que pour l’espace colonne, Sage ne retourne pas la base prescrite par la proposition Proposition 5.3.4. En fait, il préfère trouver une base de l’espace ligne de \(A^T\text{.}\) On peut toutefois créer une fonction retournant la base suggérée par la proposition Proposition 5.3.4 grâce à la fonction pivots(). C’est l’objet de l’exercice [provisional cross-reference: sageexo-baseespcol].

Sous-section 5.3.2 Quelques résultats supplémentaires

À la proposition Proposition 5.2.19, on a montré que si \(V\) est un sous-espace vectoriel, alors \((V^{\perp})^{\perp}=V\text{.}\) On peut se demander si la relation entre les dimensions d’un sous-espace quelconque et son complément orthogonal est aussi complémentaire à l’espace sous-jacent.

Proposition 5.3.11. La dimension du complément orthogonal.

Soit \(V\subseteq \mathbb{R}^n\text{,}\) un sous-espace vectoriel de dimension \(k\text{.}\) La dimension de son complément orthogonal est \(n-k\text{.}\)

Démonstration.

Si \(V=\vspan{\vec{0}}\text{,}\) alors \(k=0\) et le complément orthogonal de \(V\) est \(\R^n\text{.}\) La dimension est bien \(n-0=n\text{.}\)

Si \(k>0\text{,}\) alors selon la proposition Proposition 5.2.18, on peut trouver une base \(\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots, \vec{v}_k \rangle\) engendrant \(V\text{.}\) On crée une matrice ligne avec ces \(k\) vecteurs. Par construction, l’espace ligne de la matrice correspond à \(V\) et est de dimension \(k\text{,}\) puisque les vecteurs sont indépendants. Selon le théorème Théorème 5.3.7, l’espace nul de \(A\) (qui est le complément de \(V=\mathcal{L}(A)\)) est de dimension \(n-k\text{.}\)

Dans l’espace à deux dimensions, les seuls sous-espaces non triviaux sont les droites passant par l’origine. Dans le cas d’une de ces droites, avec vecteur directeur \(\vec{u}\text{,}\) son complément orthogonal est aussi une droite passant par l’origine avec vecteur directeur \(\vec{v}\) qui lui est perpendiculaire (\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0)\text{.}\) N’importe quel vecteur de \(\R^2\) peut s’écrire comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) Dans l’espace à trois dimensions, on peut ajouter les plans passant par l’origine comme sous-espace non trivial. Puisque le complément orthogonal d’un plan est la droite ayant comme vecteur directeur le vecteur normal du plan, et que les deux vecteurs directeurs du plan et ce vecteur normal forment une base, il s’avère que l’on peut écrire n’importe quel vecteur de \(\R^3\) comme la somme d’un vecteur du plan et de son complément orthogonal. Ce résultat est aussi valide pour les autres espaces vectoriels. Il est illustré à la figure Figure 5.3.12 et est l’objet de la prochaine proposition.

Figure 5.3.12. Décomposition d’un vecteur selon un sous-espace et son complément orthogonal

Proposition 5.3.13. Décomposition d’un vecteur par rapport à des sous-espaces orthogonaux.

Soit \(V\subseteq \mathbb{R}^n\text{,}\) un sous-espace vectoriel. Alors n’importe quel vecteur de \(\mathbb{R}^n\) peut s’écrire de manière unique comme la somme d’un vecteur dans \(V\) et d’un vecteur dans \(V^{\perp}\text{.}\) Ceci implique en particulier que \(\mathbb{R}^n\) se "décompose":

\begin{equation*} \mathbb{R}^n=V+V^{\perp}\text{.} \end{equation*}

Démonstration.

Si la dimension de \(V\) est \(0\text{,}\) alors son complément orthogonal est \(\R^n\) et il s’ensuit que tout vecteur \(\vec{u}\in\mathbb{R}^n\) peut s’écrire comme \(\vec{u}+\vec{0}\text{.}\) La situation est similaire si \(\text{dim}(V)=n\text{.}\)

Soit \(0<k<n\text{,}\) la dimension de \(V\text{.}\) Selon le théorème Théorème 5.3.7, la dimension de \(V^{\perp}\) est \(n-k\text{.}\) Pour chacun de ces sous-espaces vectoriels, on peut trouver une base. Soit \(\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots ,\vec{v}_k \rangle\text{,}\) une base pour \(V\) et \(\langle \vec{v}_{k+1},\vec{v}_{k+2},\ldots , \vec{v}_n \rangle\text{,}\) une base pour \(V^{\perp}\text{.}\) On souhaite montrer que ces vecteurs génèrent \(\mathbb{R}^n\text{.}\) Cela entrainera que tout vecteur peut s’écrire comme une combinaison linéaire de cet ensemble. La partie de la combinaison linéaire avec les \(k\) premiers vecteurs sera dans \(V\) et l’autre partie dans \(V^{\perp}\text{.}\) Pour l’unicité, cela découle du fait que les vecteurs forment une base, puisqu’on aura \(n\) vecteurs indépendants dans \(\mathbb{R}^n\text{.}\)

Pour montrer l’indépendance des \(n\) vecteurs, on suppose que l’on connait une combinaison linéaire donnant le vecteur nul:

\begin{equation*} c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots +c_k\vec{v}_k+c_{k+1}\vec{v}_{k+1}+c_{k+2}\vec{v}_{k+2},\ldots + c_n\vec{v}_n=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

On peut réécrire cette équation en séparant les vecteurs dans \(V\) et \(V^{\perp}\) pour avoir

\begin{equation*} c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots +c_k\vec{v}_k=-(c_{k+1}\vec{v}_{k+1}+c_{k+2}\vec{v}_{k+2},\ldots + c_n\vec{v}_n)\text{.} \end{equation*}

Comme le membre de droite s’écrit comme une combinaison linéaire de vecteurs dans \(V\) et que \(V\) est un sous-espace vectoriel, il faut que le membre de droite soit aussi dans \(V\text{.}\) Par contre, le membre de droite est une combinaison linéaire de vecteurs dans \(V^{\perp}\) et doit donc être dans \(V^{\perp}\text{.}\) Le seul vecteur commun à \(V\) et \(V^{\perp}\) est le vecteur nul. On obtient ainsi

\begin{align*} c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots +c_k\vec{v}_k&=\vec{0} \end{align*}

\begin{align*} -(c_{k+1}\vec{v}_{k+1}+c_{k+2}\vec{v}_{k+2},\ldots + c_n\vec{v}_n)=&0\text{.} \end{align*}

Comme les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_k\) forment une base de \(V\text{,}\) il faut que les coefficients \(c_1,c_2,\ldots ,c_n\) soient tous égaux à zéro. De même, les vecteurs \(\vec{v}_{k+1},\vec{v}_{k+2},\ldots, \vec{v}_n\) formant une base de \(V^{\perp}\text{,}\) les coefficients \(c_{k+1},c_{k+2},\ldots, c_n\) sont aussi nuls.

Remarque 5.3.14. Un commentaire additionnel.

La proposition dit que deux sous-espaces orthogonaux "décomposent" l’espace en deux parties. Cela ne signifie toutefois pas que tous les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) sont soit dans \(V\) ou soit dans \(V^{\perp}\text{.}\) En effet, si, par exemple, on prend un vecteur \(\vec{v}\in V\) et \(\vec{w}\in V^{\perp}\text{,}\) alors le vecteur \(\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}\) n’est ni dans \(V\text{,}\) ni dans \(V^{\perp}\text{.}\) La figure Figure 5.3.16 illustre ceci avec les quatre sous-espaces fondamentaux.

Exemple 5.3.15. Décomposition d’un vecteur selon des sous-espaces orthogonaux.

Afin d’illustrer la proposition Proposition 5.3.13, on décompose le vecteur \(\vec{u}=(9,16,21,24)\) en une composante provenant de \(V=\vspan{(5,6,7,8),(0,-1,-2,-3)}\) et son complément orthogonal.

Solution.

On commence par trouver une base pour le complément orthogonal. Si l’on pose

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 5&6&7&8\\ 0&-1&-2&-3 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}

alors \(V\) correspond à l’espace ligne de cette matrice et son complément orthogonal est l’espace nul. On peut y trouver une base avec Sage.

Donc, \(V^{\perp}=\vspan((1, -2, 1, 0),(2, -3, 0, 1))\text{.}\) Pour exprimer le vecteur \(\vec{u}\) en fonction de la base générée par \(V,V^{\perp}\text{,}\) on met les quatre vecteurs dans une matrice colonne et l’on utilise Sage à nouveau pour échelonner la matrice augmentée du vecteur \(\vec{u}\text{.}\)

Ainsi, le vecteur \(\vec{u}\) peut s’écrire comme

\begin{equation*} \vec{u}=2\vec{v}_1-3\vec{v}_2+\vec{v}_3-\vec{v}_4\text{.} \end{equation*}

La composante de \(\vec{u}\) qui fait partie du sous-espace \(V\) est donc \(2\vec{v}_1-3\vec{v}_2=(10, 15, 20, 25)\) et la composante faisant partie du complément orthogonal est \(\vec{v}_3-\vec{v}_4=(-1, 1, 1, -1)\text{.}\)

Avec les quatre espaces fondamentaux, la décomposition est particulièrement intéressante. On considère une matrice \(A\) de taille \(m\times n\) quelconque. Tout vecteur \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) peut s’écrire comme une somme

\begin{equation} \vec{x}=\vec{x}_l+\vec{x}_n\tag{5.3.1} \end{equation}

avec \(\vec{x}_l\in\mathcal{L}(A)\) et \(\vec{x}_n\in\mathcal{N}(A)\text{,}\) en vertu de la proposition Proposition 5.3.13. Quel est l’effet de la matrice \(A\) sur le vecteur \(\vec{x}\text{?}\) La décomposition combinée à la linéarité de la multiplication matrice vecteur donne la réponse. La composante de \(\vec{x}\) provenant de l’espace nul est envoyée sur le vecteur nul et la composante provenant de l’espace ligne est envoyée dans l’espace colonne. Cela signifie que, bien que le domaine de la transformation linéaire soit \(\mathbb{R}^n\) au complet, il est seulement utile de connaitre l’image de l’espace ligne pour connaitre l’image de la transformation. On bonifie l’image de la figure Figure 5.3.8 afin d’illustrer l’effet d’une matrice comme fonction de \(\mathbb{R}^n\) vers \(\mathbb{R}^m\text{.}\)

Une reproduction des quatre espaces fondamentaux est faite comme celle d’une image précédente. Sur celle-ci est ajouté un point à gauche, décomposé en deux morceaux, l’un sur le rectangle représentant l’espace ligne et l’autre sur le rectangle représentant l’espace nul. Des flèches représentant l’effet d’une matrice A sur ces morceaux sont tracés. Le vecteur x et celui dans l’espace ligne sont envoyés dans le rectangle de l’espace colonne à droite alors que celui dans l’espace nul est envoyé à l’intersection des rectangles à droite. — Figure 5.3.16. Décomposition orthogonale et quatre espaces fondamentaux

Avec ces nouvelles notions, on peut augmenter une fois de plus les conditions équivalentes du théorème de la matrice inverse, qui découle du théorème fondamental de l’algèbre linéaire.

Théorème 5.3.17. Théorème de la matrice inverse, cinquième version.

Soit \(A\text{,}\) une matrice carrée d’ordre \(n\text{.}\) Les énoncés suivants sont équivalents:

La matrice \(A\) est inversible;
Pour chaque vecteur \(\vec{v}\in \R^n\text{,}\) il existe un seul vecteur \(\vec{u}\in \R^n\) tel que \(A\vec{u}=\vec{v}\text{;}\)
Le rang de la matrice est égal à \(n\text{;}\)
La matrice \(A\) possède \(n\) pivots;
La forme échelonnée réduite de \(A\) est la matrice identité;
Aucune ligne n’est une combinaison linéaire des autres lignes;
Aucune colonne n’est une combinaison linéaire des autres colonnes;
Le déterminant de la matrice \(A\) est non nul;
L’espace colonne est de dimension \(n\text{;}\)
L’espace ligne est de dimension \(n\text{;}\)
L’espace nul est de dimension \(0\text{;}\)
L’espace nul gauche est de dimension \(0\text{.}\)

Sous-section 5.3.3 La géométrie de la transposée et un retour sur l’inverse à gauche et à droite

Lorsqu’on a introduit la transposée à la section Section 3.4, on l’a fait par besoin algébrique pour la suite, sans avoir tous les outils nécessaires à la compréhension de sa géométrie. Une matrice \(A\) de taille \(m\times n\) est une fonction de \(\mathbb{R}^n\) vers \(\mathbb{R}^m\text{.}\) Le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire et la proposition Proposition 5.3.13 disent que la matrice décompose le domaine et l’ensemble d’arrivée en deux sous-espaces dont les dimensions sont complémentaires et que chaque vecteur de l’espace peut-être écrit comme la somme de vecteurs dans chacun de ces sous-espaces. On considère les deux transformations linéaires \(A:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) et \(A^T:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n\text{.}\) La matrice \(A\) envoie tous les vecteurs de \(\mathcal{N}(A)\) (son espace nul) sur le vecteur \(\vec{0}\in\mathbb{R}^m\) et la matrice \(A^T\) envoie tous les vecteurs de \(\mathcal{N}(A^T)\) (aussi son espace nul) sur le vecteur \(\vec{0}\in \mathbb{R}^n\text{.}\) Qui plus est, la dimension des espaces colonnes et lignes de la matrice est la même et l’on a bien sûr que \(\mathcal{L}(A)=\mathcal{C}(A^T)\) et \(\mathcal{C}(A)=\mathcal{L}(A^T)\text{.}\) Tout ceci suggère que \(A\) envoie son espace ligne sur l’espace colonne et \(A^T\) envoie l’espace colonne de \(A\) sur son espace ligne. On pourrait (à tort) penser que la transposée doit alors être l’inverse de la matrice \(A\text{.}\) En se rappelant la remarque Remarque 5.3.14, il peut exister des vecteurs en dehors de l’espace ligne ou de l’espace nul, mais qui s’écrivent comme combinaison linéaire de vecteurs dans ces espaces. Comme le montre la figure Figure 5.3.16, deux vecteurs peuvent être envoyés sur le même vecteur \(\vec{b}\) dans l’espace colonne. En général, la transposée ne retournera même pas le vecteur \(\vec{b}\) sur la composante provenant de l’espace ligne. On a toutefois le résultat suivant.

Proposition 5.3.18. Relation entre \(\mathcal{L}(A)\) et \(\mathcal{C}(A)\).

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\text{.}\) Pour chaque vecteur \(\vec{b}\) dans l’espace colonne \(\mathcal{C}(A)\text{,}\) il existe un unique vecteur \(\vec{x}_0\) dans l’espace ligne de \(A\) tel que

\begin{equation*} A\vec{x}_0=\vec{b}\text{.} \end{equation*}

Démonstration.

Soit \(r\text{,}\) la dimension de l’espace ligne et de l’espace colonne et soit \(\langle\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots , \vec{v}_r\rangle\text{,}\) une base de l’espace ligne. Dans ce cas, les vecteurs \(A\vec{v}_1,A\vec{v}_2,\ldots , A\vec{v}_r\) sont tous dans \(\mathcal{C}(A)\text{.}\) Si l’on montre qu’ils sont indépendants, ils formeront alors une base de \(\mathcal{C}(A)\text{.}\) On considère une combinaison linéaire de ces vecteurs donnant le vecteur nul:

\begin{equation*} c_1A\vec{v}_1+c_2A\vec{v}_2+\ldots + c_rA\vec{v}_r=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

En mettant la matrice \(A\) en évidence, on obtient que \(A(c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r)=\vec{0}\) et que la combinaison linéaire \(c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r\) est dans l’espace nul de la matrice \(A\text{.}\) Or comme les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots , \vec{v}_r\) sont une base pour l’espace ligne et que celui-ci est un sous-espace vectoriel, la combinaison linéaire \(c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r\) est aussi dans l’espace ligne. Le seul vecteur qui est à la fois dans l’espace ligne et l’espace nul étant le vecteur nul, on conclut que

\begin{equation*} c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

Ceci entraine à son tour que les coefficients \(c_1,c_2,\ldots, c_r\) sont tous nuls, puisque les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots , \vec{v}_r\) sont indépendants. Ainsi, la seule combinaison linéaire des vecteurs \(A\vec{v}_1,A\vec{v}_2,\ldots , A\vec{v}_r\) donnant le vecteur nul étant celle où tous les coefficients sont nuls, on peut conclure que ces \(r\) vecteurs sont aussi indépendants et, puisque la dimension de l’espace colonne est \(r\text{,}\) ils forment une base de cet espace.

On considère maintenant un vecteur \(\vec{b}\in\mathcal{C}(A)\text{.}\) Puisque \(A\vec{v}_1,A\vec{v}_2,\ldots , A\vec{v}_r\) forment une base de l’espace colonne, il existe une unique manière d’écrire \(\vec{b}\) comme une combinaison linéaire de ces vecteurs:

\begin{align*} \vec{b}&=c_1A\vec{v}_1+c_2A\vec{v}_2+\ldots + c_rA\vec{v}_r\\ &=A(c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r)\\ &=A\vec{x}_0\text{,} \end{align*}

où \(\vec{x}_0=c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\ldots + c_r\vec{v}_r\text{.}\) La preuve que ce vecteur est unique est faite dans l’exercice Exercice 5.3.4.15.

Lorsque la matrice est carrée, on connait une multitude d’équivalences pour déterminer si la matrice est inversible ou non. Celles-ci sont répertoriées dans le théorème Théorème 5.3.17. À la section Section 2.4, on a brièvement mentionné la notion d’inverse à gauche et d’inverse à droite pour les matrices rectangulaires, notamment au théorème Théorème 2.4.12. Le théorème fondamental de l’algèbre linéaire permet d’apporter un autre point de vue sur la non-existence des inverses. En effet, si une matrice est de taille \(m\times n\) avec \(m< n\text{,}\) alors l’espace nul gauche de la matrice \(A\) est de dimension supérieure ou égale à \(1\text{.}\) Cela entraine que l’équation \(A\vec{x}=\vec{b}\) peut ne pas avoir de solution si le vecteur \(\vec{b}\) se trouve dans l’espace nul gauche. On ne peut donc pas inverser à gauche la matrice \(A\) et écrire \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\text{.}\) De la même manière, si la matrice est de taille \(m\times n\) avec \(m> n\) et possède un inverse à droite \(B\text{,}\) alors \(B^T\) est un inverse à gauche pour \(A^T\text{,}\) puisque

\begin{equation} I=I^T=(AB)^T=B^TA^T\text{.}\tag{5.3.2} \end{equation}

Le même argument appliqué à la matrice \(A\) signifie que, parce que l’espace nul de \(A\) est de dimension plus grande ou égale à \(1\text{,}\) l’équation \(A^T\vec{x}=\vec{b}\) peut ne pas avoir de solution si le vecteur \(b\) se trouve dans l’espace colonne de \(A^T\text{,}\) ou de façon équivalente dans l’espace ligne de \(A\text{.}\)

On a des conditions pour la non-existence des inverses des matrices rectangulaires, mais qu’en est-il pour leur existence? Tout est basé sur le rang, le nombre de pivots ou encore la dimension des espaces lignes et colonne. Une matrice de taille \(m\times n\) peut avoir pour rang maximal la valeur minimale entre \(m\) et \(n\text{.}\) Il ne peut pas y avoir plus de pivots qu’il y a de lignes ou de colonnes, la plus petite de ces dimensions. Pour trouver un inverse à droite, il faut une matrice \(B\) de taille \(n\times m\) telle que \(AB=I_m\text{.}\) La matrice \(A\) multiplie chaque colonne de \(B\) pour avoir l’identité. Il faut donc que les colonnes de l’identité soient dans l’espace colonne. Si le rang de la matrice est \(m\text{,}\) alors \(\text{dim}(\mathcal{C}(A))=m=\text{dim}(\mathbb{R}^m)\text{.}\) Si, au contraire, on cherche un inverse à gauche, c’est-à-dire une matrice \(B\) de taille \(n\times m\) telle que \(BA=I_n\text{,}\) alors un argument utilisant l’équation (5.3.2) et l’idée ci-dessus montre que si le rang de la matrice \(A\) est \(n\text{,}\) c’est-à-dire maximal pour les colonnes, on aura une solution.

Ces idées sont résumées dans la proposition ci-dessous.

Proposition 5.3.19. L’existence d’inverse à gauche et à droite.

Soit \(A\text{,}\) une matrice de taille \(m\times n\) avec rang \(r\text{.}\)

Si \(r=m\text{,}\) alors, il existe une inverse à droite;
Si \(r=n\text{,}\) alors, il existe une inverse à gauche.

Démonstration.

Dans le cas où le rang est égal au nombre de lignes, on peut trouver \(m\) colonnes pivots qui sont indépendantes et génèrent \(\mathbb{R}^m\text{.}\) On voit qu’il y a toujours une solution à l’équation \(A\vec{x}=\vec{b}\text{,}\) puisque l’espace colonne est \(\mathbb{R}^m\) au complet. On peut donc trouver une matrice inverse en résolvant les équations matrices vecteurs

\begin{align*} A\vec{x}_1&=\vec{e}_1\\ A\vec{x}_2&=\vec{e}_2\\ \vdots &=\vdots\\ A\vec{x}_m&=\vec{e}_m \end{align*}

et placer ces vecteurs dans les colonnes d’une matrice \(B\text{.}\)

Dans le cas où le rang est égal au nombre de colonnes, la dimension de l’espace ligne est donc égale à \(n\text{.}\) En regardant la transposée de la matrice \(A\text{,}\) on déduit que celle-ci possède un inverse à droite. L’équation (5.3.2) dit alors que celui-ci est un inverse à gauche pour la matrice \(A\text{.}\)

Remarque 5.3.20. Quelques précisions sur les inverses.

Il faut noter que, contrairement à l’inverse d’une matrice carrée, qui est unique, une matrice rectangulaire peut, si elle en a, avoir plusieurs inverses à gauche et à droite. De plus, l’équation \(A\vec{x}=\vec{b}\) est liée à la notion d’inverse lorsque la matrice est carrée. Si la matrice est inversible, alors il existe une solution unique donnée par \(\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\text{.}\) Dans le cas d’une matrice rectangulaire, l’existence d’un inverse à droite implique qu’une solution existe toujours. En effet, puisque \(AA^{-1}_{\text{droite}}=I\text{,}\) on a que \(AA^{-1}_{\text{droite}}\vec{b}=\vec{b}\text{.}\) Ainsi \(\vec{x}=A^{-1}_{\text{droite}}\vec{b}\) est une solution. Par contre, cette solution n’est peut-être pas unique. Si un autre inverse existe, il pourrait mener à une solution différente. Si la matrice possède plutôt un inverse à gauche, alors là la solution, si elle existe, sera unique. D’une part, si \(B\) est un inverse à gauche, alors \(B\vec{b}\) est une solution puisque \(BA=I\) et donc \(BA\vec{x}=B\vec{b}\text{.}\) De plus, si \(C\) est un inverse à gauche différent de \(B\text{,}\) alors par le même raisonnement, \(C\vec{b}\) est aussi une solution. Or on a

\begin{align*} B\vec{b}&=BA\vec{x}\\ &=I\vec{x}\\ &=CA\vec{x}\\ &=C\vec{x}\text{.} \end{align*}

Il est toutefois possible que le vecteur \(\vec{b}\) ne soit pas dans l’espace colonne et qu’il n’y ait pas de solution.

En résumé, pour une matrice \(m\times n\) de rang \(m\text{,}\) l’équation \(A\vec{x}=\vec{b}\) possède \(1\) ou une infinité de solutions, alors que pour une matrice de rang \(n\text{,}\) elle en possède \(0\) ou une. Lorsque \(m=n\) (et que le rang est maximal), la solution ne peut être qu’unique.

Les points importants de cette section sont:

Comment obtenir une base pour l’espace ligne et l’espace nul;
Comment obtenir une base pour l’espace colonne et l’espace nul gauche;
La dimension des quatre espaces fondamentaux et le lien avec le rang de la matrice;
Le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire.
La possibilité de décomposer un vecteur selon un sous-espace vectoriel et son complément orthogonal.
La nouvelle version du théorème de la matrice inverse;
La relation entre l’espace ligne et l’espace colonne d’une matrice;
Les conditions d’existence pour les inverses à gauche et à droite, détaillées à la proposition Proposition 5.3.19.

Exercices 5.3.4 Exercices

1.

Pour chaque matrice ci-dessous, déterminer une base pour les quatre espaces fondamentaux.

(a)

\(A=\begin{pmatrix} 1& -2\\ 3& -6 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(A)=\vspan((1,-2))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(A)=\vspan((1,3))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(A)=\vspan((2,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(A^T)=\vspan((-3,1))\)

Solution.

On peut remarquer que les deux lignes de la matrice sont parallèles. Ceci signifie que l’espace ligne et l’espace colonne seront de dimension \(1\text{.}\) De même, la dimension de l’espace nul et de l’espace nul gauche sera aussi 1. Pour l’espace ligne, on peut prendre n’importe quelle ligne de la matrice : \(\mathcal{L}(A)=\vspan((1,-2))\text{.}\) Similairement, l’espace colonne est engendré par le vecteur \((1,3)\text{.}\) Pour l’espace nul, on utilise le fait que celui-ci est orthogonal à l’espace ligne. Le vecteur \((2,1)\) engendre l’espace nul. De même, l’espace nul gauche est orthogonal à l’espace colonne. Il sera engendré par \((-3,1)\text{.}\)

(b)

\(B=\begin{pmatrix} 1& -2\\ 4& -6 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(B)=\vspan((1,0),(0,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(B)=\vspan((1,0),(0,1))\)
\(\mathcal{N}(B)\text{:}\) Aucune base.
\(\mathcal{N}(B^T)\text{:}\) Aucune base.

Solution.

On remarque (par exemple avec le déterminant) que la matrice est inversible. Cela signifie que l’espace nul sera composé du vecteur nul uniquement et que les espaces ligne et colonne seront de dimension \(2\) et seront \(\R^2\) au complet. On a alors \(\mathcal{L}(A)=\vspan((1,0),(0,1))\) et \(\mathcal{C}(A)=\vspan((1,0),(0,1))\text{.}\) Il n’existe pas de base pour le sous-espace ne contenant que le vecteur nul.

(c)

\(C=\begin{pmatrix} 1& -2& 2\\ 3& -6& 6 \\ -1& 2& -2 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(C)=\vspan((1,-2,2))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(C)=\vspan((1,3,-1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(C)=\vspan((2,1,0),(-2,0,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(C^T)=\vspan((1,0,1),(0,1,3))\)

Solution.

L’espace ligne est engendré par \((1,-2,2)\text{,}\) l’espace nul par les vecteurs obtenus des solutions de base: \((2,1,0),(-2,0,1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((1,3,-1)\) et l’espace nul gauche par \((1,0,1)\) et \((0,1,3)\text{.}\)

(d)

\(D=\begin{pmatrix} 1& 0& 1\\ 3& 1& 6 \\ -1& 3& 8 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(D)=\vspan((1,0,1),(0,1,3))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(D)=\vspan((1,3,-1),(0,1,3))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(D)=\vspan((-1,-3,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(D^T)=\vspan((10,-3,1))\)

Solution.

L’espace ligne est engendré par \((1,0,1)\) et \((0,1,3)\text{,}\) l’espace nul par le vecteur obtenu des solutions de base: \((-1,-3,1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((1,3,-1)\) et \((0,1,3)\) et l’espace nul gauche par \((10,-3,1)\text{.}\)

(e)

\(F=\begin{pmatrix} 5 & -4 & -4 & 4 \\ -15 & 12 & 12 & -12 \\ 25 & -20 & -20 & 20 \\ 15 & -12 & -12 & 12 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(F)=\vspan((5,-4,-4,4))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(F)=\vspan((5,-15,25,15))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(F)=\vspan((4/5,1,0,0),(4/5,0,1,0),(-4/5,0,0,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(F^T)=\vspan((1,0,1,-2),(0,1,0,1),(0,0,3,-5))\)

Solution.

On utilise Sage pour échelonner la matrice et déterminer les bases à l’aide des propositions Proposition 5.3.1 et Proposition 5.3.4. On utilise la commande echelon_form(transformation=True), car celle-ci retourne la matrice \(E\) obtenue de la multiplication des matrices élémentaires \(EC=R\text{.}\) À noter que cette commande n’échelonne pas jusqu’au bout, elle n’utilise pas de divisions. On peut aussi faire apparaitre la forme échelonnée réduite.

L’espace ligne est engendré par \((5,-4,-4,4)\text{,}\) l’espace nul par les vecteurs obtenus des solutions de base: \((4/5,1,0,0),(4/5,0,1,0),(-4/5,0,0,1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((5,-15,25,15)\) et l’espace nul gauche par \((1,0,1,-2),(0,1,0,1)\) et \((0,0,3,-5)\text{.}\)

(f)

\(G=\begin{pmatrix} -5 & 6 & -3 & 9 \\ 3 & 3 & 5 & -8 \\ \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(G)=\vspan((1,12,7,-7),(0,33,16,-13))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(G)=\vspan((-5,3),(6,3))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(G)=\vspan((-13/11,-16/33,1,0),(25/11,13/33,0,1))\)
\(\mathcal{N}(G^T)=\{\vec{0}\}\text{,}\) aucune base.

Solution.

L’espace ligne est engendré par \((1,12,7,-7),(0,33,16,-13)\) et l’espace nul par les vecteurs obtenus des solutions de base: \((-13/11,-16/33,1,0),(25/11,13/33,0,1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((-5,3),(6,3)\) et l’espace nul gauche n’est composé que du vecteur nul et ne possède pas de base.

(g)

\(H=\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 0 & -4 \\ 0 & 6 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(H)=\vspan((0,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(H)=\vspan((5,-4,6,0))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(H)=\vspan((1,0))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(H^T)=\vspan((2,1,-1,0),(0,3,2,0),(0,0,0,1))\)

Solution.

L’espace ligne est engendré par \((0,1)\) et l’espace nul par le vecteur obtenu des solutions de base: \((1,0)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((5,-4,6,0)\) et l’espace nul gauche est engendré par \((2,1,-1,0),(0,3,2,0),(0,0,0,1)\text{.}\)

(h)

\(J=\begin{pmatrix} 0 & -13 & -10 \\ 0 & -10 & -25 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & -2 & -5 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(J)=\vspan((0,1,0),(0,0,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(J)=\vspan((-13,-10,-7,-2),(-10,-25,5,-5))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(J)=\vspan((1,-1,-1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(J^T)=\vspan((1,0,-1,-3),(0,1,0,-5))\)

Solution.

L’espace ligne est engendré par \((0,1,0),(0,0,1)\) et l’espace nul par le vecteur obtenu des solutions de base: \((1,-1,-1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((-13,-10,-7,-2),(-10,-25,5,-5)\) et l’espace nul gauche est engendré par \((1,0,-1,-3),(0,1,0,-5)\text{.}\)

(i)

\(K=\begin{pmatrix} 10 & 12 & -19 & 4 \\ -10 & -4 & -9 & -8 \\ 0 & 5 & -3 & 1 \\ 10 & 3 & -2 & 5 \end{pmatrix}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier.

\(\displaystyle \mathcal{L}(K)=\vspan((1,0,23/10,10/23),(0,1,11,3),(0,0,1,7/29))\)
\(\displaystyle \mathcal{C}(K)=\vspan((10,-10,0,10),(12,-4,5,3),(-19,-9,-3,-2))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(K)=\vspan((-129/200,-10/29,-7/29,1))\)
\(\displaystyle \mathcal{N}(K^T)=\vspan((1,-1,-2,-2))\)

Solution.

On utilise Sage pour échelonner la matrice et déterminer les bases à l’aide des propositions Proposition 5.3.1 et Proposition 5.3.4. On utilise la commande echelon_form(transformation=True), car celle-ci retourne la matrice \(E\) obtenue de la multiplication des matrices élémentaires \(EK=R\text{.}\) À noter que cette commande n’échelonne pas jusqu’au bout, elle n’utilise pas de divisions. On peut aussi faire apparaitre la forme échelonnée réduite.

L’espace ligne est engendré par \((1,0,23/10,10/23)\text{,}\)\((0,1,11,3)\) et \((0,0,1,7/29)\text{,}\) l’espace nul par le vecteur obtenu des solutions de base: \((-129/200,-10/29,-7/29,1)\text{.}\) L’espace colonne est engendré par \((10,-10,0,10)\text{,}\)\((12,-4,5,3)\) et \((-19,-9,-3,-2)\) et l’espace nul gauche par \((1,-1,-2,-2)\text{.}\)

2.

Donner la dimension des quatre espaces fondamentaux d’une matrice ayant les caractéristiques suivantes, ou dire pourquoi une dimension ne peut être donnée.

(a)

La matrice \(A\) est de taille \(4\times 7\) et son rang est \(2\text{;}\)

Réponse.

\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{L}(A))=2\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{C}(A))=2\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(A))=5\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(A^T))=2\)

Solution.

Selon le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire, les dimensions de l’espace ligne et de l’espace nul s’additionnent pour donner le nombre de colonnes de la matrice et les dimensions de l’espace colonne et de l’espace nul gauche s’additionnent pour donner le nombre de lignes de la matrice. La dimension de l’espace ligne et celle de l’espace colonne correspondent toujours au rang de la matrice. On a donc

\(\text{dim}(\mathcal{L}(A))=2\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{C}(A))=2\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A))=7-2=5\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(A^T))=4-2=2\text{.}\)

(b)

La matrice \(B\) est de taille \(5\times 5\) et est inversible;

Réponse.

\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{L}(B))=5\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{C}(B))=5\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(B))=0\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(B^T))=0\)

Solution.

Selon le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire, les dimensions de l’espace ligne et de l’espace nul s’additionnent pour donner le nombre de colonnes de la matrice et les dimensions de l’espace colonne et de l’espace nul gauche s’additionnent pour donner le nombre de lignes de la matrice. De plus, selon le théorème Théorème 5.3.17, une matrice inversible est de rang maximal. La dimension de l’espace ligne et celle de l’espace colonne correspondent toujours au rang de la matrice. On a donc

\(\text{dim}(\mathcal{L}(B))=5\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{C}(B))=5\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(B))=5-5=0\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(B^T))=5-5=0\text{.}\)

(c)

La matrice \(C\) est de taille \(3\times 5\text{.}\) Les trois premières colonnes sont, dans l’ordre, les vecteurs \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) et les deux dernières colonnes sont nulles.

Réponse.

\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{L}(C))=3\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{C}(C))=3\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(C))=0\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(C^T))=2\)

Solution.

\(\text{dim}(\mathcal{L}(C))=3\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{C}(C))=3\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(C))=3-3=0\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(C^T))=5-3=2\text{.}\)

(d)

La matrice \(D\) est de taille \(5\times 6\text{.}\) Les trois premières colonnes sont, dans l’ordre, les vecteurs \((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0)\) et les trois dernières colonnes une copie des trois premières, dans le même ordre.

Réponse.

\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{L}(D))=3\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{C}(D))=3\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(D))=2\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(D^T))=3\)

Solution.

\(\text{dim}(\mathcal{L}(D))=3\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{C}(D))=3\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(D))=5-3=0\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(D^T))=6-3=2\text{.}\)

(e)

La matrice \(E\) est de taille \(3\times 3\) et toutes les solutions à l’équation \(A\vec{x}=\vec{0}\)sont parallèles au vecteur \(\vec{u}=\vec{1,2,3}\text{.}\)

Réponse.

\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{L}(E))=2\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{C}(E))=2\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(E))=1\)
\(\displaystyle \text{dim}(\mathcal{N}(E^T))=1\)

Solution.

Selon le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire, les dimensions de l’espace ligne et de l’espace nul s’additionnent pour donner le nombre de colonnes de la matrice et les dimensions de l’espace colonne et de l’espace nul gauche s’additionnent pour donner le nombre de lignes de la matrice. De plus, la dimension de l’espace ligne est toujours la même que celle de l’espace colonne. Comme les solutions à l’espace nul sont sur une ligne, la dimension de l’espace nul est \(1\text{.}\)

\(\text{dim}(\mathcal{L}(E))=3-1\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{C}(E))=2\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(E))=1\text{;}\)
\(\text{dim}(\mathcal{N}(E^T))=3-2=1\text{.}\)

3.

On considère la matrice

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix}1& 1& 0& -1\\ 1& -2&1& -1\\ 0&1&-1&3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Pour chaque situation ci-dessous, donner une matrice de format demandé respectant la condition ou dire pourquoi une telle matrice n’existe pas.

(a)

Donner une matrice \(B\) de taille \(4\times 5\) telle que \(\mathcal{C}(B)=\mathcal{L}(A)\text{.}\)

Réponse.

Les réponses peuvent varier. Voici une solution: \(B=\begin{pmatrix} 1&0&0&1&0\\ 0&1&0&1&1\\ 0&0&1&0&1\\ \frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{9}{2}&-1&-6 \end{pmatrix}\)

Solution.

On commence par déterminer l’espace ligne de la matrice \(A\) en l’échelonnant.

L’espace ligne est donc à trois dimensions et engendré par les vecteurs \((1,0,0,1/2),(0,1,0,-3/2),(0,0,1,-9/2)\text{.}\) Pour avoir une matrice de format \(4\times 5\) qui produira un espace colonne égal à l’espace ligne de \(A\text{,}\) on peut prendre une matrice \(B\) dont trois des colonnes sont les vecteurs ci-dessus et les deux autres colonnes sont des combinaisons linéaires de ces mêmes vecteurs. Voici un exemple:

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&0&0&1&0\\ 0&1&0&1&1\\ 0&0&1&0&1\\ \frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&-\frac{9}{2}&-1&-6 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

(b)

Donner une matrice \(C\) de taille \(2\times 4\) telle que \(\mathcal{L}(C)=\mathcal{L}(A)\text{.}\)

Réponse.

Impossible

Solution.

C’est impossible, puisque l’espace ligne de la matrice \(A\) est de dimension \(3\text{.}\) La dimension de l’espace ligne d’une telle matrice \(C\) pourrait être au maximum \(2\text{.}\)

(c)

Donner une matrice \(D\) de taille \(4\times 3\) telle que \(\mathcal{L}(D)=\mathcal{C}(A)\text{.}\)

Réponse.

\(D=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&-2&1\\ 0&1&-1\\ 2&0&0 \end{pmatrix}\)

Solution.

En regardant les calculs Sage faits précédemment, on constate que l’espace colonne de la matrice \(A\) est généré par les trois premières colonnes. Pour créer la matrice \(D\) demandée, il suffit de mettre les trois premières colonnes de \(A\) comme lignes d’une matrice et d’ajouter une ligne qui est une combinaison linéaire de ces trois premières lignes. Voici un exemple:

(b)

\(V_2=\{\vec{x}\in \mathbb{R}^5~|~ x_1+x_3+x_5=0 \text{ et } x_2+x_4=0\}\text{.}\)

Réponse.

\(V_2^{\perp}=\vspan((1,0,1,0,1),(0,1,0,1,0))\)

Solution.

Soit

\begin{equation*} B=\begin{pmatrix} 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&1&0 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}

la matrice pour laquelle le système \(B\vec{x}=\vec{0}\) correspond aux conditions caractéristiques du sous-espace \(V_2\text{.}\) Par définition, les solutions à ce système correspondent à l’espace nul de la matrice \(B\) et donc, le sous-espace \(V_2\) est équivalent à l’espace nul de la matrice \(B\text{.}\) Le complément orthogonal de l’espace nul étant l’espace ligne, on conclut que \(V_2^{\perp}=\vspan((1,0,1,0,1),(0,1,0,1,0))\text{,}\) puisque la matrice \(B\) est déjà échelonnée réduite.

5.

À la proposition Proposition 5.2.18, on a montré que tout espace vectoriel de dimension plus grande à \(0\) possédait une base. Voici un processus qui permet de compléter un ensemble de vecteurs indépendants afin de trouver une base d’un espace vectoriel de dimension connue.

(a)

On considère les vecteurs de \(\mathbb{R}^5\) suivants:

\begin{equation*} \vec{v}_1=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} \qquad \vec{v}_2=\begin{pmatrix} 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9 \end{pmatrix} \qquad \vec{v}_3=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -3\\ 4\\ -5 \end{pmatrix} \text{.} \end{equation*}

L’idée est de créer une matrice dont l’espace colonne sera \(\mathbb{R}^5\) et dont les colonnes pivots donneront une base qui contiendra les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\text{.}\) Pour cela, on considère la matrice

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0& 5& -1& 1&0&0&0&0\\ 1& 6& 2& 0&1&0&0&0\\ 2& 7& -3& 0&0&1&0&0\\ 3& 8& 4& 0&0&0&1&0\\ 4& 9& -5& 0&0&0&0&1\\ \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Donner une base de \(\mathbb{R}^5\) contenant les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\text{.}\)

Réponse.

\(\mathcal{B}=\langle (0, 1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9),(-1, 2, -3, 4, -5),(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0)\rangle\)

Solution.

Il faut échelonner la matrice afin de déterminer les colonnes pivots. On utilise Sage.

En ajoutant les vecteurs \((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0)\) aux vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\text{,}\) on obtient une base de \(\mathbb{R}^5\text{.}\)

(b)

Répéter avec les vecteurs

\begin{equation*} \vec{w}_1=\begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} \qquad \vec{w}_2=\begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 9\\ 4\\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{w}_3=\begin{pmatrix} -11\\ -12\\ -13\\ -6\\ -3 \end{pmatrix} \text{.} \end{equation*}

Solution.

Il faut échelonner la matrice contenant ces trois vecteurs dans les premières colonnes et augmentée de l’identité afin de déterminer les colonnes pivots. On utilise Sage.

En ajoutant les vecteurs \((0,1,0,0,0)(0,0,0,1,0)\) aux vecteurs \(\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\text{,}\) on obtient une base de \(\mathbb{R}^5\text{.}\)

(c)

Expliquer pourquoi ce processus fonctionne pour former une base à partir de \(k\) vecteurs indépendants de \(\mathbb{R}^n\text{.}\)

Solution.

Dans un premier temps, on calcule le vecteur \(\vec{w}\text{.}\) Selon l’équation (4.1.2), le produit vectoriel des lignes de \(A\) est

\begin{equation*} \vec{x}=\left(\begin{vmatrix} 0& 1\\ 1&0 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} 1& -1\\ 1&0 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1& -1\\ 0&1 \end{vmatrix}\right)=(-1,-1,1)\text{.} \end{equation*}

Puisque ce vecteur est perpendiculaire aux lignes de \(A\) (par définition du produit vectoriel), on conclut que le vecteur \((-1,-1,1)\) est dans l’espace nul de \(A\text{.}\) On prend donc le vecteur nul comme élément de l’espace ligne pour écrire \((-1,-1,1)=(0,0,0)+(-1,-1,1)\)

(c)

Décomposer le vecteur \((1,1,1)\) de cette manière.

Réponse.

\((1,1,1)=\frac{2}{3}(1,1,2)-\frac{1}{3}(-1,-1,1)\)

Solution.

La question est équivalente à décomposer le vecteur \((1,1,1)\) dans la base de \(\mathbb{R}^3\) donnée par les vecteurs \((1,0,1),(-1,1,0)\) (les lignes de la matrice \(A\)) et le vecteur \((-1,-1,1)\) (le produit vectoriel des deux premiers vecteurs) et de combiner les contributions des vecteurs de l’espace ligne. On place ces trois vecteurs dans une matrice colonne afin de résoudre le système.

On peut donc écrire

\begin{equation*} (1,1,1)=\frac{4}{3}(1,0,1)+\frac{2}{3}(-1,1,0)-\frac{1}{3}(-1,-1,1)\text{.} \end{equation*}

En combinant les deux premiers vecteurs, on a

\begin{equation*} (1,1,1)=\frac{2}{3}(1,1,2)-\frac{1}{3}(-1,-1,1) \end{equation*}

avec le vecteur \(\frac{2}{3}(1,1,2)\in \mathcal{L}(A)\) et le vecteur \(-\frac{2}{3}(-1,-1,1)\in \mathcal{N}(A)\text{.}\)

(d)

Décomposer le vecteur \((x,y,z)\) de cette manière.

Solution.

On utilise la même idée qu’au problème précédent. On ajuste les calculs avec Sage en vertu des remarques de l’exemple Calcul 3.3.27.

On peut donc écrire

\begin{equation*} (x,y,z)=\frac{(x+y+2z)}{3}(1,0,1)+\frac{-x+2y+z}{3}(-1,1,0)+\frac{-x-y+z}{3}(-1,-1,1)\text{.} \end{equation*}

En combinant les deux premiers vecteurs, on a

\begin{equation*} (x,y,z)=\frac{1}{3}(4x-5y-z,-3x+6y+3z,x-y-z)+\frac{x+y+2z}{3}(-1,-1,1) \end{equation*}

avec le vecteur \(\frac{1}{3}(4x-5y-z,-3x+6y+3z,x-y-z)\in \mathcal{L}(A)\) et le vecteur \(\frac{x+y+2z}{3}(-1,-1,1)\in \mathcal{N}(A)\text{.}\)

9.

Soit \(B=\begin{pmatrix}1& 1& 0&0\\ 0& 0&1& -1 \end{pmatrix}\text{.}\)

Soit \(A\text{,}\) une matrice \(m\times n\) et \(B\text{,}\) une matrice \(n\times p\text{.}\)

(a)

Montrer que l’espace nul de \(B\) est contenu dans l’espace nul du produit \(AB\text{,}\) c’est-à-dire \(\mathcal{N}(B)\subseteq \mathcal{N}(AB)\text{.}\)

Solution.

Soit \(\vec{x}\text{,}\) un vecteur de l’espace nul de la matrice \(B\text{.}\) On a alors \(B\vec{x}=\vec{0}\text{.}\) On doit montrer que ce vecteur est dans l’espace nul de \(AB\text{.}\) On a

\begin{align*} AB\vec{x}&=A(B\vec{x}) & \text{ par associativité du produit matriciel}\\ &=A\vec{0} \text{ par hypothèse}\\ &=\vec{0} \end{align*}

puisque le vecteur nul est toujours envoyé sur le vecteur nul.

(b)

Montrer que \(\mathcal{N}(B)=\mathcal{N}(AB)\) si \(A\) est une matrice carrée inversible.

Solution.

On sait déjà que \(\mathcal{N}(B)\subseteq \mathcal{N}(AB)\text{.}\) Si l’on montre la relation inverse, c’est-à-dire \(\mathcal{N}(B)\supseteq \mathcal{N}(AB)\text{,}\) on aura démontré le résultat. On a l’hypothèse additionnelle que \(A\) est une matrice carrée inversible.

On commence avec un vecteur \(\vec{x}\in \mathcal{N}(AB)\text{.}\) On veut montrer que ce vecteur est aussi dans l’espace nul de la matrice \(B\text{.}\) Le fait que \(\vec{x}\) soit dans l’espace nul du produit \(AB\) signifie que \(AB\vec{x}=\vec{0}\text{.}\) Puisque \(A\) est inversible, on peut alors écrire \(B\vec{x}=A^{-1}\vec{0}=\vec{0}\text{,}\) car le vecteur nul ne peut être envoyé que sur le vecteur nul par la matrice \(A\text{.}\) Ainsi, on conclut que \(\vec{x}\) est dans l’espace nul de la matrice \(B\text{.}\)

(c)

Montrer que l’espace colonne du produit \(AB\) est contenu dans l’espace colonne de \(A\text{,}\) c’est-à-dire \(\mathcal{C}(AB)\subseteq \mathcal{C}(A)\text{.}\)

Solution.

On prend un vecteur \(\vec{c}\) dans l’espace colonne de la matrice \(AB\text{.}\) On veut montrer que ce vecteur est aussi dans l’espace colonne de la matrice \(A\text{,}\) c’est-à-dire qu’il existe \(\vec{x}\in\mathbb{R}^n\) tel que \(A\vec{x}=\vec{c}\text{.}\) Si \(\vec{c}\) est dans l’espace colonne de la matrice \(AB\text{,}\) alors il existe \(\vec{y}\in \mathbb{R}^p\) pour lequel \(AB\vec{y}=\vec{c}\text{.}\) On pose \(\vec{x}=B\vec{y}\text{.}\) Alors \(\vec{x}\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^n\text{,}\) car \(B\) est une matrice \(n\times p\text{.}\) De plus, on a l’équation \(\vec{c}=AB\vec{y}=A\vec{x}\text{,}\) ce qui montre que \(\vec{c}\in\mathcal{C}(A)\text{.}\)

(d)

Montrer que \(\mathcal{C}(AB)=\mathcal{C}(A)\) si \(B\) est une matrice carrée inversible.

Utiliser l’exercice Tâche 5.3.4.10.c et la proposition Proposition 5.2.27.

Solution.

Soit \(r\text{,}\) le rang de la matrice \(A\text{.}\) Selon l’exercice Tâche 5.3.4.10.c, on a \(\mathcal{C}(AB)\subseteq \mathcal{C}(A)\text{.}\) Comme le rang correspond à la dimension de l’espace colonne, on obtient selon la proposition Proposition 5.2.27 \(rg(AB)\leq r=rg(A)\text{.}\) Puisque \(rg(AB)\leq rg(A)\) et \(rg(AB)\leq rg(B)\text{,}\) on doit avoir \(rg(AB)\leq \min(rg(A),rg(B))\text{.}\)

(d)

Montrer que si \(B\) est une matrice carrée inversible, alors \(rg(AB)=rg(A)\text{.}\)

Indice.

Utiliser l’exercice Tâche 5.3.4.10.d.

Solution.

Selon l’exercice Tâche 5.3.4.10.d, si la matrice \(B\) est inversible, alors \(\mathcal{C}(AB)=\mathcal{C}(A)\text{.}\) Il s’ensuit donc de cet exercice que dans ce cas, \(rg(AB)=rg(A)\text{.}\)

12.

À l’exercice Exercice 2.2.3.4, on a montré que si \(AB=O\text{,}\) alors il n’est pas nécessaire que \(A\) ou \(B\) soit la matrice nulle (contrairement aux nombres réels). Dans cet exercice, on donne une condition nécessaire et suffisante sur les matrices \(A,B\) pour avoir un produit nul.

(a)

Soit \(A,B\text{,}\) des matrices de formats appropriés. Montrer que \(AB=O\) si et seulement si \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{.}\)

Solution.

On doit montrer les deux directions de cette double implication. On commence par montrer que si \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{,}\) alors \(AB=O\text{.}\) Intuitivement, cela signifie que si l’image de la matrice \(B\) est inclus dans l’espace nul de la matrice \(A\text{,}\) alors le produit sera nul. En fait, ce sont seulement les colonnes de \(B\) qui doivent faire partie de l’espace nul de \(A\text{,}\) puisque le produit \(AB\) peut être vu comme une matrice dont les colonnes sont données par les produits matrice vecteur pour chaque colonne de la matrice \(B\) (voir la définition Définition 2.2.1).

Plus concrètement, si l’on a des matrices \(A,B\) telles que \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{,}\) alors, en vertu de la définition Définition 2.2.1, on a

\begin{align*} AB&=\begin{pmatrix} \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ A\vec{b}_1 & A\vec{b}_2 &\cdots & A\vec{b}_n \\ \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ \vec{0} & \vec{0} &\cdots & \vec{0} \\ \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ \end{pmatrix}\\ &=O\text{.} \end{align*}

À l’inverse, si l’on commence avec une matrice dont le produit \(AB=O\text{,}\) on souhaite montrer que l’espace colonne de \(B\) est inclus dans l’espace nul de \(A\text{.}\) Puisque \(O=AB=\begin{pmatrix} \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ A\vec{b}_1 & A\vec{b}_2 &\cdots & A\vec{b}_n \\ \lvert & \lvert & \cdots & \lvert \\ \end{pmatrix}\text{,}\) on conclut que, pour chaque colonne du produit, on a \(A\vec{b}_j=\vec{0}\text{.}\) Cela signifie que toutes les colonnes de la matrice \(B\) sont dans l’espace nul de la matrice \(A\text{.}\) Puisque \(\mathcal{C}(B)=\vspan(\vec{b}_1,\vec{b}_2,\ldots ,\vec{b}_p)\) et que le produit matrice vecteur est linéaire, toute combinaison linéaire des colonnes de \(B\) sera aussi dans l’espace nul de \(A\text{.}\) On a donc \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{.}\)

(b)

Si \(A,B\) sont deux matrices de taille \(3\times 3\) et de rang \(2\text{,}\) est-ce qu’il est possible que \(AB=O\text{?}\)

Réponse.

Non

Solution.

Si la matrice \(B\) est de rang \(2\text{,}\) alors son espace colonne est de dimension \(2\text{.}\) Si la matrice \(A\) est aussi de rang \(2\text{,}\) alors son espace nul est de dimension \(3-2=1\text{.}\) Comme on ne peut avoir un espace de dimension \(2\) inclus dans un espace de dimension \(1\text{,}\) on ne peut avoir \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{,}\) qui est équivalent au produit \(AB=O\text{.}\)

(c)

Si \(A,B\) sont deux matrices de taille \(5\times 5\) et de rang \(2\text{,}\) est-ce qu’il est possible que \(AB=O\text{?}\)

Réponse.

Oui

Solution.

Si la matrice \(B\) est de rang \(2\text{,}\) alors son espace colonne est de dimension \(2\text{.}\) Si la matrice \(A\) est aussi de rang \(2\text{,}\) alors son espace nul est de dimension \(5-2=3\text{.}\) Comme on peut avoir un espace de dimension \(2\) inclus dans un espace de dimension \(3\text{,}\) il est possible que \(\mathcal{C}(B)\subseteq \mathcal{N}(A)\text{,}\) qui est équivalent au produit \(AB=O\text{.}\)

(d)

Donner deux matrices \(3\times 3\) de rang \(1\) pour lesquelles \(AB=O\text{.}\)

Réponse.

Plusieurs réponses sont possibles.

Solution.

Pour que le produit soit \(O\text{,}\) il faut que l’espace colonne de \(B\) soit inclus dans l’espace nul de la matrice \(A\text{.}\) On commence avec une matrice \(A\) de rang \(1\) arbitraire. Pour cela, il suffit que les lignes soient parallèles. On pose

\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1& 1&1\\ 1& 1&1\\ \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Géométriquement, l’espace ligne de cette matrice est une droite de vecteur directeur \((1,1,1)\text{.}\) L’espace nul est donc un plan de vecteur normal \((1,1,1)\text{.}\) Pour que l’espace colonne de la matrice \(B\) soit inclus dans cet espace nul, il suffit de prendre comme colonne un vecteur du plan \(x+y+z=0\text{.}\) Le vecteur \((1,-1,0)\) fera l’affaire. On pose alors

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&-1&-1&\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

On vérifie avec Sage que le produit de ces matrices donne bien la matrice nulle et qu’elles sont de rang 1.

13.

Soit \(A\text{,}\) une matrice quelconque de taille \(m\times n\text{.}\)

(a)

Montrer que \(\mathcal{N}(A^TA)=\mathcal{N}(A)\text{.}\)

Indice.

Une partie du travail est accompli par l’exercice Tâche 5.3.4.10.a, pour l’autre partie, montrer que \(A\vec{x}\) est à la fois dans \(\mathcal{C}(A)\) et \(\mathcal{N}(A^T)\text{.}\) Qu’est-ce que cela signifie?

Solution.

En vertu de l’exercice Tâche 5.3.4.10.a, on sait déjà que \(\mathcal{N}(A^TA)\supseteq\mathcal{N}(A)\text{.}\) Comme la matrice \(A\) n’est pas nécessairement carrée et inversible, on ne peut pas utiliser l’exercice Tâche 5.3.4.10.d pour conclure. Il faut montrer que si l’on a un vecteur dans \(\mathcal{N}(A^TA)\text{,}\) alors ce vecteur est aussi dans \(\mathcal{N}(A)\text{.}\)

On prend donc un vecteur \(\vec{x}\) dans \(\mathcal{N}(A^TA)\) et l’on s’intéresse au produit \(A\vec{x}\text{.}\) Par définition, le vecteur \(A\vec{x}\) est dans l’espace colonne de la matrice \(A\text{.}\) De plus, puisque \(\vec{x}\in \mathcal{N}(A^TA)\text{,}\) on a \(\vec{0}=A^TA\vec{x}=A^T(A\vec{x})\text{.}\) Ceci signifie que le vecteur \(A\vec{x}\) est dans l’espace nul de la matrice \(A^T\text{.}\) Comme l’espace nul de la matrice \(A^T\) est par définition l’espace nul gauche de la matrice \(A\text{,}\) on conclut que le vecteur \(A\vec{x}\) est à la fois dans l’espace colonne de \(A\) et dans son espace nul gauche. Puisque ces deux espaces sont orthogonaux selon le Théorème fondamental de l’algèbre linéaire, le seul vecteur qui peut être simultanément dans ces deux espaces est le vecteur nul. On a donc \(A\vec{x}=\vec{0}\text{,}\) ce qui signifie que \(\vec{x}\in\mathcal{N}(A)\text{.}\)

(b)

Montrer que \(rg(A^TA)=rg(A)\text{.}\)

Solution.

Soit \(r\text{,}\) le rang de \(A\) et \(n-r\text{,}\) la dimension de l’espace nul de \(A\text{.}\) En vertu de la partie précédente, c’est aussi la dimension de \(\mathcal{N}(A^TA)\text{.}\) On note que la matrice \(A^TA\) est de taille \(n\times n\) Selon le théorème fondamental, la dimension de l’espace ligne de la matrice \(A^TA\) sera aussi de \(r\) puisqu’on doit avoir \(\text{dim}(\mathcal{L}(A^TA))+\text{dim}(\mathcal{N}(A^TA))=n\text{.}\) Ainsi, le rang de \(A^TA\) est égal à celui de \(A\text{.}\)

(c)

Montrer que \(\mathcal{C}(A^TA)=\mathcal{C}(A^T)\text{.}\)

Solution.

Dans un premier temps, l’espace nul de la matrice \(A\) correspond à l’espace nul gauche de la transposée \(A^T\text{.}\) On a donc \((\mathcal{N}(A))^{\perp}=\mathcal{C}(A^T)\) De plus, puisque la matrice \(A^TA\) est symétrique (voir l’exercice Exercice 3.4.3.6, en particulier la deuxième partie) et que \((A^TA)^T=A^TA\text{,}\) on a que l’espace nul gauche et l’espace nul de \(A^TA\) sont égaux. Cela entraine que \(\mathcal{L}(A^TA)=\mathcal{C}(A^TA)\text{.}\) Selon la première partie de cet exercice, \(\mathcal{N}(A^TA)=\mathcal{N}(A)\text{,}\) ce qui entraine par le théorème fondamental que \(\mathcal{L}(A^TA)=\mathcal{L}(A)\text{.}\) En vertu des remarques précédentes, on a

\begin{align*} \mathcal{C}(A^TA)&=(\mathcal{L}(A^TA))\\ &=(\mathcal{L}(A))\\ &=(\mathcal{C}(A^T)) &\text{ par définition}\text{.} \end{align*}

14.

On considère une matrice carrée \(A\) de taille \(n\times n\) telle que \(A^2=A\text{.}\)

(a)

Montrer que \(\mathcal{C}(A)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n~|~ A\vec{v}=\vec{v}\}\text{.}\)

Solution.

Par définition, l’espace colonne est l’ensemble des vecteurs \(\vec{v}\in\mathbb{R}^n\) pour lesquels il existe un vecteur \(\vec{u}\in\mathbb{R}^n\) tel que

\begin{equation*} A\vec{u}=\vec{v}\text{.} \end{equation*}

En multipliant chaque côté de cette équation par \(A\text{,}\) on trouve \(A^2\vec{u}=A\vec{v}\text{,}\) mais comme \(A^2=A\text{,}\) l’équation devient \(A\vec{u}=A\vec{v}\text{.}\) Puisque \(A\vec{u}=\vec{v}\) par hypothèse, on a \(\vec{v}=A\vec{v}\text{.}\) Tous les vecteurs dans l’espace colonne doivent donc satisfaire cette propriété.

(b)

Montrer que \(\mathcal{N}(A)=\mathcal{C}(I-A)\text{.}\)

Solution.

On montre l’égalité entre ces deux ensembles en utilisant un argument d’inclusion. D’une part, si \(\vec{v}\in \mathcal{N}(A)\text{,}\) alors \(A\vec{v}=\vec{0}\text{.}\) On a

Énoncer une condition sur \(A\) pour que \(AA^T=I_m\text{.}\)

Si \(A\) est une matrice de taille \(m\times n\) et de rang \(m\text{,}\) montrer que \(A^{-1}_{\text{droite}}=A^T(AA^T)^{-1}\) est un inverse à droite.

Solution.

Il suffit de calculer le produit \(AA^{-1}_{\text{droite}}\text{:}\)

\begin{align*} AA^{-1}_{\text{droite}}&=AA^T(AA^T)^{-1}\\ &=(AA^T)(AA^T)^{-1}& \text{ par associativité}\\ &=I\text{.} \end{align*}

(e)

Si \(A\) est une matrice de taille \(m\times n\) et de rang \(n\text{,}\) montrer que \(A^{-1}_{\text{gauche}}=(A^TA)^{-1}A^T\) est un inverse à gauche.

Solution.

Il suffit de calculer le produit \((A^TA)^{-1}A^T A\text{:}\)

\begin{align*} A^{-1}_{\text{gauche}}A&=(A^TA)^{-1}A^T A\\ &=(A^TA)^{-1}(A^T A)& \text{ par associativité}\\ &=I\text{.} \end{align*}

Exercices Sage.

Les exercices qui suivent sont conçus pour être résolus avec Sage. Des cellules vides sont disponibles pour écrire les réponses. Évidemment, il y a plusieurs manières d’arriver aux réponses.

18.

Pour déterminer une base de l’espace colonne, la proposition Proposition 5.3.4 dit qu’on doit prendre les colonnes de la matrice initiale qui correspondent aux positions pivots de sa forme échelonnée réduite. À l’exemple Calcul 3.4.12, on a utilisé la commande A.column_space().basis() pour obtenir une base de l’espace colonne de la matrice \(A\text{,}\) mais ce n’est pas la base donnée par la proposition Proposition 5.3.4. On peut construire une fonction qui retourne cette base grâce à la fonction A.pivots() qui retourne la position des colonnes pivots (si l’on avait voulu les lignes pivots, on aurait utilisé la commande A.pivots_rows()).

Construire une fonction colbase qui prend comme entrée une matrice et retourne la base de son espace colonne telle que donnée par la proposition Proposition 5.3.4. Tester avec les matrices de l’exercice Exercice 5.3.4.1.

Solution.

Bloc de code 5.3.21. La solution pour l’exercice

def colbase(A):
    L=A.pivots()
    B=[]
    for i in L:
        B.append(A.column(i))
    return B

Solution.

Puisque \(n\leq m\text{,}\) la matrice ne peut posséder qu’un inverse à gauche.

20.

Créer une fonction qui prend comme argument une matrice. La fonction retourne

Son inverse à gauche telle que donnée par la formule de l’exercice Exercice 5.3.4.17 s’il existe, ainsi que la mention « c’est un inverse à gauche »;
Son inverse à droite telle que donnée par la formule de l’exercice Exercice 5.3.4.17 s’il existe, ainsi que la mention « c’est un inverse à droite »;
Son inverse si la matrice est carrée et inversible;
La chaine de caractère La matrice ne possède pas d'inverse dans les autres cas.

Solution.

Bloc de code 5.3.22. Le code solution de l’exercice

def matinverse(A):
    m=len(A.rows())
    n=len(A.columns())
    r=A.rank()
    if r!=min(m,n):
        print("La matrice ne possède pas d'inverse")
    elif m==n:
        print("La matrice est inversible")
        return A.inverse()
    elif m<n:
        print("C'est un inverse à droite")
        AT=A.transpose()
        AATinv=(A*AT).inverse()
        return AT*AATinv
    elif n<m:
        print("C'est un inverse à gauche")
        AT=A.transpose()
        ATAinv=(AT*A).inverse()
        return ATAinv*AT

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