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Algèbre linéaire: Intuition et rigueur

Jean-Sébastien Turcotte, Philémon Turcotte

Section 4.1 Le déterminant \(2\times 2\)

Aller aux exercices 4.1.4 de la section.
Dans un premier temps, on examine les transformations linéaires dans le plan \(\R^2\text{.}\) Si l’on considère le carré unité formé des vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\text{,}\) celui-ci est transformé en un parallélogramme (qui peut être comprimé en une ligne ou un point à l’origine) engendré par les vecteurs \(T(1,0)\) et \(T(0,1)\text{.}\) Comment est l’aire de ce parallélogramme par rapport au carré unité?
Dans cette section, on définit le déterminant d’une transformation de \(\R^2\text{.}\) On calcule des déterminants pour des transformations connues et l’on étudie les propriétés du déterminant. On regarde la notion d’orientation d’un repère et l’on donne la formule pour le calcul du déterminant d’une matrice \(2\times 2\text{.}\)

Sous-section 4.1.1 Le facteur de changement d’aire

On commence cette sous-section en regardant différentes transformations du plan et en analysant l’effet sur l’aire du carré unité transformé.

Exemple 4.1.1. Le déterminant de transformations géométriques.

On s’intéresse aux quatre transformations suivantes du plan:
\begin{align*} Eh_r=\begin{pmatrix} r&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\\ Ch_k=\begin{pmatrix} 1& k\\ 0& 1 \end{pmatrix}\\ P=\matcold{1}{1}{1}{1}\\ T=\matcold{1}{2}{-1}{3}\text{.} \end{align*}
La première transformation représente un étirement horizontal de facteur \(r\text{,}\) la seconde est un cisaillement horizontal de facteur \(k\text{,}\) la troisième représente une projection sur le vecteur \((1,1)\) et, finalement, la dernière est une transformation quelconque.
On cherche à évaluer l’impact de ces transformations sur l’aire des figures transformées. La figure interactive 4.1.2 permet de manipuler les transformations.
Instructions.
Instruction pour la figure interactive: Un clic sur l’un des quatre boutons montrera l’effet de la transformation sur le carré unité. L’aire du résultat apparaitra également. Pour les transformations \(Eh_r\) et \(Ch_k\text{,}\) des curseurs apparaitront afin de changer la valeur des paramètres respectifs. Finalement, il est possible de modifier le carré unité pour constater l’effet sur une autre figure.
Figure 4.1.2. Le facteur de changement d’aire pour quatre transformations
On constate que, pour un étirement de facteur \(r\text{,}\) l’aire est aussi multipliée par un facteur \(r\text{.}\) Dans le cas du cisaillement, le facteur \(k\) ne semble pas avoir d’impact sur l’aire de la figure transformée, qui reste égale à l’aire de la figure originale.
Dans le cas de la projection, il n’y a plus d’aire. La figure est envoyée complètement sur la droite \(y=x\text{.}\) Finalement, l’aire de la figure transformée par la matrice \(T\) semble être \(5\) fois l’aire de la figure originale.
On pourra bientôt comprendre d’où vient ce facteur \(5\text{.}\)
Soit \(T=\matcold{a}{b}{c}{d}\text{,}\) une transformation linéaire. Si \((a,b)\neq k(c,d)\text{,}\) l’image des vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) est un parallélogramme, comme illustré ci-dessous.
Figure 4.1.3. L’aire d’un parallélogramme
L’aire de ce parallélogramme peut se calculer ainsi:
  1. On prend l’aire du grand rectangle de côtés \(a+c\) et \(b+d\text{,}\) ce qui donne \((a+c)(b+d)=ab+ad+cb+cd\text{.}\)
  2. On soustrait l’aire des rectangles de côtés \(b,c\text{,}\) en jaune sur la figure 4.1.3. Comme il y en a deux, on soustrait \(2bc\text{.}\)
  3. On soustrait ensuite l’aire des triangles rectangles de côtés \(a,b\text{,}\) en vert sur la figure 4.1.3. Comme il y en a deux, on soustrait \(ab\text{.}\)
  4. Finalement, on soustrait l’aire des triangles rectangles de côtés \(c,d\text{,}\) en rouge sur la figure 4.1.3. Comme il y en a deux, on soustrait \(cd\text{.}\)
L’aire du parallélogramme est donc
\begin{equation*} ab+ad+bc+cd-2bc-ab-cd=ad-bc\text{.} \end{equation*}
Ce terme devrait être familier. C’est le même terme que l’on a vu dans la section 2.3 pour qu’une matrice \(2\times 2\) soit inversible. En y réfléchissant, on peut se convaincre du lien entre l’apparition de ce terme dans le calcul de l’aire du parallélogramme et la nécessité de sa présence pour qu’une matrice soit inversible, sachant que si \(ad-bc=0\text{,}\) alors l’aire du parallélogramme est nulle et que l’on a plutôt une droite ou un point. La solution à « l’inverse » de la projection orthogonale, à l’exemple 2.3.3, fournit une explication à l’impossibilité d’avoir un inverse si l’image de la transformation dans \(\R^2\) est une droite.

Exemple 4.1.4. D’autres déterminants de taille \(2\times 2\).

On considère les quatre matrices suivantes.
\begin{align*} I=\matcold{1}{0}{0}{1}\\ A=\begin{pmatrix}1&4 \\ -2 & -8\end{pmatrix}\\ B=\matcold{1}{-2}{3}{4}\\ C=\matcold{3}{4}{1}{-2} \end{align*}
On cherche le déterminant de ces quatre matrices.
Solution 1.
La matrice identité est la transformation qui ne change rien. Intuitivement, on devrait avoir un déterminant égal à un puisqu’il n’y a pas de changement d’aire. Puisque \(a=d=1\) et \(b=c=0\text{,}\) on a bel et bien \(ad-bc=1\text{.}\) Évidemment, géométriquement, l’aire du parallélogramme correspond simplement à l’aire du carré unité.
Solution 2.
L’effet de la transformation sur les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) est illustré à la figure ci-dessous.
Figure 4.1.5. L’effet de la transformation \(A\)
Puisque le carré unité est transformé en une droite, on s’attend à ce que le déterminant soit \(0\text{.}\) On a en effet \(ad-bc=1*(-8)-(-2)*4=0\text{.}\)
Solution 3.
Les transformations \(B\) et \(C\) envoient le carré unité sur le même parallélogramme, soit celui qui est engendré par les vecteurs \((1,-2)\) et \((3,4)\text{.}\) Dans le cas de la transformation \(B\text{,}\) c’est le vecteur \((1,0)\) qui est envoyé sur \((1,-2)\) et \((0,1)\) est, quant à lui, envoyé sur \((3,4)\text{,}\) alors que dans le cas de la transformation \(C\text{,}\) c’est le contraire qui se produit.
D’un point de vue géométrique, on s’attend donc à ce que le déterminant de ces deux matrices soit le même. Pourtant, d’un point de vue algébrique, on a pour \(B\) que \(ad-bc=1*4-(-2)*3=10\) et pour \(C\text{,}\) on a que \(ad-bc=3(-2)-4*1=-10\text{.}\) L’argument de l’aire fait avec la figure 4.1.3 contient certainement une lacune, que l’on considère à l’instant.
L’exemple précédent a montré que la formule pour le calcul de l’aire du parallélogramme \(Aire=ad-bc\) peut donner un résultat négatif. Heureusement, l’exercice 4.1.4.3 montre que dans ce cas, l’aire est \(bc-ad=-(ad-bc)\text{.}\) À ce stade-ci, on peut donc modifier la formule, dire que l’aire est \(\abs{ad-bc}\) et en rester là ou tenter de donner un sens au signe négatif. On choisit cette dernière option.
On imagine le carré unité formé des points \(A(0,0),B(1,0),C(1,1)\) et \(D(0,1)\text{.}\) On peut remarquer que ces points apparaissent dans l’ordre lorsqu’on parcourt le carré dans le sens antihoraire.
Figure 4.1.6. Le carré unité
En utilisant la figure interactive 4.1.7, regarder comment la position relative des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) peut changer l’orientation des quatre points \(A',B',C'\) et \(D'\text{.}\)

Instructions.

Instructions pour la figure interactive: Il est possible de déplacer l’extrémité des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) en déplaçant les points \(A',D'\text{.}\) Regarder ce qui se passe pour l’orientation des quatre points \(A',B',C',D'\) lorsque l’orientation relative de \(\vec{u}\) par rapport à \(\vec{v}\) change.
Figure 4.1.7. L’aire d’un parallélogramme, revisité

Sous-section 4.1.2 Définition du déterminant

Lorsqu’on parle du vecteur \(\vec{u}=(3,2)\) dans le plan, il est sous-entendu que ce vecteur est \(\vec{u}=3(1,0)+2(0,1)\text{.}\) La décomposition du vecteur \((3,2)\) selon les vecteurs \((1,0),(0,1)\) dépend du vecteur choisi pour être le « premier » et du vecteur choisi pour être le « second ». Par convention, on aurait pu ordonner les vecteurs selon l’ordre \((0,1),(1,0)\text{.}\) Ainsi, le vecteur \(\vec{u}\) aurait été \(\vec{u}=(2,3)\text{,}\) toujours selon cette convention.
Ces subtilités reviendront dans la section 5.2, mais pour le moment, on se contente de définir l’orientation de deux vecteurs non parallèles dans \(\R^2\text{.}\)

Définition 4.1.8. L’orientation dans \(\R^2\).

Soit \(\vec{u},\vec{v}\text{,}\) deux vecteurs non parallèles de \(\R^2\text{.}\) On note \(\mathcal{B}=\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\text{,}\) le repère formé dans l’ordre des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On dit que \(\mathcal{B}\) est orienté positivement si la rotation antihoraire qui amène \(\hat{u}\) sur \(\hat{v}\) a un angle \(0<\theta < \pi\text{.}\) Sinon, le repère est orienté négativement.
Voici quelques exemples de repères \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) et leur orientation.
Figure 4.1.9. Un repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) et son orientation
Figure 4.1.10. Un repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) et son orientation
Figure 4.1.11. Un repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) et son orientation
Figure 4.1.12. Un repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) et son orientation
On va associer au signe du déterminant l’orientation (positive ou négative) du repère formé des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On verra à la proposition 4.1.17 que le signe du déterminant concorde avec le signe de l’orientation.
Pour le moment, on cherche à donner une définition axiomatique du déterminant. Cette définition sera utile à la section 4.2 lorsque la géométrie sera plus difficile à interpréter. Avec les observations que l’on a jusqu’à maintenant, il semble plausible de dire que le déterminant d’une matrice devrait satisfaire les propriétés suivantes:
  • Le déterminant de l’identité est égal à \(1\text{,}\) car la transformation ne change pas l’aire des régions.
  • Le déterminant d’un étirement de facteur \(r\) horizontal ou vertical est égal à \(r\text{,}\) car le carré unité devient un rectangle \(r\times 1\) ou \(1\times r\text{.}\)
  • Si \(A=\begin{pmatrix} \lvert & \rvert \\ \vec{u} & \vec{v}\\ \lvert & \rvert \end{pmatrix} \) et \(B=\begin{pmatrix} \lvert & \rvert \\ \vec{v} & \vec{u}\\ \lvert & \rvert \end{pmatrix}\text{,}\) alors les déterminants de \(A\) et de \(B\) devraient être de signes opposés, mais égaux en valeur absolue, car il n’y a que l’orientation des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) qui change.
Il se trouve toutefois que ces trois propriétés ne sont pas suffisantes pour caractériser uniquement ce qu’on cherche. Plusieurs options pourraient être utilisées afin d’arriver à une définition complète du déterminant. La propriété manquante trouve son inspiration de l’exemple 4.1.1 et de la matrice de cisaillement. On peut voir cette matrice comme étant
\begin{equation*} Ch_k=\begin{pmatrix} 1& k\\ 0& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lvert&\rvert \\ \vec{e}_1&\vec{e}_2 + k\vec{e}_1\\ \lvert& \rvert \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
La géométrie du cisaillement montre que le déterminant est \(1\text{,}\) car l’aire d’un parallélogramme est aussi la longueur de la base multipliée par la hauteur. La figure 4.1.2 permet d’observer que la hauteur et la base ne changent pas pour le parallélogramme ainsi obtenu. On peut maintenant définir la notion de déterminant d’une matrice.

Définition 4.1.13. Le déterminant d’une matrice.

Soit \(A=\begin{pmatrix} a& c\\ b& d\end{pmatrix}\text{,}\) une matrice \(2\times 2\text{.}\) On note \(\vec{u}=\vecd{a}{b}\) et \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\text{.}\) Le déterminant de la matrice \(A\) est un scalaire, noté
\begin{equation*} \det(A)=\begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}=\det(\vec{u},\vec{v})=\Delta(\vec{u},\vec{v})\text{,} \end{equation*}
qui satisfait les quatre propriétés suivantes:
Liste 4.1.14. Propriétés à satisfaire
  1. Si \(A=I\text{,}\) alors \(\det(A)=\det(I)=1\text{;}\)
  2. \(\det(r\vec{u},\vec{v})=\det(\vec{u},r\vec{v})=r\det(\vec{u},\vec{v})=r\det(A)\text{;}\)
  3. \(\det(\vec{v},\vec{u})=-\det(\vec{u},\vec{v})\text{;}\)
  4. \(\det(\vec{u},\vec{v}+k\vec{u})=\det(\vec{u}+k\vec{v},\vec{v})=\det(\vec{u},\vec{v})=\det(A)\text{.}\)
On fait maintenant quelques remarques sur la définition du déterminant.

Remarque 4.1.15. Précisions sur le déterminant.

La définition du déterminant utilise plusieurs notations. On utilisera principalement la forme
\begin{equation*} \det(A)=\begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}=\det(\vec{u},\vec{v})\text{.} \end{equation*}
Si le nombre en tant que tel est important, on privilégiera \(\det(A)\text{,}\) alors que s’il est pratique de voir les entrées de la matrice ou si l’on fait un calcul, on utilisera \(\begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}\text{.}\) La notation \(\det(\vec{u},\vec{v})\) sera surtout utile dans les démonstrations des propriétés du déterminant.
Les trois propriétés autres que le déterminant de l’identité rappellent d’une certaine façon les opérations élémentaires, bien que les propriétés définissant le déterminant s’appliquent sur les colonnes. On verra avec la proposition 4.1.23 qu’il y a équivalence entre les lignes et les colonnes pour le déterminant et que cette observation est justifiée.
On va maintenant réconcilier la définition 4.1.13 avec le facteur de changement d’aire de la section 4.1.1. Pour cela, on aura besoin d’une propriété additionnelle des déterminants qui se déduit de la définition.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que \(\det(\vec{u},\vec{0})=\det(\vec{u},0*\vec{0})=0*\det(\vec{u},\vec{0})=0\text{.}\) On a évidemment aussi \(\det(\vec{0},\vec{u})=0\text{.}\)
Et maintenant, pour relier déterminant et facteur de changement d’aire, on a la proposition suivante.

Démonstration.

La démonstration se fait en deux parties. D’une part, si l’on arrive à montrer, à partir des propriétés, que \(\det(A)=ad-bc\text{,}\) alors on saura que l’aire est donnée par la valeur absolue du déterminant. D’autre part, si l’on montre que le signe du déterminant est positif lorsque le repère est orienté positivement et négatif si le repère est orienté négativement, on complètera la preuve.
Soit \(A=\matcold{a}{b}{c}{d}\text{.}\) On suppose d’abord que \(a\neq 0\text{.}\) On a alors
\begin{align*} \begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}&=a\begin{vmatrix} 1& c\\ \frac{b}{a}& d \end{vmatrix} & &\text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2.html}{\text{4.1.14:2}}\\ &=a\begin{vmatrix} 1& 0\\ \frac{b}{a}& d-\frac{bc}{a} \end{vmatrix} & &\text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detk2x2.html}{\text{4.1.14:4}}\\ &=a\begin{vmatrix} 1& 0\\ \frac{b}{a}& \frac{ad-bc}{a} \end{vmatrix} \text{.} \end{align*}
Si \(ad-bc=0\text{,}\) alors on a une colonne nulle et donc, \(\det(A)=0\) en vertu de la propriété 4.1.25:6. De plus, \(ad-bc=0\) implique que l’aire du parallélogramme est nulle. Dans ce cas, le déterminant et l’aire coïncident . Toutefois, si \(ad-bc\neq 0\text{,}\) alors on peut soustraire à la colonne \(1\) le multiple \(\frac{b}{ad-bc}\) de la colonne \(2\) pour obtenir
\begin{align*} a\begin{vmatrix} 1& 0\\ \frac{b}{a}& \frac{ad-bc}{a} \end{vmatrix}&=a\begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& \frac{ad-bc}{a} \end{vmatrix}& & \text{ selon } \knowl{./knowl/xref/li-detk2x2.html}{\text{4.1.14:4}} \\\ &=(ad-bc)\begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{vmatrix} && \text{ selon } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2.html}{\text{4.1.14:2}}\\ &=ad-bc && \text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detI2x2.html}{\text{4.1.14:1}}\text{.} \end{align*}
Dans ce cas, on a bel et bien \(\abs{\det(A)}=\abs{ad-bc}\) égale à l’aire du parallélogramme. Il reste donc le cas \(a=0\text{.}\) On a alors
\begin{align*} \begin{vmatrix} 0& c\\ b& d \end{vmatrix}&=-\begin{vmatrix} c& 0\\ d& b \end{vmatrix}&& \text{ selon } \knowl{./knowl/xref/li-detp2x2.html}{\text{4.1.14:3}} \text{.} \end{align*}
Encore une fois, si \(b=0\text{,}\) on a une colonne nulle et l’argument ci-haut implique que le déterminant et \(ad-bc\) sont nuls. Toutefois, si \(b\) n’est pas nul, on peut soustraire à la colonne \(1\) le multiple \(\frac{d}{b}\) pour avoir
\begin{align*} -\begin{vmatrix} c& 0\\ d& b \end{vmatrix}&=-\begin{vmatrix} c& 0\\ 0& b \end{vmatrix}&&\text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detk2x2.html}{\text{4.1.14:4}}\\ &=-bc\begin{vmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{vmatrix} && \text{ selon deux applications de } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2.html}{\text{4.1.14:2}}\\ &=-bc && \text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detI2x2.html}{\text{4.1.14:1}}\text{.} \end{align*}
On a donc aussi que \(\abs{det(A)}=\abs{-bc}\) est égal à l’aire du parallélogramme. Ceci complète la première partie de la démonstration.
On va maintenant montrer que le signe du déterminant et l’orientation du repère \(\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle\) vont ensemble.
Si \(\det(A)=ad-bc>0\text{,}\) alors on est dans la situation de la figure 4.1.3. L’orientation est positive. Si inversement le repère \(\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=\langle(a,b), (c,d)\rangle\) est orienté positivement, alors il existe \(0<\theta<\pi\) tel que \(\vec{v}\) est parallèle à \(R_{\theta}\vec{u}\text{.}\) En fait, en travaillant avec des vecteurs unitaires \(\hat{u}=(u_1,u_2),\hat{v}=(v_1,v_2)\text{,}\) on a \(\hat{v}=R_{\theta}\hat{u}\text{.}\) On calcule le déterminant des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\text{.}\)
\begin{align} \det(\vec{u},\vec{v})&=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\det(\hat{u},\hat{v})&&\text{selon deux applications de } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2.html}{\text{4.1.14:2}}\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\det(\hat{u},R_{\theta}\hat{u})\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\begin{vmatrix} u_1 & \cos(\theta)u_1-\sin(\theta)u_2 \\ u_2 & \sin(\theta)u_1+\cos(\theta)u_2 \end{vmatrix} && \text{ selon le produit } \hat{v}=R_{\theta}\hat{u}\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\begin{vmatrix} u_1 & \cos(\theta)u_1-\sin(\theta)u_2 \\ u_2 & \cos(\theta)u_2+\sin(\theta)u_1 \end{vmatrix}&& \text{ en réordonnant le terme } a_{2,2}\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\begin{vmatrix} u_1 & -\sin(\theta)u_2 \\ u_2 & \sin(\theta)u_1\end{vmatrix}&& \text{selon } \knowl{./knowl/xref/li-detk2x2.html}{\text{4.1.14:4}}\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\sin(\theta)(u_1^2+u_2^2)&&\text{selon la formule du déterminant } ad-bc\notag\\ &=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\sin(\theta)\text{.}\tag{4.1.1} \end{align}
Comme le signe du déterminant est entièrement déterminé par le signe de \(\sin(\theta)\) (les normes étant positives) et que celui-ci est positif lorsque \(0<\theta<\pi\text{,}\) on conclut que le déterminant est aussi positif.
Un argument similaire montre que l’orientation négative du repère coïncide avec le signe négatif du déterminant.
On regarde maintenant quelques exemples de calculs et d’applications des déterminants.

Exemple 4.1.18. L’aire d’un triangle.

Soit \(A(1,3),B(2,-1)\) et \(C(4,5)\text{,}\) trois points définissant un triangle dans \(\R^2\text{.}\) On cherche l’aire du triangle \(ABC\text{.}\)
La stratégie usuelle pour trouver l’aire d’un triangle est de faire le produit de la base par la hauteur et de diviser par deux. On peut faire plus efficacement avec un déterminant.
Solution.
On considère le parallélogramme engendré par les vecteurs \(\vecl{AB}\) et \(\vecl{AC}\text{.}\) L’aire du triangle \(ABC\) correspond à exactement la moitié de l’aire du parallélogramme. Ainsi,
\begin{align*} Aire(ABC)&=\frac{1}{2}\det(\vecl{AB},\vecl{AC})\\ &=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &3 \\ -4 & 2\end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{2}(1*2-(-4)*3)\\ &=7\text{.} \end{align*}
On revient sur un concept introduit à l’exercice 3.3.4.1. On y reviendra à nouveau dans la prochaine section.

Exemple 4.1.19. Le produit vectoriel.

À l’exercice 3.3.4.1, on a introduit le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\in \R^3\) comme étant un vecteur \(\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}\) qui est à la fois perpendiculaire à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\text{.}\) Géométriquement, ce vecteur est un vecteur normal du plan engendré par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On montre que le produit vectoriel, tel que défini à l’exercice 3.3.4.1, peut s’écrire comme
\begin{equation} \vec{u}\times\vec{v}=\left(\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix}\right)\tag{4.1.2} \end{equation}
Solution.
Il suffit de développer chaque déterminant et de comparer avec le vecteur\(\vec{w}=(-u_{3} v_{2} + u_{2} v_{3},\,u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3},\,-u_{2} v_{1} + u_{1} v_{2})\) de l’exercice 3.3.4.1. On a
\begin{align*} \left(\begin{vmatrix} u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{vmatrix}\right)&= (u_2v_3-u_3v_2,-(u_1v_3-u_3v_1),u_1v_2-u_2v_1)\text{.} \end{align*}
On a bel et bien l’égalité. Cet exemple propose un moyen simple de trouver un vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs dans \(\R^3\text{,}\) qui requiert le calcul de trois déterminants. En regardant composante par composante le vecteur produit vectoriel de l’équation (4.1.2), on peut s’imaginer une matrice \(3\times 2\) contenant les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\)
\begin{equation*} M=\begin{pmatrix}u_1& v_1\\ u_2&v_2\\u_3&v_3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Pour obtenir la composante \(i\) du produit vectoriel (\(i=1,2,3)\text{,}\) on calcule le déterminant de la matrice obtenue de \(M\) en éliminant la ligne \(i\text{.}\) On doit se rappeler qu’il faut changer le signe de la seconde composante. On aura une explication plus détaillée dans la prochaine section.
On termine avec des commandes Sage en lien avec la sous-section.

Calcul 4.1.20. Les déterminants et Sage.

Avec Sage, pour calculer le déterminant d’une matrice carrée \(A\text{,}\) il suffit d’utiliser la commande A.determinant().
On peut aussi calculer le produit vectoriel de deux vecteurs avec la commande u.cross_product(v).

Sous-section 4.1.3 Propriétés du déterminant

Dans cette sous-section, on énonce quelques propriétés des déterminants. On énoncera à nouveau et l’on démontrera ces résultats pour les déterminants de matrices \(n\times n\) dans la section suivante. Pour l’instant, on donne des arguments géométriques justifiant le cas \(2\times 2\text{.}\)
On débute avec une propriété simple, soit lorsque la matrice contient deux colonnes parallèles. Dans ce cas, le déterminant vaut zéro, car le parallélogramme engendré par les colonnes est en fait un segment de droite. En équation de déterminant, cela se traduit par
\begin{equation*} \det(\vec{u},k\vec{u})=0\text{.} \end{equation*}
Une autre propriété, plus surprenante est que
\begin{align*} \det(\vec{u}+\vec{v},\vec{w})& =\det(\vec{u},\vec{w})+\det(\vec{v},\vec{w})& & \text{ et }\\ \det(\vec{u},\vec{v}+\vec{w})& =\det(\vec{u},\vec{v})+\det(\vec{u},\vec{w})& &\text{.} \end{align*}
Les figures 4.1.21 et 4.1.22 permettent de visualiser cette propriété.

Instructions.

Instruction pour la figure interactive: Dans l’animation, les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont initialement placés afin que les déterminants \(\det(\vec{u},\vec{w})\) et \(\det(\vec{v},\vec{w}\) aient le même signe. Ainsi, l’aire (géométrique) du parallélogramme engendré par \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sera, selon la propriété, l’addition de l’aire des parallélogrammes engendrés respectivement par \(\vec{u},\vec{w}\) et \(\vec{v}\vec{w}\text{.}\) Suivre les indications et observer l’animation afin de visualiser l’addition des aires.
Figure 4.1.21. Les déterminants lorsqu’une colonne contient une addition, première version

Instructions.

Instruction pour la figure interactive: Dans l’animation, les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont initialement placés afin que les déterminants \(\det(\vec{u},\vec{w})\) et \(\det(\vec{v},\vec{w}\) soient de signes contraires. Ainsi, l’aire (géométrique) du parallélogramme engendré par \(\vec{u}+\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sera, selon la propriété, la soustraction de l’aire des parallélogrammes engendrés respectivement par \(\vec{u},\vec{w}\) et \(\vec{v}\vec{w}\text{.}\) Suivre les indications et observer l’animation afin de visualiser l’addition des aires.
Figure 4.1.22. Les déterminants lorsqu’une colonne contient une addition, deuxième version
La prochaine propriété est peut-être surprenante du point de vue algébrique, mais, vue sous l’œil des transformations linéaires, elle devient presque évidente. Elle stipule que le déterminant d’un produit est égal au produit des déterminants, à savoir
\begin{equation*} \det(AB)=\det(A)\det(B)\text{.} \end{equation*}
Puisqu’on sait que le produit de deux transformations linéaires correspond à la composition des transformations, on comprend que le facteur de changement d’aire de la composition, qui applique \(B\) et ensuite \(A\text{,}\) va d’abord changer l’aire des régions transformées d’un facteur \(\det(B)\) et ensuite d’un facteur \(\det(A)\text{.}\)
La prochaine proposition, quant à elle, se justifie difficilement géométriquement, mais elle est simple à démontrer algébriquement. Elle fait référence à la transposée d’une matrice et aura des implications importantes. On en fait une proposition formelle.

Démonstration.

Cette proposition a pour conséquence que les propriétés des déterminants, énoncées en fonction des colonnes de la matrice, sont aussi valides si l’on considère plutôt les lignes de la matrice. Par exemple, les propriétés 4.1.14 de la définition du déterminant sont valides si l’on remplace \(\vec{u}\) par \(\vec{u}{'}=(a,c)\) et \(\vec{v}\) par \(\vec{v}'=(b,d)\text{.}\) En particulier, les trois dernières peuvent être vues comme l’effet des opérations élémentaires sur le déterminant. Cet effet sera utilisé lors du calcul du déterminant pour une matrice générale à la section 4.2.
Finalement, une propriété en lien avec l’inverse, qui, dans la section 4.2, donnera la prochaine version du théorème de la matrice inverse 3.2.3.13.c.

Démonstration.

Après l’exemple 2.3.5, on avait déjà établi que la condition pour qu’une matrice \(2\times 2\) soit inversible était que \(ad-bc\neq 0\text{.}\) Puisque cela coïncide avec le déterminant, la première partie de la proposition est immédiate. L’équation (2.3.10) donne la formule pour l’inverse d’une matrice de \(\R^2\) vers \(\R^2\text{,}\) on peut alors calculer directement son résultat. En utilisant le résultat de l’exercice 4.1.4.12, on obtient
\begin{align*} \det\left(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-c\\ -b &a\end{pmatrix}\right)&=\frac{1}{(ad-bc)^2}\det\left(\begin{pmatrix}d&-c\\ -b &a\end{pmatrix}\right)\\ &=\frac{ad-bc}{(ad-bc)^2}\\ &=\frac{1}{ad-bc}\\ &=\frac{1}{\det(A)}\text{.} \end{align*}
Pour terminer, on résume les propriétés du déterminant \(2\times 2\text{,}\) incluant celles de la définition.
Liste 4.1.25. Les propriétés du déterminant
  1. Si \(A=I\text{,}\) alors \(\det(A)=\det(I)=1\text{;}\)
  2. \(\det(r\vec{u},\vec{v})=\det(\vec{u},r\vec{v})=r\det(\vec{u},\vec{v})=r\det(A)\text{;}\)
  3. \(\det(\vec{v},\vec{u})=-\det(\vec{u},\vec{v})\text{;}\)
  4. \(\det(\vec{u},\vec{v}+k\vec{u})=\det(\vec{u}+k\vec{v},\vec{v})=\det(\vec{u},\vec{v})=\det(A)\text{;}\)
  5. \(\det(\vec{u},k\vec{u})=0\text{;}\)
  6. \(\det(\vec{u},\vec{0})=\det(\vec{0},\vec{v})=0\text{;}\)
  7. \(\det(\vec{u}+\vec{v},\vec{w})=\det(\vec{u},\vec{w})+\det(\vec{v},\vec{w})\) et \(\det(\vec{u},\vec{v}+\vec{w})=\det(\vec{u},\vec{v})+\det(\vec{u},\vec{w})\text{.}\)
  8. \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\text{;}\)
  9. \(\det(A^T)=\det(A)\text{;}\)
  10. Si \(A\) est inversible, \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\) et \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A)\neq 0\text{;}\)
  11. \(\begin{vmatrix}a&c \\b&d\end{vmatrix}=ad-bc\text{.}\)
Les points importants de cette section sont:
  • La notion d’orientation dans \(\R^2\text{;}\)
  • La définition du déterminant pour une matrice \(2\times 2\text{;}\)
  • L’équivalence entre le déterminant et le facteur de changement d’aire ainsi que l’interprétation du signe du déterminant, données à la proposition 4.1.17;
  • Le produit vectoriel et son calcul par les déterminants \(2\times 2\text{;}\)

Exercices 4.1.4 Exercices

1.

Évaluer le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\) dans chacune des situations suivantes.
(a)
Figure 4.1.26. Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=7 \end{equation*}
Solution.
Il y a plusieurs façons de procéder et il est toujours possible de se servir des propriétés 4.1.25 des déterminants pour calculer et pour vérifier notre réponse. On choisit de procéder d’abord avec la formule 4.1.25:11 où \(\vec{u}=\vecd{a}{b}\) et \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\text{.}\)
On peut lire sur le graphique que \(\vec{u}=\vecd{1}{2}\) et \(\vec{v}=\vecd{-2}{3}\text{.}\)
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=\begin{vmatrix}1&-2 \\ 2&3\end{vmatrix}=1*3-2*(-2)=7 \end{equation*}
Il est logique que cette valeur soit positive puisque le repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) est orienté positivement selon la définition 4.1.8.
(b)
Figure 4.1.27. Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=7 \end{equation*}
Solution.
On peut lire sur le graphique que \(\vec{u}=\vecd{5}{-1}\) et \(\vec{v}=\vecd{-3}{2}\text{.}\)
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=\begin{vmatrix}5&-3 \\ -1&2\end{vmatrix}=5*2-(-1)*(-3)=7 \end{equation*}
Il est logique que cette valeur soit positive puisque le repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) est orienté positivement selon la définition 4.1.8.
(c)
Figure 4.1.28. Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=-23 \end{equation*}
Solution.
On peut lire sur le graphique que \(\vec{u}=\vecd{-2}{3}\) et \(\vec{v}=\vecd{7}{1}\text{.}\)
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=\begin{vmatrix}-2&7 \\ 3&1\end{vmatrix}=(-2)*1-3*7=-23 \end{equation*}
Il est logique que cette valeur soit négative puisque le repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) est orienté négativement selon la définition 4.1.8.
(d)
Figure 4.1.29. Le déterminant \(\det(\vec{u},\vec{v})\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=0 \end{equation*}
Solution.
On peut lire sur le graphique que \(\vec{u}=\vecd{-1}{4}\) et \(\vec{v}=\vecd{1}{-4}=-\vec{u}\text{.}\)
\begin{equation*} \det(\vec{u},\vec{v})=\begin{vmatrix}-1&1 \\ 4&-4\end{vmatrix}=(-1)*(-4)-4*1=0 \end{equation*}
Il est logique que cette valeur soit nulle selon la propriété 4.1.25:5. L’interprétation en ce qui concerne l’aire du parallélogramme est aussi logique puisqu’elle sera nulle, les deux vecteurs étant sur une même droite.

2.

En utilisant l’application ci-dessous, déterminer l’orientation du repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\text{.}\)
Instructions.
Instructions pour la figure interactive: Entrer un nombre positif dans la boite si l’orientation du repère \(\langle \vec{u},\vec{v}\rangle\) est positive et un nombre négatif si l’orientation est négative. Un clic sur le bouton de validation vérifiera la réponse entrée, alors qu’un clic sur le bouton «nouveau problème» va générer une nouvelle version de l’exercice.
Figure 4.1.30. L’orientation dans \(\R^2\)
Solution.
On conseille au lecteur de répéter l’exercice plusieurs fois avant de lire la solution pour arriver lui-même à bien discerner la différence entre un repère positif et un repère négatif. On peut s’aider de la définition 4.1.8 et des exemples qui suivent.
Il faut essentiellement regarder le vecteur \(\vec{u}\) en bleu et se demander dans quel sens on doit le faire tourner pour l’amener sur le vecteur \(\vec{v}\) en rouge en parcourant le plus petit angle entre les deux vecteurs. Si l’on tourne dans le sens antihoraire, l’orientation sera positive et, si l’on tourne dans le sens horaire, l’orientation sera négative.

3.

Montrer que si l’orientation des vecteurs est renversée dans la figure 4.1.3, alors l’aire du parallélogramme est \(bc-ad\text{.}\)
Indice.
Figure 4.1.31. L’aire d’un parallélogramme
Solution.
On utilise la figure 4.1.31 de l’indice pour illustrer les calculs. On fait la démarche de la même façon que dans les notes.
L’aire de ce parallélogramme peut se calculer ainsi:
  1. On prend l’aire du grand rectangle de côtés \(a+c\) et \(b+d\text{,}\) ce qui donne \((a+c)(b+d)=ab+ad+cb+cd\text{.}\)
  2. On soustrait à cela l’aire des rectangles de côtés \(a,d\text{,}\) en jaune sur la figure 4.1.31. Comme il y en a deux, on soustrait \(2ad\text{.}\)
  3. On soustrait ensuite l’aire des triangles rectangles de côtés \(c,d\text{,}\) en vert sur la figure 4.1.31. Comme il y en a deux, on soustrait \(cd\text{.}\)
  4. Finalement, on soustrait l’aire des triangles rectangles de côtés \(a,b\text{,}\) en rouge sur la figure 4.1.31. Comme il y en a deux, on soustrait \(ab\text{.}\)
L’aire du parallélogramme est donc
\begin{equation*} ab+ad+bc+cd-2ad-cd-ab=bc-ad\text{.} \end{equation*}

4.

Pour chacune des transformations de l’exemple 2.1.23, calculer le déterminant. Calculer également le déterminant du cisaillement, défini à l’exercice 2.3.6.10. Interpréter la réponse dans chacun des cas en lien avec la géométrie de la transformation.
Solution 1.
\begin{equation*} \det(I)=\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=1*1-0*0=1 \end{equation*}
La transformation identité laisse tout en place. Le facteur de changement d’aire est donc égal à \(1\) puisque rien ne change.
Solution 2.
\begin{equation*} \det(S_x)=\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{vmatrix}=1*(-1)-0*0=-1 \end{equation*}
Dans une réflexion par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de la figure transformée ne changera pas. Cependant, puisque son orientation sera inversée, il est logique que le facteur de changement d’aire soit de \(1\text{,}\) mais négatif.
Solution 3.
\begin{equation*} \det(R_{\frac{\pi}{2}})=\begin{vmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{vmatrix}=0*0-1*(-1)=1 \end{equation*}
Pour une rotation de \(\frac{\pi}{2}\) dans le sens antihoraire, il n’y a aucun changement à la figure transformée pour l’aire ou l’orientation. On ne fait que tourner la figure de \(90^\circ\text{.}\)
Solution 4.
\begin{equation*} \det(Eh_r)=\begin{vmatrix} r&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=r*1-0*0=r \end{equation*}
Un étirement horizontal de facteur \(r\) est une transformation linéaire qui étire horizontalement une figure. Le facteur d’étirement détermine la manière dont la figure sera étirée. S’il est plus grand que \(1\text{,}\) comme \(2\text{,}\) par exemple, la figure sera deux fois plus large. Son aire va donc doubler. S’il est plus petit que \(1\text{,}\) comme \(\frac{1}{2}\text{,}\) par exemple, la figure sera moins large de la moitié. Son aire diminuera de moitié. Dans tous les cas, le facteur de changement d’aire est donné par le facteur de l’étirement \(r\text{.}\)
De même, un étirement vertical de facteur \(r\) devrait donner un facteur de changement d’aire égal à \(r\) suivant la même logique. Effectivement,
\begin{equation*} \det(Ev_r)=\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&r \end{vmatrix}=1*r-0*0=r\text{.} \end{equation*}
La figure 4.1.2 illustre de quelle manière un étirement transforme l’aire d’un carré.
Solution 5.
\begin{equation*} \det(H_r)=\begin{vmatrix} r&0\\ 0&r \end{vmatrix}=r*r-0*0=r^2 \end{equation*}
L’homothétie de facteur \(r\) est une transformation représentant simultanément un étirement horizontal et un étirement vertical. L’étirement horizontal occasionne un changement d’aire de facteur \(r\) et l’étirement vertical du même facteur \(r\text{.}\) Si l’on voit l’homothétie comme la composition de ces deux transformations, il est logique que le facteur de changement d’aire global soit de \(r*r=r^2\text{.}\)
Solution 6.
\begin{equation*} \det(P)=\begin{vmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{vmatrix}=0*0-1*1=-1 \end{equation*}
La permutation est une transformation linéaire qui change l’ordre des composantes d’un vecteur. Il est logique que l’orientation soit inversée si l’on interchange les \(x\) et les \(y\) dans une figure, puisqu’on l’obtiendra à l’envers. Cette transformation est en fait une réflexion selon l’axe \(y=x\) et l’on a déjà constaté que les réflexions ont une facteur de \(-1\text{.}\) C’est également une application directe de la propriété 4.1.25:3 sur \(\det(I)\) calculé plus tôt.
Solution 7.
\begin{align*} \det(\text{proj}_{\vec{w}})&=\left|\frac{1}{\norm{\vec{w}}^2}\begin{pmatrix} w_1^2& w_1w_2\\ w_1w_2& w_2^2 \end{pmatrix}\right|\\ &=\begin{vmatrix} \frac{w_1^2}{\norm{\vec{w}}^2}& \frac{w_1w_2}{\norm{\vec{w}}^2}\\ \frac{w_1w_2}{\norm{\vec{w}}^2}& \frac{w_2^2}{\norm{\vec{w}}^2} \end{vmatrix}\\ &=\frac{w_1^2}{\norm{\vec{w}}^2}*\frac{w_2^2}{\norm{\vec{w}}^2}-\frac{w_1w_2}{\norm{\vec{w}}^2}*\frac{w_1w_2}{\norm{\vec{w}}^2}\\ &=\frac{w_1^2w_2^2}{\norm{\vec{w}}^4}-\frac{w_1w_2w_1w_2}{\norm{\vec{w}}^4}\\ &=\frac{w_1^2w_2^2}{\norm{\vec{w}}^4}-\frac{w_1^2w_2^2}{\norm{\vec{w}}^4}\\ &=0 \end{align*}
La projection orthogonale sur un vecteur non nul \(\vec{w}\) est une transformation linéaire qui transforme une figure ou des vecteurs en les amenant sur une même droite. L’aire de la figure résultante sera donc toujours nulle.
Remarquons qu’il aurait été possible d’utiliser la propriété 4.1.25:5 puisque les colonnes de la matrice de projection sont multiples l’une de l’autre.
La figure 4.1.2 illustre une projection orthogonale, qui produit une figure d’aire nulle.
Solution 8.
\begin{equation*} \det(Ch_k)=\begin{vmatrix}1\amp k\\ 0 \amp 1 \end{vmatrix}=1*1-0*k=1 \end{equation*}
et
\begin{equation*} \det(Cv_k)=\begin{vmatrix}1\amp 0\\ k \amp 1 \end{vmatrix}=1*1-k*0=1 \end{equation*}
Un cisaillement vertical ou horizontal ne change pas l’aire de la figure, tel qu’illustré dans la figure 4.1.2. Cela correspond également à une des propriétés 4.1.14:4 de la définition 4.1.13 du cisaillement.

5.

En tenant pour acquis qu’une rotation ne change pas l’aire d’une figure géométrique et que l’aire d’un parallélogramme est \(\text{base}\times \text{hauteur}\text{,}\) donner une preuve alternative que l’aire d’un parallélogramme est \(ad-bc\) (lorsque les vecteurs sont orientés positivement) en ramenant le vecteur \(\vec{u}\) sur l’axe des \(x\text{.}\)
Solution.
Soit deux vecteurs \(\vec{u}=\vecd{a}{b}\) et \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\text{.}\) On veut démontrer que l’aire du parallélogramme engendré par \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est \(ad-bc\text{.}\) Si l’on voit le vecteur \(\vec{u}\) comme étant la base du parallélogramme, on peut faire une rotation de \(-\theta_{\vec{u}}\) pour que cette base soit sur l’axe des \(x\text{.}\) Pour ce faire, on a besoin de la matrice de rotation (2.1.13) :
\begin{equation*} R_{-\theta_{\vec{u}}}=\begin{pmatrix} \cos(-\theta_{\vec{u}}) & -\sin(-\theta_{\vec{u}})\\ \sin(-\theta_{\vec{u}}) & \cos(-\theta_{\vec{u}}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\theta_{\vec{u}}) & \sin(\theta_{\vec{u}})\\ -\sin(\theta_{\vec{u}}) & \cos(\theta_{\vec{u}}) \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
On a utilisé les identités \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\) et \(\sin(-\theta)=-\sin(\theta)\text{.}\) La longueur de \(\vec{u}\) est: \(\norm{\vec{u}}=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Puisqu’on a besoin du sinus et du cosinus de l’angle \(\theta_{\vec{u}}\text{,}\) on les obtient des rapports trigonométriques du triangle rectangle où \(a\) est le côté adjacent, \(b\) le côté opposé et \(\sqrt{a^2+b^2}\) l’hypoténuse. Ainsi,
\begin{equation*} \cos(\theta_{\vec{u}})=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{equation*}
et
\begin{equation*} \sin(\theta_{\vec{u}})=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\text{.} \end{equation*}
La matrice devient donc:
\begin{equation*} R_{-\theta_{\vec{u}}}=\begin{pmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
On multiplie le vecteur \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\) par cette matrice pour obtenir le deuxième côté du parallélogramme, une fois celuit-ci transformé avec la rotation.
\begin{align*} R_{-\theta_{\vec{u}}}\vec{v}&=\begin{pmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\vecd{c}{d}\\ R_{-\theta_{\vec{u}}}\vec{v}&=\vecd{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}c+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}d}{-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}c+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}d} \end{align*}
La hauteur du parallélogramme sera donnée par la composante en \(y\) de ce vecteur et la base par la longueur du vecteur \(\vec{u}\text{.}\) Ainsi,
\begin{equation*} \text{Aire}=b*h=\sqrt{a^2+b^2}*\left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}c+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}d\right)=-bc+ad=ad-bc\text{.} \end{equation*}

6.

Démontrer géométriquement l’équation (4.1.1) pour calculer l’aire d’un parallélogramme.
Solution.
On utilise le fait que l’aire d’un parallélogramme est donnée par \(\text{base}\times \text{hauteur}\text{.}\) Ici, la base est la longueur du vecteur \(\vec{u}\text{.}\) La hauteur est le côté opposé à l’angle \(\theta\) d’un triangle formé par les deux vecteurs d’hypoténuse \(\vec{v}\) et de côté adjacent \(\vec{v}_{\vec{u}}\text{.}\) Ainsi, puisque
\begin{equation*} \sin(\theta)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{hauteur}}{\norm{\vec{v}}}\text{,} \end{equation*}
on a
\begin{equation*} \text{hauteur}=\norm{\vec{v}}\sin(\theta) \end{equation*}
et finalement
\begin{equation*} \text{Aire}=\text{base}\times \text{hauteur}=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\sin(\theta)\text{.} \end{equation*}

7.

Soit \(\vec{u},\vec{v}\text{,}\) deux vecteurs de \(\R^2\text{.}\) Montrer que:
(a)
\(\det(\vec{u},\vec{v})=\vec{u}_{\perp}\cdot \vec{v}\text{;}\)
Solution.
On procède algébriquement à l’aide de la formule 4.1.25:11 en posant les vecteurs \(\vec{u}=\vecd{a}{b}\) et \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\text{.}\) On effectue d’abord le calcul à partir du membre de droite.
\begin{align*} \vec{u}_{\perp}\cdot \vec{v}&=\vecd{a}{b}_{\perp}\cdot \vecd{c}{d}\\ &=\vecd{-b}{a}\cdot \vecd{c}{d}\\ &=(-b)*c+a*d\\ &=-bc+ad\\ &=ad-bc\\ &=\begin{vmatrix}a&c \\b&d\end{vmatrix}\\ &=\det(\vec{u},\vec{v}) \end{align*}
(b)
\(\det(\vec{u},\vec{v})=-(\vec{u}\cdot \vec{v}_{\perp})\text{;}\)
Solution.
On procède algébriquement à l’aide de la formule 4.1.25:11 en posant les vecteurs \(\vec{u}=\vecd{a}{b}\) et \(\vec{v}=\vecd{c}{d}\text{.}\) On effectue d’abord le calcul à partir du membre de droite.
\begin{align*} -(\vec{u}\cdot \vec{v}_{\perp})&=-\left(\vecd{a}{b}\cdot \vecd{c}{d}_{\perp}\right)\\ &=-\left(\vecd{a}{b}\cdot \vecd{-d}{c}\right)\\ &=-(a*(-d)+b*c)\\ &=-(-ad+bc)\\ &=ad-bc\\ &=\begin{vmatrix}a&c \\b&d\end{vmatrix}\\ &=\det(\vec{u},\vec{v}) \end{align*}

8.

Comment savoir si deux vecteurs sont parallèles, à l’aide d’un déterminant?
Solution.
Puisque le déterminant calcule l’aire du parallélogramme engendré par les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{,}\) il est clair que si le déterminant est nul, alors le parallélogramme est entièrement sur une ligne et les vecteurs sont donc parallèles. Autrement dit, \(\vec{u} \parallel \vec{v}\) si \(\det(\vec{u}, \vec{v})=0\)

9.

Trois points \(A,B,C\) de \(\R^2\) sont donnés. Quel serait un critère utilisant un déterminant pour savoir si les points sont alignés?
Solution.
On considère les vecteurs \(\vecl{AB}\) et \(\vecl{AC}\) qui génèrent un parallélogramme de la même façon que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de la définition 4.1.13 du déterminant. Si les trois points sont alignés, alors le parallélogramme engendré par les vecteurs \(\vecl{AB}\) et \(\vecl{AC}\) sera d’aire nulle.
Bref, le critère détermine que les points \(A,B,C\) sont alignés si le déterminant des vecteurs est nul. Autrement dit, si
\begin{equation*} \det(\vecl{AB}, \vecl{AC})=0\text{.} \end{equation*}

10.

Dans cet exercice, on s’intéresse au produit vectoriel, donné par l’équation (4.1.2).
(a)
On fixe \(\vec{v}=(1,2,3)\text{.}\) Montrer que la transformation \(T_{\vec{v}}(\vec{u})=\vec{u}\times\vec{v}\) est linéaire et donner sa matrice.
Solution.
On commence par montrer que la transformation est linéaire, on calcule ensuite sa matrice. On remarque que, si l’on obtient sa matrice de transformation et qu’elle correspond effectivement à la transformation en termes de l’effet sur \((x,y,z)\text{,}\) alors on n’a pas besoin de démontrer que la transformation est linéaire en vertu de la proposition 2.1.26. On le fait quand même pour le lecteur ou la lectrice qui n’y aurait pas pensé. On doit montrer que \(T_{\vec{v}}\) est linéaire en montrant que pour des vecteurs \(\vec{u}=\vecddd{x}{y}{z}, \vec{u}'=\vecddd{x'}{y'}{z'}\) et un scalaire \(c\in\R\) quelconques, on a les deux propriétés de la définition 2.1.7. Noter qu’on a décidé d’utiliser \(\vec{u}'\) au lieu de \(\vec{v}\) puisque ce dernier vecteur est déjà utilisé dans la transformation.
\begin{align*} T_{\vec{v}}(\vec{u}+\vec{u}')&=(\vec{u}+\vec{u}')\times \vec{v}\\ &=\left(\vecddd{x}{y}{z}+\vecddd{x'}{y'}{z'}\right)\times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y+y' & 2 \\ z+z' & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x+x' & 1 \\ z+z' & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x+x' & 1 \\ y+y' & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y & 2 \\ z & 3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y' & 2 \\ z' & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & 1 \\ z & 3\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x' & 1 \\ z' & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x' & 1 \\ y' & 2\end{vmatrix}\right) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detadd2x2resum.html}{\text{4.1.25:7}}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y & 2 \\ z & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & 1 \\ z & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2\end{vmatrix}\right)+\left(\begin{vmatrix} y' & 2 \\ z' & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x' & 1 \\ z' & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x' & 1 \\ y' & 2\end{vmatrix}\right)\\ &\vecddd{x}{y}{z}\times \vecddd{1}{2}{3}+\vecddd{x'}{y'}{z'}\times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\vec{u}\times\vec{v} + \vec{u}'\times\vec{v}\\ &=T_{\vec{v}}(\vec{u})+T_{\vec{v}}(\vec{u}') \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}(c\vec{u})&=(c\vec{u})\times \vec{v}\\ &=\left(c\vecddd{x}{y}{z}\right)\times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\vecddd{cx}{cy}{cz}\times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} cy & 2 \\ cz & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} cx & 1 \\ cz & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} cx & 1 \\ cy & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=\left(c\begin{vmatrix} y & 2 \\ z & 3\end{vmatrix}, -c\begin{vmatrix} x & 1 \\ z & 3\end{vmatrix}, c\begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}}\\ &=c\left(\begin{vmatrix} y & 2 \\ z & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & 1 \\ z & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2\end{vmatrix}\right)\\ &=c\left(\vecddd{x}{y}{z}\times \vecddd{1}{2}{3}\right)\\ &=c(\vec{u}\times\vec{v})\\ &=cT_{\vec{v}}(\vec{u}) \end{align*}
On a démontré que la transformation est linéaire. Pour trouver sa matrice, il suffit de trouver l’effet de \(T_{\vec{v}}\) sur les vecteurs de base.
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{1}{0}{0}&=\vecddd{1}{0}{0} \times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(0,-3,2)=\vecddd{0}{-3}{2} \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{0}{1}{0}&=\vecddd{0}{1}{0} \times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(3,0,-1)=\vecddd{3}{0}{-1} \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{0}{0}{1}&=\vecddd{0}{0}{1} \times \vecddd{1}{2}{3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(-2,1,0)=\vecddd{-2}{1}{0} \end{align*}
On les met dans les colonnes de la matrice et l’on obtient
\begin{equation*} T_{\vec{v}}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
(b)
Refaire avec un vecteur \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) quelconque.
Solution.
Attention, c’est exactement la même démarche que précédemment, mais avec des valeurs quelconques pour \(\vec{v}\text{.}\) On commence par montrer que la transformation est linéaire et l’on calcule ensuite sa matrice. On doit montrer que \(T_{\vec{v}}\) est linéaire en montrant que, pour des vecteurs \(\vec{u}=\vecddd{x}{y}{z}, \vec{u}'=\vecddd{x'}{y'}{z'}\) et un scalaire \(c\in\R\) quelconques, on a les deux propriétés de la définition 2.1.7. Noter qu’on a décidé d’utiliser \(\vec{u}'\) au lieu de \(\vec{v}\) puisque ce dernier vecteur est déjà utilisé dans la transformation.
\begin{align*} T_{\vec{v}}(\vec{u}+\vec{u}')&=(\vec{u}+\vec{u}')\times \vec{v}\\ &=\left(\vecddd{x}{y}{z}+\vecddd{x'}{y'}{z'}\right)\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y+y' & v_2 \\ z+z' & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x+x' & v_1 \\ z+z' & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x+x' & v_1 \\ y+y' & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y & v_2 \\ z & 3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y' & v_2 \\ z' & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & v_1 \\ z & v_3\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x' & v_1 \\ z' & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & v_1 \\ y & v_2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x' & v_1 \\ y' & v_2\end{vmatrix}\right) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detadd2x2resum.html}{\text{4.1.25:7}}\\ &=\left(\begin{vmatrix} y & v_2 \\ z & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & v_1 \\ z & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & v_1 \\ y & v_2\end{vmatrix}\right)+\left(\begin{vmatrix} y' & v_2 \\ z' & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x' & v_1 \\ z' & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x' & v_1 \\ y' & v_2\end{vmatrix}\right)\\ &\vecddd{x}{y}{z}\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}+\vecddd{x'}{y'}{z'}\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\vec{u}\times\vec{v} + \vec{u}'\times\vec{v}\\ &=T_{\vec{v}}(\vec{u})+T_{\vec{v}}(\vec{u}') \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}(c\vec{u})&=(c\vec{u})\times \vec{v}\\ &=\left(c\vecddd{x}{y}{z}\right)\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\vecddd{cx}{cy}{cz}\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} cy & v_2 \\ cz & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} cx & v_1 \\ cz & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} cx & v_1 \\ cy & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=\left(c\begin{vmatrix} y & v_2 \\ z & v_3\end{vmatrix}, -c\begin{vmatrix} x & v_1 \\ z & v_3\end{vmatrix}, c\begin{vmatrix} x & v_1 \\ y & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}}\\ &=c\left(\begin{vmatrix} y & v_2 \\ z & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} x & v_1 \\ z & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} x & v_1 \\ y & v_2\end{vmatrix}\right)\\ &=c\left(\vecddd{x}{y}{z}\times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\right)\\ &=c(\vec{u}\times\vec{v})\\ &=cT_{\vec{v}}(\vec{u}) \end{align*}
On a démontré que la transformation est linéaire. Pour trouver sa matrice, il suffit de trouver l’effet de \(T_{\vec{v}}\) sur les vecteurs de base.
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{1}{0}{0}&=\vecddd{1}{0}{0} \times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 0 & v_2 \\ 0 & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 1 & v_1 \\ 0 & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & v_1 \\ 0 & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(0,-v_3,v_2)=\vecddd{0}{-v_3}{v_2} \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{0}{1}{0}&=\vecddd{0}{1}{0} \times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 1 & v_2 \\ 0 & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 0 & v_1 \\ 0 & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & v_1 \\ 1 & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(v_3,0,-v_1)=\vecddd{v_3}{0}{-v_1} \end{align*}
\begin{align*} T_{\vec{v}}\vecddd{0}{0}{1}&=\vecddd{0}{0}{1} \times \vecddd{v_1}{v_2}{v_3}\\ &=\left(\begin{vmatrix} 0 & v_2 \\ 1 & v_3\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} 0 & v_1 \\ 1 & v_3\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & v_1 \\ 0 & v_2\end{vmatrix}\right)& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/eq-prodvecdet2x2.html}{\text{(4.1.2)}}\\ &=(-v_2,v_1,0)=\vecddd{-v_2}{v_1}{0} \end{align*}
On les met dans les colonnes de la matrice et l’on obtient
\begin{equation*} T_{\vec{v}}=\begin{pmatrix} 0 & v_3 & -v_2 \\ -v_3 & 0 & v_1 \\ v_2 & -v_1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

11.

Montrer que \(\det(A^T)=\det(A)\) pour une matrice \(2\times 2\text{,}\) donnant ainsi une preuve à la proposition 4.1.23.
Solution.
Soit \(A=\begin{pmatrix}a&c \\b&d\end{pmatrix}\text{,}\) une matrice \(2\times 2\) quelconque. On montre l’énoncé en faisant le calcul du déterminant.
\begin{align*} \det(A^T)&=\det \left(\begin{pmatrix}a&c \\b&d\end{pmatrix}^T\right)\\ &=\det \begin{pmatrix}a&b \\c&d\end{pmatrix} \\ &=ad-cb & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-det2x2formule.html}{\text{4.1.25:11}}\\ &=ad-bc\\ &=\det \begin{pmatrix}a&c \\b&d\end{pmatrix}\\ &=\det(A) \end{align*}

12.

Si \(A\) est une matrice \(2\times 2\text{,}\) utiliser les propriétés des déterminants pour calculer \(\det(kA)\text{.}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(kA)=k^2\det(A) \end{equation*}
Solution.
On veut utiliser la propriété 4.1.25:2 qui permet de mettre en évidence une constante d’un déterminant, mais une colonne à la fois. On utilise donc le déterminant de la matrice \(A\) définit comme \(\det(A)=\det(\vec{u},\vec{v})\) où \(\vec{u},\vec{v}\in \R^2\text{.}\)
\begin{align*} \det(kA)&=\det(k\vec{u},k\vec{v})\\ &=k\det(\vec{u},k\vec{v})& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}}\\ &=k\big(k\det(\vec{u},\vec{v})\big)& \text{ encore par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}}\\ &=k^2\det(\vec{u},\vec{v})\\ &=k^2\det(A) \end{align*}

13.

Soit \(A\text{,}\) une matrice inversible. Utiliser la propriété 4.1.25:8 pour montrer que \(\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\text{,}\) donnant par le fait même une preuve alternative à la proposition 4.1.24.
Solution.
On sait que \(A\) est inversible, ce qui signifie qu’il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que \(AA^{-1}=I\text{.}\) On utilise le fait que l’on connait le déterminant de l’identité et que le déterminant d’un produit se factorise pour obtenir
\begin{align*} &&\det(I)&=1 && \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detI2x2resum.html}{\text{4.1.25:1}}\\ &\Leftrightarrow &\det(AA^{-1})&=1\\ &\Leftrightarrow &\det(A)\det(A^{-1})&=1 && \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detprod2x2resum.html}{\text{4.1.25:8}}\\ &\Leftrightarrow &\det(A^{-1})&=\frac{1}{\det(A)} \end{align*}
On peut faire la dernière étape, car on sait que \(\det(A)\neq 0\) puisque \(A\) est inversible (exemple 2.3.5).

14.

Montrer algébriquement que le déterminant d’une réflexion est égal à \(-1\text{.}\)
Solution.
Toutes les matrices de réflexion sont de la forme donnée par l’équation (2.2.4). On en calcule le déterminant.
\begin{align*} \det(S_{\theta})&=\begin{vmatrix} \cos(2\theta)& \sin(2\theta)\\ \sin(2\theta) & -\cos(2\theta) \end{vmatrix}\\ &=\cos(2\theta)*(-\cos(2\theta))-\sin(2\theta)*\sin(2\theta) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-det2x2formule.html}{\text{4.1.25:11}}\\ &=-\cos^2(2\theta)-\sin^2(2\theta)\\ &=-\big(\cos^2(2\theta)+\sin^2(2\theta)\big)\\ &=-1 & \text{ par l'identité trigonométrique } \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1 \end{align*}

15.

Le triangle \(ABC\) ci-dessous a pour aire \(1 \text{u}^2\text{.}\) Calculer les déterminants suivants.
Figure 4.1.32. Un triangle \(ABC\)
(a)
\(\det(\vecl{AB},\vecl{AC})\text{;}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vecl{AB},\vecl{AC})=2 \end{equation*}
Solution.
On sait que le déterminant donne l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs utilisés. Pour un triangle, l’aire sera donnée par la moitié de la valeur du déterminant. Il faut également tenir compte de l’orientation, que l’on peut considérer séparément à la toute fin ou inclure dans le calcul, ce que l’on choisit de faire. Dans ce cas-ci, on sait, par exemple, que \(\text{aire triangle}=\frac{1}{2}\det(\vecl{AB},\vecl{AC})\text{.}\)
\begin{equation*} \det(\vecl{AB},\vecl{AC})=2\times \text{aire triangle} =2*1=2 \end{equation*}
(b)
\(\det(\vecl{AB},\vecl{BC})\text{;}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vecl{AB},\vecl{BC})=2 \end{equation*}
Solution.
\begin{align*} \det(\vecl{AB},\vecl{BC})&=-\det(\vecl{BC},\vecl{AB}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detp2x2resum.html}{\text{4.1.25:3}} \\ &=-\det(\vecl{BC},-\vecl{BA}) \\ &=\det(\vecl{BC},\vecl{BA}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &= 2\times \text{aire triangle}=2 \end{align*}
On constate que cela donne la même valeur et qu’elle est encore une fois positive. On peut remarquer que l’orientation des vecteurs \(\vecl{AB},\vecl{BC}\) est positive si on les ramène au même point de départ et parce qu’ils forment deux côtés différents du triangle, il est logique que leur déterminant donne deux fois l’aire du triangle. On aurait donc pu donner la réponse directement.
(c)
\(\det(\vecl{CA},\vecl{BC})\text{;}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(\vecl{CA},\vecl{BC})=-2 \end{equation*}
Solution.
\begin{align*} \det(\vecl{CA},\vecl{BC})&=\det(\vecl{CA},-\vecl{CB}) \\ &=-\det(\vecl{CA},\vecl{CB}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &= -2\times \text{aire triangle}=-2 \end{align*}
L’orientation des vecteurs \(\vecl{CA},\vecl{BC}\) est effectivement négative lorsqu’on les ramène au même point de départ.
(d)
\(\det(5\vecl{BA},3\vecl{CA})\text{.}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(5\vecl{BA},3\vecl{CA})=30 \end{equation*}
Solution.
\begin{align*} \det(5\vecl{BA},3\vecl{CA})&=5\det(\vecl{BA},3\vecl{CA}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &=15\det(\vecl{BA},\vecl{CA}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &=15\det(-\vecl{AB},-\vecl{AC}) \\ &=-15\det(\vecl{AB},-\vecl{AC}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &=15\det(\vecl{AB},\vecl{AC}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}} \\ &= 15 * (2 \times \text{aire triangle})=30 \end{align*}
L’orientation des vecteurs \(\vecl{CA},\vecl{BC}\) est effectivement négative lorsqu’on les ramène au même point de départ.

16.

On s’intéresse au lieu des points de \(\R^2\) qui satisfont une certaine propriété en lien avec les déterminants.
(a)
Soit \(\vec{u}=\vecd{3}{2}\text{.}\)
(i)
Décrire le lieu des points \(P(x,y)\) tels que
\begin{equation*} \begin{vmatrix} 3& x\\ 2& y \end{vmatrix}=0\text{.} \end{equation*}
Réponse.
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
Solution.
Puisque les déterminants sont définis en termes vectoriels, on peut voir un point \(P(x,y)\) de ce lieu géométrique comme le vecteur \(\vecl{OP}=(x,y)\text{.}\) Si le déterminant est nul, c’est que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vecl{OP}\) sont parallèles, par la propriété 4.1.25:5. Ainsi, le lieu est l’ensemble des points sur la droite passant par l’origine parallèle à \(\vec{u}\text{.}\) Autrement dit, l’ensemble des points sur la droite:
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
(ii)
Décrire le lieu des points \(P(x,y)\) tels que
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x& 3\\ y& 2 \end{vmatrix}=0\text{.} \end{equation*}
Réponse.
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
Solution.
Ce lieu sera le même que le précédent puisque les deux vecteurs doivent encore être parallèles. Autrement dit, c’est l’ensemble des points sur la droite:
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
(iii)
Décrire le lieu des points \(P(x,y)\) tels que
\begin{equation*} \begin{vmatrix} 3& x\\ 2& y \end{vmatrix}=1\text{.} \end{equation*}
Réponse.
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2}+\vecd{-2}{-1} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
Solution.
Ce lieu est plus difficile à définir. On calcule le déterminant pour s’aider à comprendre ce que cette équation signifie.
\begin{equation*} \begin{vmatrix} 3& x\\ 2& y \end{vmatrix}=3y-2x=-2x+3y=1 \end{equation*}
On reconnait tout de suite l’équation normale d’une droite. En réalité, les deux questions précédentes donneraient la même équation, mais égale à zéro (passant par l’origine). Bref, on peut penser que ce déterminant représente la même droite, mais passant par un point de départ, donc translatée. On choisit le point \((-2,-1)\) qui correspond à des valeurs entières simples de \(x,y\) qui constituent une solution de l’équation normale. Ce lieu est donc l’ensemble des points sur la droite:
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2}+\vecd{-2}{-1} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
(iv)
Décrire le lieu des points \(P(x,y)\) tels que
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x& 3\\ y& 2 \end{vmatrix}=1\text{.} \end{equation*}
Réponse.
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2}+\vecd{2}{1} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
Solution.
On calcule le déterminant pour s’aider à comprendre ce que cette équation signifie.
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x& 3\\ y& 2 \end{vmatrix}=2x-3y=1 \end{equation*}
On reconnait tout de suite l’équation normale d’une droite. Elle est presque identique à la précédente, mais le vecteur normal est de signe opposé. Cela ne change pas la direction de la droite, qui peut donc garder le même vecteur directeur. Par contre, le point de départ sera différent. On choisit le point \((2,1)\) qui correspond à des valeurs entières simples de \(x,y\) qui constituent solution de l’équation normale. Ce lieu est donc l’ensemble des points sur la droite:
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{3}{2}+\vecd{2}{1} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
(b)
Soit \(\vec{u}=(u_1,u_2)\in\R^2\text{,}\) un vecteur quelconque et \(r\in \R\text{.}\) Décrire le lieu des points \(P(x,y)\) tels que
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x& u_1\\ y& u_2 \end{vmatrix}=r \text{.} \end{equation*}
Réponse.
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{u_1}{u_2}+\vecd{\frac{r}{u_2}}{0} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}
Solution.
On utilise ce qu’on a appris dans les dernières questions pour obtenir l’équation de ce lieu géométrique qui est, sans aucun doute, une droite. On sait que la droite est parallèle au vecteur \(\vec{u}\) et ce sera donc son vecteur directeur. Elle passe par toutes sortes de points de départ. Il suffit d’en trouver un qui satisfait l’équation normale donnée par la déterminant:
\begin{equation*} \begin{vmatrix} x& u_1\\ y& u_2 \end{vmatrix}=u_2x-u_1y=r \text{.} \end{equation*}
Par exemple, on peut prendre le point \(\vecd{\frac{r}{u_2}}{0}\text{.}\) Ce lieu est donc l’ensemble des points sur la droite:
\begin{equation*} P\in\mathcal{D}:\vecd{x}{y}=a\vecd{u_1}{u_2}+\vecd{\frac{r}{u_2}}{0} \text{ avec } a\in\R \end{equation*}

17.

Soit \(A,B,C\text{,}\) les points d’un triangle quelconque et \(\vecl{OG}=\frac{1}{3}(\vecl{OA}+\vecl{OB}+\vecl{OC})\text{,}\) le barycentre des sommets du triangle. Montrer que les triangles \(ABG, ACG\) et \(BCG\) ont la même aire.
Instructions.
Instruction pour la figure interactive: Manipuler le triangle \(ABC\) pour observer les trois triangles \(ABG,ACG\) et \(BCG\text{.}\)
Figure 4.1.33. Trois aires égales
Indice.
Définir les aires des triangles comme des déterminants de vecteurs partant tous du point \(G\text{.}\)
Solution.
Comme suggéré dans l’indice, on écrit chaque aire comme un déterminant en fonction des vecteurs \(\vecl{GA},\vecl{GB},\vecl{GC}\text{.}\)
\begin{equation*} \text{Aire triangle } ABG=\frac{1}{2}\det(\vecl{GA},\vecl{GB}) \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Aire triangle } ACG=\frac{1}{2}\det(\vecl{GC},\vecl{GA}) \end{equation*}
\begin{equation*} \text{Aire triangle } BCG=\frac{1}{2}\det(\vecl{GB},\vecl{GC}) \end{equation*}
On a choisi l’ordre des vecteurs pour que les déterminants soient tous positifs. On remarque que, puisque le facteur \(\frac{1}{2}\) est présent chaque fois, on n’a qu’à montrer que ces trois déterminants sont égaux. On utilisera l’équation du barycentre sous cette forme: \(3\vecl{OG}=\vecl{OA}+\vecl{OB}+\vecl{OC}\)
\begin{align*} \det(\vecl{GA},\vecl{GB})&=-\det(\vecl{GB},\vecl{GA}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detp2x2resum.html}{\text{4.1.25:3}}\\ &=-\det(\vecl{OB}-\vecl{OG},\vecl{GA}) \\ &=-\det(3\vecl{OG}-\vecl{OA}-\vecl{OC}-\vecl{OG},\vecl{GA})& \text{ par l'équation du barycentre}\\ &=-\det(\vecl{OG}-\vecl{OA}+\vecl{OG}-\vecl{OC},\vecl{GA})\\ &=-\det(\vecl{AG}+\vecl{CG},\vecl{GA})\\ &=-\det(-\vecl{GA}-\vecl{GC},\vecl{GA})\\ &=\det(\vecl{GA}+\vecl{GC},\vecl{GA})& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detr2x2resum.html}{\text{4.1.25:2}}\\ &=\det(\vecl{GA},\vecl{GA})+\det(\vecl{GC},\vecl{GA})& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detadd2x2resum.html}{\text{4.1.25:7}}\\ &=0+\det(\vecl{GC},\vecl{GA})& \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detcolmultautre2x2resum.html}{\text{4.1.25:5}}\\ &=\det(\vecl{GC},\vecl{GA}) \end{align*}
On peut faire la preuve que ce dernier déterminant est égal à \(\det(\vecl{GB},\vecl{GC})\) en suivant exactement les mêmes étapes.

18.

Soit \(A=\begin{pmatrix} -4&12 \\ -8 &4 \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 2&1\\2&-2 \end{pmatrix}\text{.}\)
(a)
(i)
Montrer que \(AB=-BA\text{.}\)
Solution.
A=matrix([[-4,12],[-8,4]])
B=matrix([[2,1],[2,-2]])
AB=A*B
moinsBA=-B*A
show(AB)
show(moinsBA)
show(AB==moinsBA)
Bloc de code 4.1.34. Le code solution pour l’exercice
(ii)
Calculer le déterminant des matrices \(A\) et \(B\) ci-dessus.
Réponse.
\begin{equation*} \det(A)=80 \text{ et } \det(B)=-6 \end{equation*}
Solution.
A=matrix([[-4,12],[-8,4]])
B=matrix([[2,1],[2,-2]])
show(det(A))
show(det(B))
Bloc de code 4.1.35. Le code solution pour l’exercice
On aurait aussi pu les calculer à la main rapidement.
(b)
Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant.
Soit \(A,B\text{,}\) deux matrices \(2\times 2\) telles que \(AB=-BA\text{.}\) En prenant les déterminants de chaque côté, on a
\begin{align*} \det(AB)&=\det(-BA)\\ \det(A)\det(B)&=-\det(B)\det(A)\\ \det(A)\det(B)&=-\det(A)\det(B)\\ 2\det(A)\det(B)&=0\\ \det(A)=0&\text{ ou } \det(B)=0\text{.} \end{align*}
Solution.
L’erreur se trouve entre la première et la deuxième ligne. Il est vrai que les deux déterminants initiaux doivent être égaux, puisque les matrices sont égales. Cependant, à la deuxième ligne, dans le membre de droite de l’équation, on a effectué une opération que l’on ne peut pas faire. On a sorti le moins du déterminant. Cela ne peut pas être fait, car ce n’est pas une application de la propriété 4.1.25:2 puisqu’on sortirait une constante de toutes les colonnes en même temps. On a considéré cette question à l’exercice 4.1.4.12, on avait alors déterminé que
\begin{equation*} \det(kA)=k^2\det(A)\text{.} \end{equation*}
Ainsi,
\begin{equation*} \det(-BA)=(-1)^2\det(BA)=\det(BA)=\det(B)\det(A) \end{equation*}
et l’argument ne fonctionne plus.

19.

Les opérations élémentaires du type \(rL_1+L_2\rightarrow L_2\) et \(sL_2+L_1\rightarrow L_1\) ne changent pas le déterminant selon la propriété 4.2.11:4. Pourtant, à partir d’une matrice \(A=\matcold{a}{b}{c}{d}\text{,}\) on a
\begin{align*} ad-bc&=\begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a+sb& c+sd\\ b+ra& d +rc\end{vmatrix}\\ &=(a+sb)(d+rc)-(b+ra)(c+sd)\\ &=ad+sbd+arc+sbrc-(bc+rac+bsd+rasd)\\ &=ad-bc+rsbc-rsad\\ &=(1-rs)ad-(rs-1)bc\text{.} \end{align*}
L’égalité n’est alors vraie que si \(1-rs=1\) et \(rs-1=1\text{,}\) ce qui est impossible. Alors, où peut être le problème?
Solution.
L’erreur se situe à la deuxième ligne de la preuve. Tout ce qui est dit est vrai, mais on fait une erreur dans l’application de la propriété lorsqu’on l’applique essentiellement aux deux lignes en même temps. En effet, on effectue l’opération \(rL_1+L_2\rightarrow L_2\text{,}\) ce qui donne la ligne \(b+ra, d +rc\text{.}\) Ensuite, on effectue l’opération \(sL_2+L_1\rightarrow L_1\text{,}\) ce qui devrait donner la ligne \(s(b+ra)+a, s(d +rc)+c \) et non ce qu’on a obtenu. On refait le calcul du déterminant correctement en faisant ces deux opérations successivement plutôt que simultanément.
\begin{align*} ad-bc&=\begin{vmatrix} a& c\\ b& d \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a& c\\ b+ra& d +rc\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} s(b+ra)+a& s(d +rc)+c\\ b+ra& d +rc\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a+sb+rsa& c+sd+rsc\\ b+ra& d +rc\end{vmatrix}\\ &=(a+sb+rsa)(d+rc)-(b+ra)(c+sd+rsc)\\ &=ad+sbd+rsad+arc+sbrc+r^2sac-(bc+rac+bsd+rasd+brsc+r^2sac)\\ &=ad-bc \end{align*}

20.

Soit \(A\text{,}\) une matrice telle qu’il existe \(D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2\end{pmatrix}\) une matrice diagonale et \(P\text{,}\) une matrice inversible avec
\begin{equation*} A=PDP^{-1}\text{.} \end{equation*}
Calculer \(\det(A)\text{.}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(A)=\lambda_1\lambda_2 \end{equation*}
Solution.
\begin{align*} \det(A)&=\det(PDP^{-1})\\ &=\det(P)\det(D)\det(P^{-1}) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detprod2x2resum.html}{\text{4.1.25:8}} \\ &=\det(P)\begin{vmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0& \lambda_2\end{vmatrix}\det(P^{-1}) \\ &=\det(P)\lambda_1\lambda_2\det(P^{-1}) \\ &=\det(P)\lambda_1\lambda_2\frac{1}{\det(P)} & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detinv2x2resum.html}{\text{4.1.25:10}} \\ &=\lambda_1\lambda_2\frac{\det(P)}{\det(P)} & \text{ puisque le produit de nombres réels est commutatif } \\ &=\lambda_1\lambda_2 \end{align*}

21.

On considère la matrice \(\matcold{x}{1}{x}{x}\text{.}\) Pour quelle(s) valeurs de \(x\) le déterminant de la matrice est-il nul?
Comparer avec les valeurs de \(x\) obtenues à l’exercice 3.1.4.20. Que conclure de cette comparaison?
Réponse.
\(x=0\) et \(x=1\)
Solution.
\begin{equation*} \begin{vmatrix}x & x \\ 1 & x \end{vmatrix}=x*x-1*x=x^2-x=x(x-1)=0 \end{equation*}
Le déterminant est donc nul si \(x=0\) ou si \(x=1\text{.}\)
En comparant avec l’exercice 3.1.4.20, on remarque que ce sont les mêmes valeurs. Il semble donc que, pour cette matrice, avoir un déterminant nul correspond à avoir un seul pivot.

22.

On considère le système d’équations linéaires \(A\vec{x}=\vec{b}\) où \(A\) est une matrice \(2\times 2\text{.}\) Si le système possède au moins une solution, quel est, en fonction du déterminant de \(A\text{,}\) ce qui caractérise le nombre de solutions?
Réponse.
\begin{equation*} \begin{cases}\text{solution unique si} & \det(A)\neq 0 \\ \text{infinité de solutions si} & \det(A) = 0\end{cases} \end{equation*}
Solution.
On affirme qu’il y a au moins une solution. Ainsi, les possibilités sont qu’il y en a une seule ou bien une infinité. D’abord, si la matrice \(A\) est inversible, on a \(A\vec{x}=\vec{b} \Rightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}\text{,}\) ce qui implique que la solution unique est obtenue par ce calcul. Cela se produit lorsque le déterminant de la matrice \(A\) est non nul. Autrement, si le déterminant est nul et que ce calcul est impossible (\(A\) non inversible), alors il y aura une infinité de solutions. Bref,
\begin{equation*} \begin{cases}\text{solution unique si} & \det(A)\neq 0 \\ \text{infinité de solutions si} & \det(A) = 0\end{cases} \end{equation*}

23.

Dans cet exercice, on revient sur l’équation normale d’un plan. Plus particulièrement, on a une manière simple de trouver un vecteur normal, en utilisant le produit vectoriel.
Déterminer une équation normale des plans suivants.
(a)
\(\mathcal{P}_1: (x,y,z)=a(1,2,3)+b(4,5,6)+(-1,6,3)\)
Réponse.
\begin{equation*} \mathcal{P}_1: x-2y+z=-10 \end{equation*}
Solution.
On calcule d’abord le vecteur normal avec l’équation (4.1.2) du produit vectoriel. En effet, puisque l’on veut un vecteur normal au plan, on obtiendra un tel vecteur en faisant le produit vectoriel des vecteurs directeurs.
\begin{align*} \vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v}\\ &=(1,2,3)\times (4,5,6)\\ &=\left(\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 6\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 6\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\end{vmatrix}\right)\\ &=(-3,6,-3) \end{align*}
Afin de simplifier l’équation normale, on choisit un vecteur normal parallèle au résultat, mais plus simple: \(\vec{n}_1=(1,-2,1)\text{.}\) L’équation est donc:
\begin{equation*} x-2y+z=d \end{equation*}
On obtient \(d\) en remplaçant les valeurs des variables par le point connu du plan : \((-1,6,3)\text{.}\)
\begin{equation*} -1-2*6+3=-10 \end{equation*}
Et donc,
\begin{equation*} \mathcal{P}_1: x-2y+z=-10 \end{equation*}
(b)
\(\mathcal{P}_2: (x,y,z)=a(1,2,3)+b(-1,6,3)+(4,5,6)\)
Réponse.
\begin{equation*} \mathcal{P}_2: 6x+3y-4z=15 \end{equation*}
Solution.
On calcule d’abord le vecteur normal avec l’équation (4.1.2) du produit vectoriel. En effet, puisque l’on veut un vecteur normal au plan, on obtiendra un tel vecteur en faisant le produit vectoriel des vecteurs directeurs.
\begin{align*} \vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v}\\ &=(1,2,3)\times (-1,6,3)\\ &=\left(\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 3\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 6\end{vmatrix}\right)\\ &=(-12,-6,8) \end{align*}
Afin de simplifier l’équation normale, on choisit un vecteur normal parallèle au résultat, mais plus simple: \(\vec{n}_2=(6,3,-4)\text{.}\) L’équation est donc:
\begin{equation*} 6x+3y-4z=d \end{equation*}
On obtient \(d\) en remplaçant les valeurs des variables par le point connu du plan : \((4,5,6)\text{.}\)
\begin{equation*} 6*4+3*5-4*6=15 \end{equation*}
Et donc,
\begin{equation*} \mathcal{P}_2: 6x+3y-4z=15 \end{equation*}
(c)
\(\mathcal{P}_3: (x,y,z)=a(-1,6,3)+b(4,5,6)+(1,2,3)\)
Réponse.
\begin{equation*} \mathcal{P}_3: 21x+18y-29z=-30 \end{equation*}
Solution.
On calcule d’abord le vecteur normal avec l’équation (4.1.2) du produit vectoriel. En effet, puisque l’on veut un vecteur normal au plan, on obtiendra un tel vecteur en faisant le produit vectoriel des vecteurs directeurs.
\begin{align*} \vec{n}&=\vec{u}\times\vec{v}\\ &=(-1,6,3)\times (4,5,6)\\ &=\left(\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 6\end{vmatrix},-\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 6\end{vmatrix},\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 6 & 5\end{vmatrix}\right)\\ &=(21,18,-29) \end{align*}
On a un vecteur simple \(\vec{n}_3=(21,18,-29)\text{.}\) L’équation est donc
\begin{equation*} 21x+18y-29z=d\text{.} \end{equation*}
On obtient \(d\) en remplaçant les valeurs des variables par le point connu du plan : \((1,2,3)\text{.}\)
\begin{equation*} 21*1+18*2-29*3=-30 \end{equation*}
Et donc,
\begin{equation*} \mathcal{P}_3: 21x+18y-29z=-30 \end{equation*}

24. La méthode de Cramer \(2\times 2\).

On considère un système d’équations linéaires
\begin{alignat*}{4} a&x&{}+{}&c&y&{}={}& m\\ b&x&{}+{}&d&y&{}={}& n \end{alignat*}
où \(a,b,c,d,m,n\in \R\) sont connus et tels que \(ad-bc\neq 0\text{.}\) Le système possède donc une solution unique.
(a)
Soit \(A=\matcold{a}{b}{c}{d}\text{.}\) la matrice du système d’équations linéaires. On considère la matrice \(X\) identité \(2\times 2\) avec la première colonne remplacée par \(\vecd{x}{y}\text{:}\)
\begin{equation*} X=\matcold{x}{y}{0}{1}\text{.} \end{equation*}
(i)
Calculer \(\det(X)\text{.}\)
Réponse.
\begin{equation*} \det(X)=\begin{vmatrix} x & 0 \\ y & 1\end{vmatrix}=x \end{equation*}
(ii)
Soit \(B_1=AX\text{.}\) Montrer que
\begin{equation*} x=\frac{\det(B_1)}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix} m&c\\n&d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&c\\b&d \end{vmatrix}} \end{equation*}
Solution.
D’abord, on montre que \(x=\frac{\det(B_1)}{\det(A)}\text{.}\) En effet,
\begin{align*} B_1&=AX\\ \det(B_1)&=\det(AX)\\ \det(B_1)&=\det(A)\det(X) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detprod2x2resum.html}{\text{4.1.25:8}} \\ \frac{\det(B_1)}{\det(A)}&=\det(X) \\ \frac{\det(B_1)}{\det(A)}&=x \text{ par (a)} \text{.} \end{align*}
Ensuite, il faut montrer que \(B_1=\begin{pmatrix} m&c\\n&d \end{pmatrix}\text{.}\) Il suffit de multiplier \(A\) par \(X\) et de remarquer qu’on obtient les membres de gauche des équations initiales.
\begin{align*} B_1&=AX\\ &=\matcold{a}{b}{c}{d}\matcold{x}{y}{0}{1}\\ &=\matcold{ax+cy}{bx+dy}{c}{d}\\ &=\matcold{m}{n}{c}{d} \end{align*}
(b)
Répéter la partie précédente avec la matrice \(Y=\matcold{1}{0}{x}{y}\) afin de montrer que
\begin{equation*} y=\frac{\det(B_2)}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix} a&m\\b&n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&c\\b&d \end{vmatrix}} \end{equation*}
Solution.
D’abord, on montre que \(y=\frac{\det(B_2)}{\det(A)}\text{.}\) En effet,
\begin{align*} B_2&=AY\\ \det(B_2)&=\det(AY)\\ \det(B_2)&=\det(A)\det(Y) & \text{ par } \knowl{./knowl/xref/li-detprod2x2resum.html}{\text{4.1.25:8}} \\ \frac{\det(B_2)}{\det(A)}&=\begin{vmatrix} 1&x\\0&y \end{vmatrix} \\ \frac{\det(B_2)}{\det(A)}&=y \text{.} \end{align*}
Ensuite, il faut montrer que \(B_2=\begin{pmatrix} a&m\\b&n \end{pmatrix}\text{.}\) Il suffit de multiplier \(A\) par \(Y\) et de remarquer qu’on obtient les membres de gauche des équations initiales.
\begin{align*} B_2&=AY\\ &=\matcold{a}{b}{c}{d}\matcold{1}{0}{x}{y}\\ &=\matcold{a}{b}{ax+cy}{bx+dy}\\ &=\matcold{a}{b}{m}{n} \end{align*}
(c)
Utiliser la méthode de Cramer pour trouver les solutions au système suivant:
\begin{alignat*}{4} 3&x&{}+{}&2&y&{}={}& 4\\ 4&x&{}+{}&2&y&{}={}& 1\text{.} \end{alignat*}
Réponse.
\begin{equation*} \vecd{x}{y}=\vecd{-3}{\frac{13}{2}} \end{equation*}
Solution.
On donne d’abord toutes les matrices associées au système:
\begin{equation*} A=\matcold{a}{b}{c}{d}=\begin{pmatrix} 3&2\\4&2 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \vecd{m}{n}=\vecd{4}{1} \end{equation*}
Alors,
\begin{equation*} x=\frac{\begin{vmatrix} m&c\\n&d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&c\\b&d \end{vmatrix}} =\frac{\begin{vmatrix} 4&2\\1&2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3&2\\4&2 \end{vmatrix}} =\frac{6}{-2}=-3 \end{equation*}
et
\begin{equation*} y=\frac{\begin{vmatrix} a&m\\b&n \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&c\\b&d \end{vmatrix}} =\frac{\begin{vmatrix} 3&4\\4&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3&2\\4&2 \end{vmatrix}}=\frac{-13}{-2}=\frac{13}{2}\text{.} \end{equation*}

Exercices Sage.

Les exercices qui suivent sont conçus pour être résolus avec Sage. Des cellules vides sont disponibles pour écrire les réponses. Évidemment, il y a plusieurs manières d’arriver aux réponses.
25.
Dans cet exercice, on donne un avant-gout du chapitre 6. On s’intéresse aux solutions à l’équation \(\det(A-xI)=0\text{.}\)
(a)
On considère la matrice
\begin{equation*} A=\matcold{\frac{3}{5}a+\frac{2}{5}b}{-\frac{3}{5}a+\frac{3}{5}b}{-\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}b}{\frac{2}{5}a+\frac{3}{5}b}\text{.} \end{equation*}
(i)
On commence avec \(a=1,b=-1\text{.}\)
(A)
Résoudre l’équation \(\det(A-k I)=0\) en fonction de \(k\text{.}\)
Solution.
Voici une manière de résoudre le problème
a=1
b=-1
A=column_matrix([[3*a/5+2*b/5,-3*a/5+3*b/5],[-2*a/5+2*b/5,2*a/5+3*b/5]])
Id=identity_matrix(2)
var("k")
show(det(A-k*Id))
show(solve(det(A-k*Id),k))
Bloc de code 4.1.36. Le code solution pour l’exercice
(B)
Pour chaque valeur de \(k\) trouvée, déterminer une solution au système d’équations linéaires \(A\vec{v}=k \vec{v}\text{.}\)
Indice.
Ces vecteurs sont aussi une solution de l’équation \((A-k I)\vec{v}=\vec{0}\text{.}\) Trouver une solution spéciale à cette équation.
Solution.
Voici une manière de résoudre le problème
######Pour k=-1 #####
k=-1
show((A-k*Id).rref())
######Pour k=1 ######
k=1
show((A-k*Id).rref())
Bloc de code 4.1.37. Le code solution pour l’exercice
On a donc, lorsque \(k=-1\text{,}\) le vecteur \(\vec{v}_1=(\frac{2}{3},1)\) et, lorsque \(k=1\text{,}\) le vecteur \(\vec{v}_2=(-1,1)\text{.}\)
(C)
Calculer \(A\vec{v}_1\) et \(A\vec{v}_2\) où \(\vec{v}_1,\vec{v}_2\) sont les solutions trouvées ci-dessus.
Solution.
Voici une manière de résoudre le problème
#####Pour v1 #####
v1=vector([2/3,1])
show("Av_1=",A*v1)
#####Pour v2 #####
v2=vector([-1,1])
show("Av_2=",A*v2)
Bloc de code 4.1.38. Le code solution pour l’exercice
On remarque que \(A\vec{v}_1=-\vec{v}_1\) et que \(A\vec{v}_2=\vec{v}_2\text{.}\)
(ii)
Refaire la partie 4.1.4.25.a.i avec \(a,b\) quelconques.
Solution.
Voici une manière de résoudre le problème
var("a,b,k")
A=column_matrix([[3*a/5+2*b/5,-3*a/5+3*b/5],[-2*a/5+2*b/5,2*a/5+3*b/5]])
Id=identity_matrix(2)
show(det(A-k*Id))
show(solve(det(A-k*Id),k))
######Pour k=-1 #####
k=a
show((A-k*Id).rref())
######Pour k=1 ######
k=b
show((A-k*Id).rref())
#####Pour v1 #####
v1=vector([2/3,1])
show("Av_1=",A*v1)
#####Pour v2 #####
v2=vector([-1,1])
show("Av_2=",A*v2)
Bloc de code 4.1.39. Le code solution pour l’exercice
On remarque, encore une fois, que les valeurs de \(k \) qui satisfont l’équation \(\det(A-kI)=0\) sont \(a\) et \(b\text{.}\) Quant aux vecteurs \(v_1,v_2\text{,}\) on retrouve les mêmes vecteurs qu’avec \(a=1,b=-1\text{.}\) Toutefois, on se rend compte que les produits matrice vecteur sont respectivement multipliés par \(a,b\text{.}\) Les valeurs \(a,b\) s’appellent les valeurs propres de la matrice \(A\) et les vecteurs \(\vec{v}_1,\vec{v}_2\) sont des vecteurs propres. Ces valeurs et vecteurs propres seront étudiés au chapitre 6.
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