ALIR Droites et plans

Section 1.3 Droites et plans

Aller aux exercices 1.3.4 de la section.

Lorsqu’on multiplie un vecteur par un scalaire, le vecteur garde la même direction. En observant l’extrémité du vecteur \(c\vec{u}\) lorsque \(c\) parcourt l’ensemble des nombres réels, on remarque qu’elle trace une droite. De même, si l’on a deux vecteurs non nuls et non parallèles \(\vec{u},\vec{v}\) et que l’on considère les vecteurs \(a\vec{u}+b\vec{v}\) lorsque \(a,b\in \R\text{,}\) on remarque que ces vecteurs se retrouvent toujours sur un plan.

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Dans cette section, on introduit la notion de combinaison linéaire de vecteurs et on définit vectoriellement la notion de droite et de plan. On effectue aussi certains calculs, par exemple de distance, à l’aide des outils développés jusqu’à maintenant.

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Sous-section 1.3.1 Les droites

Lorsque deux ou plusieurs vecteurs qui sont multipliés par un scalaire sont additionnés, on parle alors de combinaison linéaire.

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Définition 1.3.1.

Si l’on a \(n\) vecteurs \(\vec{u}_1,\vec{u}_2,\ldots , \vec{u}_n\text{,}\) une combinaison linéaire de ces vecteurs est s’écrit

\begin{equation*} a_1\vec{u}_1+a_2\vec{u}_2+\cdots +a_n\vec{u}_n, \, \text{ où } a_i\in \R \, \text{ pour tout } i=1,2,\ldots , n\text{.} \end{equation*}

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Digression

Les coefficients \(a_1,a_2,\ldots, a_n\) sont parfois appelés les poids de la combinaison linéaire.

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La multiplication par un scalaire, un cas limite de combinaison linéaire, sera aussi considérée comme une combinaison linéaire d’un seul vecteur. À l’aide d’un certain nombre de vecteurs et des combinaisons linéaires, il est possible de générer (ou engendrer) d’autres vecteurs. Par exemple, un vecteur seul peut générer tout autre vecteur parallèle par la bonne combinaison linéaire, alors que deux vecteurs non parallèles de \(\R^2\) pourront engendrer n’importe quel vecteur de \(\R^2\text{.}\) La figure de l’exemple interactif 1.3.2 permet de comprendre ces exemples de manière intuitive, alors que les détails techniques seront abordés avec le concept de base d’un espace à la section [provisional cross-reference: sec-bases].

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Exemple 1.3.2. Combinaison linéaire de deux vecteurs: dynamique.

Dans cet exemple, on considère, pour des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) de \(\R^2\text{,}\) les combinaisons de la forme \(a\vec{u}\) et \(a\vec{u}+b\vec{v}\text{.}\) En se référant à la figure 1.3.3, sans toucher aux vecteurs de départ, on s’intéresse aux questions suivantes:

Au départ, les poids de la combinaison linéaire valent \(0\text{.}\) En laissant l’un des paramètres nul et en faisant varier l’autre, on observe que la combinaison linéaire n’est qu’une multiplication par un scalaire. Celle-ci se déplace sur une droite. Ceci est cohérent avec les observations faites lors de l’exemple 1.1.17.
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En cliquant sur "grille" et en prenant des valeurs entières de \(a\) et \(b\text{,}\) on observe que les multiplications de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{,}\) respectivement par les scalaires \(a\) et \(b\text{,}\) se retrouvent aux intersections de la grille. Si, en plus, on fait afficher la combinaison linéaire, on peut voir géométriquement l’addition des vecteurs \(a\vec{u}\) et \(b\vec{v}\text{.}\)
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On fixe une valeur de \(b\) quelconque, entière ou non et on laisse varier \(a\text{.}\) Qu’observe-t-on?
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Est-il possible de décrire n’importe quel vecteur de \(\R^2\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ? Cette question revient à dire, étant donné un vecteur \(\vec{w}=(w_1,w_2)\text{,}\) que l’on peut trouver des coefficients \(a,b\) tels que

\begin{equation*} a\begin{pmatrix}u_1\\u_2 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Puisque deux vecteurs sont égaux si leurs composantes respectives le sont, on obtient les deux équations suivantes:

\begin{align*} au_1+bv_1&=w_1\\ au_2+bv_2&=w_2\text{.} \end{align*}

Ce type de paires d’équations à résoudre est appelé un système d’équations linéaires et sera l’objet d’étude du chapitre 3.

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Il est assez simple de voir intuitivement que, dès que deux vecteurs sont non parallèles dans \(\R^2\text{,}\) on peut écrire n’importe quel autre vecteur en fonction de ceux-ci. Un clic sur "Cible" fera apparaitre un point (plutôt qu’un vecteur, pour ne pas encombrer davantage la figure). À l’aide des curseurs, il devrait être possible de trouver une combinaison linéaire dont l’extrémité sera le point "Cible".
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On observe ce qui se passe lorsque les vecteurs initiaux sont changés, en particulier si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont parallèles.

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Instructions.

Il est possible de déplacer les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\text{.}\) En cliquant sur "combinaison linéaire", on fait apparaitre le vecteur \(a\vec{u}+b\vec{v}\text{.}\) Les coefficients \(a\) et \(b\) peuvent être changés à l’aide des curseurs. On peut aussi afficher une grille suivant les multiples entiers des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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Figure 1.3.3. Combinaison linéaire dans \(\R^2\)

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Les observations de l’exemple 1.3.2 permettent de voir que les vecteurs et les droites sont des notions étroitement liées. On est tous et toutes capables de déterminer l’équation d’une droite, souvent de la forme \(y=ax+b\text{,}\) à l’aide d’informations comme deux points appartenant à la droite ou encore d’un point et de la pente. Pourquoi, alors, développer une théorie vectorielle pour un objet aussi bien connu?

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La réponse à cette question se trouve en particulier dans \(\R^3\text{.}\) En effet, l’équation \(y=ax+b\) vue dans \(\R^3\) décrit non pas une droite, mais un plan (plus d’information sur les plans dans la sous-section 1.3.2). Pour comprendre cela, on rappelle qu’un point dans \(\R^3\) est composé d’une valeur \(x,y\) et \(z\text{.}\) Comme l’équation \(y=ax+b\) lie les variables \(x\) et \(y\text{,}\) mais laisse \(z\) libre, pour chaque couple \(x,y\) satisfaisant l’équation \(y=ax+b\text{,}\) il existe une infinité de valeurs \(z\) la satisfaisant aussi, d’où le plan plutôt que la droite. Une approche vectorielle permettra de décrire une droite dans \(\R^3\) et ainsi de surmonter cette difficulté.

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Une droite passant par l’origine \(\mathcal{D}_0\text{,}\) dans \(\R^2\) ou \(\R^3\text{,}\) peut toujours être décrite comme l’ensemble des points \(P(x,y)\) ou \(P(x,y,z)\) atteints par la multiplication d’un certain vecteur \(\vec{v}\) par un scalaire réel. Le vecteur \(\vec{v}\) est appelé le vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}_0\text{.}\) On donne alors l’équation vectorielle de la droite comme étant l’ensemble des points \(P\) tels que

\begin{equation*} \vecl{OP}=c\vec{v} \quad c\in \R\text{.} \end{equation*}

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Évidemment, toute droite ne passe pas par l’origine. Si une droite \(\mathcal{D}\) ne passant pas par l’origine passe par un point \(A\) quelconque, mais est parallèle à une droite \(\mathcal{D}_0\text{,}\) qui passe par l’origine, on peut obtenir une équation vectorielle pour \(\mathcal{D}\) en translatant les points de la droite \(\mathcal{D}_0\) le long du vecteur \(\vecl{OA}\text{.}\) On obtient alors l’équation

\begin{equation} \vecl{OP}=c\vec{v}+\vecl{OA}\text{,}\tag{1.3.1} \end{equation}

où \(\vec{v}\) est le vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}_0\text{.}\) Le vecteur directeur est l’équivalent de la pente \(a\) et le point \(A\) est l’équivalent de l’ordonnée à l’origine \(b\) dans l’équation \(y=ax+b\text{.}\)

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Connaitre le vecteur directeur est un peu l’équivalent de connaitre la pente de la droite. Parfois, on connait deux points \(A,B\) et on veut trouver l’équation de la droite passant par ces points. On peut créer un vecteur directeur en déterminant le vecteur reliant \(A\) et \(B\text{.}\)

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Exemple 1.3.4. L’équation de droites.

Considérons le point \(A(3,-2)\) de \(\R^2\) et les points \(B(1,1,-2)\) et \(C(-3,2,1)\text{.}\) On cherche l’équation de la droite dans \(\R^2\) qui passe par le point \(A\) et qui a la même direction que la droite \(\mathcal{D}_0: \vecl{OP}=c (1,-5)\) et l’équation de la droite dans \(\R^3\) qui passe par \(B\) et \(C\text{.}\)

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Solution 1.

La première partie est assez simple, puisque toute l’information nous est donnée. On connait un point de la droite et la direction. L’équation est donc

\begin{equation*} \mathcal{D}_1: \vecl{OP}=c(1,-5)+(3,-2)\text{.} \end{equation*}

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Solution 2.

Pour la seconde partie, on doit d’abord trouver un vecteur directeur pour la droite. Le vecteur \(\vecl{BC}=(-3,2,1)-(1,1,-2)=(-4,1,3)\) fera l’affaire. Pour un point, on a le choix entre \(B\) ou \(C\text{,}\) n’importe lequel fera l’affaire. On obtient finalement

\begin{equation*} \mathcal{D}_2: \vecl{OP}=c(-4,1,3)+(1,1,-2)\text{.} \end{equation*}

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Pour une droite dans \(\R^2\text{,}\) il n’y a qu’une seule paire de nombres \(a,b\in \R\) décrivant la droite sous la forme \(y=ax+b\text{.}\) Par contre, cette équation peut être multipliée par n’importe quelle constante \(c\neq 0\) et la nouvelle équation \(cy=cax+cb\) décrit toujours la même droite, sous une forme moins conventionnelle. L’équation vectorielle d’une droite n’est pas unique. En effet, n’importe quel point \(A\) sur la droite peut être utilisé comme point de départ et n’importe quel multiple non nul du vecteur directeur peut être utilisé. En fait, on devrait parler d’une équation vectorielle de la droite plutôt que de l’équation vectorielle, mais on accepte cet abus de langage.

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Exemple 1.3.5. L’équation vectorielle n’est pas unique.

On reprend l’équation de la droite dans \(\R^3\) de l’exemple 1.3.4

\begin{equation*} \vecl{OP}=c(-4,1,3)+(1,1,-2)\text{.} \end{equation*}

En utilisant le point \(C\) plutôt que le point \(B\) et un vecteur parallèle à \(\vecl{BC}=(-4,1,3)\text{,}\) disons en le multipliant par \(-2\text{,}\) on obtient une nouvelle représentation pour la droite \(\mathcal{D}_2\) :

\begin{equation*} \mathcal{D}_2: \vecl{OP}=k(8,-2,-6)+(-3,2,1)\text{.} \end{equation*}

On remarque l’utilisation du scalaire \(k\) plutôt que \(c\) afin d’évoquer la différence entre les deux équations. On aurait pu utiliser \(c\) également, en gardant en tête qu’une valeur de \(c\) dans la première représentation de la droite ne donnera pas nécessairement le même point que cette même valeur de \(c\) dans la nouvelle représentation.

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Comment s’assurer que ces deux équations décrivent la même droite? Une manière simple est de partir de l’une des équations et de montrer que l’on peut arriver à l’autre par une suite de manipulations algébriques. Dans notre cas, on a

\begin{align*} \vecl{OP}&=c(-4,1,3)+(1,1,-2)\\ &=c(-4,1,3)+(1,1,-2)+(-4,1,3)-(-4,1,3)\\ &=(c-1)(-4,1,3)+(-3,2,1)\\ &=\frac{c-1}{2}(8,-2,-6)+(-3,2,1)\\ &=k(8,-2,-6)+(-3,2,1)\text{,} \end{align*}

où \(k=\frac{c-1}{2}\text{.}\) Comme on peut faire les opérations dans l’ordre inverse, les deux représentations sont équivalentes.

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On va maintenant s’intéresser à réconcilier la forme vectorielle d’une droite à la forme standard \(y=ax+b\text{,}\) pour les droites de \(\R^2\text{.}\)

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Exemple 1.3.6. De la forme standard à la forme vectorielle.

Considérons une droite dans \(\R^2\text{,}\) par exemple \(y=3x-4\text{.}\) Sous forme vectorielle, on cherche à exprimer l’ensemble de points \(P\) sur la droite. Ces points sont de la forme \((x,y)=(x,3x-4)\text{.}\) On peut décomposer cette forme afin d’obtenir la forme vectorielle.

\begin{align*} \vecl{OP}&=(x,y)\\ &=(x,3x-4)\\ &=(x,3x)+(0,-4)\\ &=x(1,3)+(0,-4)\text{.} \end{align*}

On trouve donc une droite de vecteur directeur \((1,3)\) passant par le point \((0,-4)\text{.}\) On Remarque qu’en suivant cette démarche, la première composante du vecteur directeur sera toujours \(1\text{,}\) et la seconde correspondra à la pente de la droite.

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Évidemment, ce n’est pas la seule forme valide pour décrire la droite vectoriellement.

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Exemple 1.3.7. De la forme vectorielle à la forme standard.

Considérons une droite dans \(\R^2\text{,}\) par exemple \(\vecl{OP}=c(3,2)+(5,-1)\text{.}\) On cherche la forme \(y=ax+b\) de cette droite. Plusieurs démarches sont possibles. On peut facilement trouver deux points en utilisant deux scalaires différents dans la forme vectorielle. Par la suite, la démarche usuelle mènera à l’équation de la droite.

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On peut aussi y aller avec l’interprétation géométrique du vecteur directeur. Le vecteur \((3,2)\) correspond à un déplacement horizontal de \(3\) unités et un déplacement vertical de \(2\) unités. Ceci nous donne la pente \(a=\frac{2}{3}\text{.}\) Pour trouver l’ordonnée à l’origine, qui correspond à la valeur de \(y\) lorsque \(x=0\text{,}\) il suffit de mettre la première composante de la forme vectorielle à \(0\) et de trouver la valeur de \(c\) pour laquelle cela est possible. Si \(0=3c+5\text{,}\) alors \(c=-\frac{5}{3}\text{.}\) On trouve alors l’ordonnée à l’origine en remplaçant cette valeur de \(c\) dans la deuxième composante du vecteur, soit \(y=2\pfrac{-5}{3}-1=-\frac{13}{3}\text{.}\) La droite est donc aussi décrite par l’équation

\begin{equation*} y=\frac{2}{3}x-\frac{13}{3}\text{.} \end{equation*}

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En regardant de manière plus détaillée l’équation vectorielle d’une droite \(\mathcal{D}\text{,}\) plus particulièrement avec la notation verticale pour les vecteurs, on découvre une autre manière de décrire la droite, composante par composante.

\begin{equation} \mathcal{D}: \vecl{OP}=c\vec{v}+\vecl{OA}\tag{1.3.2} \end{equation}

\begin{equation} \mathcal{D}: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=c \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\tag{1.3.3} \end{equation}

\begin{equation} \mathcal{D}:\begin{cases} x= cv_1+a_1\\ y=cv_2+a_2 \\ z=cv_3+a_3\end{cases}\text{.}\tag{1.3.4} \end{equation}

Cette dernière manière de décrire la droite \(\mathcal{D}\) est appelée la forme paramétrique d’une droite, ou encore les équations paramétriques d’une droite. On y voit d’ailleurs que chaque composante \(x,y\) et \(z\) est en quelque sorte elle-même l’équation d’une droite, \(x=cv_1+a_1, y=cv_2+a_2\) et \(z=cv_3+a_3\text{.}\) La variable indépendante ici est \(c\) et chaque composante du vecteur \(\vec{v}\) est associée à la "pente", alors que les composantes du vecteur \(\vecl{OA}\) sont associées aux "ordonnées à l’origine".

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Les équations paramétriques se généralisent à des courbes quelconques dans le plan ou l’espace. Ce sujet est exploré dans la section [provisional cross-reference: sec-upplvec].

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On regarde une autre manipulation de l’équation d’une droite. Celle-ci ne sera valide que pour une droite dans \(\R^2\text{,}\) mais reste toutefois importante. On considère à nouveau les équations paramétriques d’une droite dans \(\R^2\) :

\begin{equation} \mathcal{D}: \begin{cases} x= cv_1+a_1\\ y=cv_2+a_2 \end{cases}\text{.}\tag{1.3.5} \end{equation}

On va tenter d’éliminer le paramètre \(c\text{,}\) un peu comme on l’a fait à l’exemple 1.3.7. On utilsera cependant une autre méthode, qui sera en quelque sorte un avant-gout de la section 3.1. On multiplie les équations paramétriques par \(v_2\) pour la première et \(v_1\) pour la seconde afin d’obtenir

\begin{equation*} \mathcal{D}: \begin{cases} v_2x= cv_1v_2+a_1v_2\\ v_1y=cv_1v_2+a_2v_1 \end{cases}\text{.} \end{equation*}

On soustrait maintenant la première équation de la seconde pour obtenir

\begin{align*} v_1y-v_2x&=cv_1v_2+a_2v_1-cv_1v_2-a_1v_2\\ v_1y-v_2x&=a_2v_1-a_1v_2\text{.} \end{align*}

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On remarque la présence des variables \(x,y\) d’un côté de l’équation, affectées de constantes, alors que l’autre côté est composé d’une constante dépendante du point et du vecteur directeur.

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On simplifie un peu l’écriture en posant \(a=-v_2,b=v_1\) et \(c=a_2v_1-a_1v_2=aa_1+ba_2\text{.}\) On obtient alors

\begin{equation} \mathcal{D}: \, ax+by=c\text{,}\tag{1.3.6} \end{equation}

une forme semblable à la forme standard, mais plus générale. En effet, avec la forme \(y=ax+b\text{,}\) il est impossible de décrire une droite verticale, mais avec la forme \(ax+by=c\text{,}\) il suffit que \(b=0\) pour obtenir une droite verticale.

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Digression

On peut aller plus loin dans l’analyse. En posant \(\vec{n}=(a,b)=(-v_2,v_1)\text{,}\) il est possible de réécrire l’équation normale à l’aide du produit scalaire:

\begin{align*} c&=ax+by\\ 0&=ax+by-c\\ 0&=ax+by-aa_1-ba_2\\ 0&=a(x-a_1)+b(y-a_2)\\ 0&=(a,b)\cdot (x-a_1,y-a_2)\\ 0&=\vec{n}\cdot \vecl{AP}\text{.} \end{align*}

De cette dernière équation, on déduit que le vecteur \(\vec{n}\) est perpendiculaire au vecteur \(\vecl{AP}\text{.}\) Puisque \(A\) et \(P\) sont sur la droite, le vecteur \(\vecl{AP}\) est parallèle au vecteur directeur de la droite et donc, le vecteur \(\vec{n}\) est perpendiculaire à la droite elle-même. Pour cette raison, la forme \(ax+by=c\) est appelée l’équation normale de la droite \(\mathcal{D}\) et le vecteur \(\vec{n}\) est un vecteur normal.

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Avant de voir pourquoi l’équation normale d’une droite n’est pas possible dans \(\R^3\text{,}\) on énonce une proposition intéressante découlant des calculs que l’on vient de faire.

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Proposition 1.3.8. Le vecteur perpendiculaire.

Soit \(\vec{v}=(v_1,v_2)\) un vecteur de \(\R^2\) non nul. Alors le vecteur \(\vec{v}_{\perp}=(-v_2,v_1)\) est perpendiculaire à \(\vec{v}\text{.}\)

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Démonstration.

Il suffit de vérifier que l’on a bien \(\vec{v}\cdot \vec{v}_{\perp}=0\text{.}\) Algébriquement,

\begin{equation*} \vec{v}\cdot \vec{v}_{\perp}=(v_1,v_2)\cdot(-v_2,v_1)=-v_1v_2+v_2v_1=0 \end{equation*}

et donc, c’est vérifié.

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On remarque que la direction du vecteur normal \(\vec{n}\) est la seule qui soit perpendiculaire à la droite dans \(\R^2\text{.}\) Considérons maintenant une droite quelconque \(\mathcal{D}\) et un point \(A\) sur cette droite. Combien de droites perpendiculaires à \(\mathcal{D}\) et passant par \(A\) existe-t-il? Si la droite est dans \(\R^2\text{,}\) une seule droite satisfait ces conditions, mais si \(\mathcal{D}\) est dans \(\R^3\text{,}\) il y en a une infinité. La figure 1.3.9 permet de voir une droite bleue, ainsi que trois autres droites en rouge qui sont de directions différentes, mais perpendiculaires à la droite bleue.

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Figure 1.3.9. Des droites perpendiculaires

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Toutefois, ces droites rouges ont la particularité d’être toutes sur un même niveau. En réalité, on dit qu’elles sont contenues dans un même plan. Les plans sont l’objet d’étude de la prochaine sous-section. La figure 1.3.9 permet aussi de constater qu’étant donné deux vecteurs de \(\mathbb{R}^3\text{,}\) il existe une seule orientation perpendiculaire aux deux vecteurs à la fois. On regarde comment on peut trouver une telle direction.

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Exemple 1.3.10. Un vecteur perpendiculaire à deux autres dans l’espace.

On considère les vecteurs \(\vec{u}=(2,1,0)\) et \(\vec{v}=(1,0,-1)\text{.}\) On cherche à déterminer un vecteur \(\vec{w}\) qui est perpendiculaire à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\text{.}\)

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Solution.

Soit \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)\text{.}\) On doit avoir

\begin{align*} \vec{w}\cdot\vec{u}&=0\\ (w_1,w_2,w_3)\cdot (2,1,0)&=0\\ 2w_1+w_2&=0 \end{align*}

\begin{align*} \vec{w}\cdot\vec{v}&=0\\ (w_1,w_2,w_3)\cdot (1,0,-1) &=0\\ w_1-w_3&=0\text{.} \end{align*}

On a par conséquent trois inconnues à déterminer et deux équations qui les relient. En réarrangeant les équations, on arrive à \(w_2=-2w_1\) et \(w_3=w_1\text{.}\) En particulier, on a écrit deux des trois composantes du vecteur selon la première. Le vecteur \(\vec{w}\) peut donc être exprimé comme \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)=(w_1,-2w_1,w_1)\text{.}\) On met le facteur commun \(w_1\) en évidence pour obtenir \(\vec{w}=w_1(1,-2,1)\text{,}\) avec \(w_1\) un nombre réel quelconque. On dit que \(w_1\) est une variable libre, car elle n’est pas sujette à des contraintes comme \(w_2\) et \(w_3\) le sont en vertu des équations ci-dessus. Peu importe la valeur de \(w_1\text{,}\) on obtient un multiple du vecteur \((1,-2,1)\) qui sera perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On peut donc choisir ce vecteur (en posant \(w_1=1\)) comme étant l’orientation cherchée.

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Dans l’exemple précédent, les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont été choisis afin que les calculs demeurent simples. En ayant l’une des composantes égales à \(0\text{,}\) il était possible d’isoler facilement deux des variables en fonction de la troisième. L’exemple 1.3.18 montre un cas plus complexe et la proposition 1.3.20 permet d’obtenir une formule générale.

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On termine avec des commandes Sage en lien avec la sous-section.

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Calcul 1.3.11. Les droites avec Sage.

Pour tracer une droite dans \(\R^2\) ou dans \(\R^3\text{,}\) deux options sont possibles. La première option est simple et nécessite deux points sur la droite. Il suffit alors d’utiliser la commande line.

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Une autre option, plus flexible, utilise les équations paramétriques. Elle est plus flexible puisqu qu’elle permet de décrire des courbes quelconques comme celles explorées dans la section [provisional cross-reference: sec-upplvec]. La commande est parametric_plotou parametric_plot3d, selon le cas.

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On illustre les deux droites solutions de l’exemple 1.3.4.

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Les options habituelles de couleur, épaisseur, etc. sont aussi disponibles.

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Si l’équation de la droite est donnée vectoriellement, il est aussi possible de la tracer avec la commande parametric_plotou son équivalent \(3D\text{.}\)

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Sous-section 1.3.2 Les plans

Après avoir considéré la géométrie derrière les combinaisons linéaires d’un vecteur, on s’intéresse maintenant à la géométrie des combinaisons de deux vecteurs. Plus spécifiquement, deux vecteurs non nuls et non parallèles \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) engendrent un plan. Lorsque ces vecteurs se trouvent dans \(\R^2\text{,}\) on obtient l’ensemble du plan cartésien, tel qu’observé à l’exemple 1.3.2.

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Dans \(\R^3\text{,}\) les combinaisons linéaires \(a\vec{u}+b\vec{v}\) génèrent un plan passant par l’origine lorsque \(a,b\) parcourent toutes les valeurs réelles possibles. Ceci est illustré à l’exemple 1.3.12.

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Exemple 1.3.12. Combinaison linéaire en trois dimensions: dynamique.

Cet exemple est semblable à l’exemple 1.3.2, mais avec des vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) de \(\R^3\text{.}\) Les combinaisons de la forme \(a\vec{u}\) et \(a\vec{u}+b\vec{v}\) sont étudiées en se référant à la figure 1.3.13 et aux questions suivantes:

Comme précédemment, les multiples d’un seul vecteur donnent une droite.
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En cliquant sur "grille" et en prenant des valeurs entières de \(a\) et \(b\text{,}\) on observe que les multiplications par un scalaire respectives de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) se retrouvent à une intersection de la grille. Si en plus on fait afficher la combinaison linéaire, on peut voir géométriquement l’addition des vecteurs \(a\vec{u}\) et \(b\vec{v}\text{.}\)
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Est-il possible de décrire n’importe quel vecteur de \(\R^3\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{?}\) Cette question revient à dire, étant donné un vecteur \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)\text{,}\) peut-on trouver des coefficients \(a,b\) tels que

\begin{equation*} a\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Puisque deux vecteurs sont égaux si leurs composantes respectives le sont, on obtient les deux équations suivantes:

\begin{align} au_1+bv_1&=w_1\tag{1.3.7}\\ au_2+bv_2&=w_2\tag{1.3.8}\\ au_3+bv_3&=w_3\text{.}\tag{1.3.9} \end{align}

Cette fois-ci, on a trois équations, mais seulement deux inconnues. Si l’on ne se soucie pas de l’équation (1.3.9), on peut, probablement, trouver des valeurs de \(a,b\) qui vont satisfaire les équations (1.3.7) et (1.3.8). Ces valeurs ne vont pas forcément satisfaire l’autre équation. Les détails et cas possibles pouvant survenir seront traités au chapitre 3.

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Un clic sur "Cibles" fera apparaitre deux points dans l’espace. L’un de ces points sera toujours atteignable par une combinaison linéaire appropriée de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{,}\) mais l’autre ne le sera probablement pas. Pourquoi?
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Un clic sur "Plan" fera apparaitre l’ensemble des points qui sont atteignables par combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) Le point "Cible1" est sans doute à l’extérieur de ce plan et ne peut donc pas être atteint. Par contre, "Cible2" a été construit de façon à toujours être dans l’ensemble des combinaisons linéaires possibles.
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Instructions.

Il est possible de déplacer les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\text{.}\) En cliquant sur "combinaison linéaire", on fait apparaitre le vecteur \(a\vec{u}+b\vec{v}\text{.}\) Les coefficients \(a\) et \(b\) peuvent être changés à l’aide des curseurs. On peut faire s’afficher une grille suivant les multiples entiers des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un plan donnant l’ensemble des combinaisons linéaires possibles.

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Figure 1.3.13. Combinaison linéaire dans \(\R^3\)

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Un plan passant par l’origine \(\mathcal{P}_0\) dans \(\R^3\) peut être décrit comme le lieu géométrique des points \(P(x,y,z)\) pouvant être obtenus comme une combinaison linéaire de deux vecteurs non nuls et non parallèles \(\vec{u},\vec{v}\text{.}\) Ces deux vecteurs sont appelés des vecteurs directeurs du plan \(\mathcal{P}_0\text{.}\) On peut aussi décrire le plan par une équation vectorielle, soit

\begin{equation*} \vecl{OP}=a\vec{u}+b\vec{v} \,\, a,b\in \R\text{.} \end{equation*}

En principe, un plan dans \(\R^2\) est équivalent à tout \(\R^2\text{,}\) on se concentre donc davantage sur les plans dans \(\R^3\text{.}\)

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Pour décrire un plan \(\mathcal{P}\) passant par un point \(A\) quelconque et de vecteurs directeurs \(\vec{u},\vec{v}\text{,}\) il est possible d’utiliser une approche semblable à celle utilisée pour les droites et de translater un plan passant par l’origine \(\mathcal{P}_0\text{,}\) lui aussi de vecteurs directeurs \(\vec{u},\vec{v}\text{,}\) le long du vecteur \(\vecl{OA}\text{.}\) La figure 1.3.14 illustre cette approche.

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Figure 1.3.14. Un plan dans \(\R^3\) passant par un point \(A\text{.}\)

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On obtient alors l’équation vectorielle du plan

\begin{equation} \mathcal{P}: \, \vecl{OP}=a\vec{u}+b\vec{v}+\vecl{OA}\text{.}\tag{1.3.10} \end{equation}

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Comme c’était le cas pour les droites, un plan peut avoir plusieurs équations vectorielles le décrivant, toutes équivalentes. On dira toutefois « l’équation » du plan plutôt qu’ « une équation », sachant que l’équation n’est pas unique.

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Également, on peut aussi considérer l’équation vectorielle comme un ensemble d’équations paramétriques, comme pour les droites. À noter que deux paramètres sont nécessaires, représentant l’aspect bidimensionnel d’un plan.

\begin{equation} \mathcal{P}: \quad \begin{cases} x= au_1+bv_1+a_1\\ y= au_2+bv_2+a_2\\ z= au_3+bv_3+a_3\\ \end{cases}\text{.}\tag{1.3.11} \end{equation}

Plus généralement, ce type d’équation est pratique pour décrire des surfaces dans l’espace, aussi explorées à la section [provisional cross-reference: sec-upplvec].

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Lorsque trois points qui ne sont pas alignés sont donnés, on peut toujours trouver l’équation d’un plan passant par ces trois points.

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Exemple 1.3.15. L’équation d’un plan passant par trois points.

Soit \(A(7,1,0),B(5,0,1)\) et \(C(5,0,0)\) trois points de l’espace. On cherche une équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A,B\) et \(C\text{.}\)

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Solution.

Pour décrire un plan vectoriellement, on a besoin d’un point et de deux vecteurs directeurs. L’ensemble des points sur la droite passant par \(A\) et \(B\) doit forcément faire partie du plan, tout comme l’ensemble des points sur la droite passant par \(A\) et \(C\text{.}\) En particulier, les vecteurs \(\vecl{AB}=(-2,-1,1)\) et \(\vecl{AC}=(-2,-1,0)\) peuvent être considérés comme des vecteurs directeurs du plan cherché. En prenant comme point particulier le point \(A\text{,}\) on obtient

\begin{equation*} \mathcal{P}: \, \vecl{OP}=a(-2,-1,1)+b(-2,-1,0)+(7,1,0)\text{.} \end{equation*}

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Exemple 1.3.16. Déterminer si un point est sur un plan.

Considérons le plan \(\mathcal{P}\) d’équation vectorielle \(\vecl{OP}=a(2,-1,3)+b(-1,0,2)+(1,2,3)\text{.}\) On cherche à savoir si les points \(A(-6,3,10)\) et \(B(10,1,-4)\) font partie du plan.

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Solution 1.

Pour savoir si le point \(A\) est dans le plan, il faut trouver \(a,b\) tels que

\begin{equation*} \begin{pmatrix}-6\\3\\ 10 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

De cette équation vectorielle, on tire les équations suivantes:

\begin{align} -7&=2a-b\tag{1.3.12}\\ 1&=-a\tag{1.3.13}\\ 7&=3a+2b\text{.}\tag{1.3.14} \end{align}

L’équation (1.3.13)donne immédiatement \(a=-1\text{,}\) et en remplaçant cette valeur dans les équations (1.3.12)et (1.3.14), on trouve \(b=5\text{.}\) Une vérification rapide montre qu’on a bel et bien \(\begin{pmatrix}-6\\3\\ 10 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}.\)

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Solution 2.

Pour savoir si le point \(B\) est dans le plan, il faut trouver \(a,b\) tels que

\begin{equation*} \begin{pmatrix}10\\1\\ -4 \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

De cette équation vectorielle, on tire les équations suivantes:

\begin{align} 9&=2a-b\tag{1.3.15}\\ -1&=-a\tag{1.3.16}\\ -7&=3a+2b\text{.}\tag{1.3.17} \end{align}

L’équation (1.3.16) donne immédiatement \(a=1\text{.}\) En remplaçant cette valeur dans les équations (1.3.15) et (1.3.17), on trouve une incohérence, puisque d’une part, l’équation (1.3.15) demande à ce que \(b=-7\) alors l’équation que (1.3.17) demanque que \(b=-5\text{.}\) Comme \(b\) ne peut être simultanément \(-7\) et \(-5\text{,}\) on conclut que le point \(B\) ne peut pas appartenir au plan \(\mathcal{P}\text{.}\)

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On verra prochainement une autre manière de déterminer si un point appartient à un plan de \(\R^3\) et le chapitre 3 donnera une méthode structurée pour résoudre les systèmes d’équations comme ceux dans cet exemple.

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Dans \(\R^2\text{,}\) il y a une seule direction perpendiculaire à une droite donnée alors que dans \(\R^3\text{,}\) il en existe une infinité. Pour un plan dans \(\R^3\text{,}\) il n’y a aussi qu’une seule direction perpendiculaire au plan. Comment peut-on la trouver? Avant de procéder, on démontre le résultat suivant.

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Proposition 1.3.17. Orthogonalité et combinaison linéaire.

Soit \(\vec{u},\vec{v}\) et \(\vec{w}\) tels que \(\vec{w}\) est perpendiculaire à la fois à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) Alors \(\vec{w}\) est perpendiculaire à toute combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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Démonstration.

Soit \(\vec{r}=a\vec{u}+b\vec{v}\) une combinaison linéaire quelconque des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On doit montrer que \(\pscal{r}{w}=0\text{.}\) On a

\begin{align*} \pscal{r}{w}&=(a\vec{u}+b\vec{v})\cdot \vec{w} &&\\ &=a\vec{u}\cdot\vec{w}+b\vec{v}\cdot\vec{w} && \text{ par la propriété } \knowl{./knowl/xref/li-propprodscal-dist.html}{\text{1.2.7:3}}\text{ de la proposition } \knowl{./knowl/xref/prop-propprodscal.html}{\text{1.2.6}}\\ &=a*0+b*0 & & \text{ par hypothèse, } \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont perpendiculaires à } \vec{w}\\ &=0\text{.} \end{align*}

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Ainsi, \(\vec{w}\) est perpendiculaire à toute combinaison linéaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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On illustre maintenant la méthode pour trouver la direction perpendiculaire au plan avec un exemple numérique. La proposition 1.3.20 et plus tard l’exemple 4.1.19 donneront une manière générale de déterminer cette direction.

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Exemple 1.3.18. L’équation d’une droite perpendiculaire à un plan.

On considère le plan d’équation \(\mathcal{P}: (x,y,z)=a(2,1,4)+b(-2,2,1)+(3,2,-1)\text{.}\) On cherche l’équation de la droite \(\mathcal{D}\) qui passe par le point \(A(3,2,-1)\) et qui est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\text{.}\)

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Solution.

Pour trouver l’équation de la droite, on doit trouver un vecteur directeur et un point.

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Soit \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)\text{,}\) un vecteur directeur de cette droite. Si l’on réussit à trouver \(\vec{w}\) perpendiculaire à \(\vec{u}=(2,1,4)\) et \(\vec{v}=(-2,2,1)\text{,}\) alors, selon la proposition 1.3.17, \(\vec{w}\) sera orthogonal à tous les vecteurs du plan. On doit avoir

\begin{align*} \vec{w}\cdot\vec{u}&=0\\ (w_1,w_2,w_3)\cdot (2,1,4)&=0\\ 2w_1+w_2+4w_3&=0 \end{align*}

\begin{align*} \vec{w}\cdot\vec{v}&=0\\ (w_1,w_2,w_3)\cdot (-2,2,1) &=0\\ -2w_1+2w_2+w_3&=0\text{.} \end{align*}

On a par conséquent trois inconnues à déterminer et deux équations qui les relient. Contrairement à l’exemple 1.3.10, il n’est pas possible d’isoler une variable selon une seule autre dans chacune des équations. Toutfois, en réarrangeant la première équation, on arrive à \(w_2=-2w_1-4w_3\) et en remplaçant \(w_2\) dans la seconde équation et en réarrangeant, on obtient

\begin{align*} -2w_1+2w_2+w_3&=0\\ -2w_1+2(-2w_1-4w_3)+w_3&=0\\ -6w_1-7w_3&0\\ w_1&=-\frac{7}{6}w_3\text{.} \end{align*}

À nouveau, on remplace cette valeur, mais dans la première équation pour finalement obtenir

\begin{align*} w_2&=-2w_1-4w_3\\ &=-2\left(-\frac{7}{6}w_3\right)-4w_3\\ &=\frac{7}{3}w_3-\frac{12}{3}w_3\\ &=-\frac{5}{3}w_3\text{.} \end{align*}

Le vecteur \(\vec{w}\) peut donc être exprimé comme \(\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)=\left(-\frac{7}{6}w_3,-\frac{5}{3}w_3,w_3\right)\text{,}\) avec \(w_3\) un nombre réel quelconque. Pour choisir le vecteur directeur de la droite, on peut prendre n’importe quelle valeur non nulle de ce vecteur. En posant \(w_3=6\) on obtient \(\vec{w}=(-7,-10,6)\text{.}\)

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Puisque l’on cherchait l’équation de la droite passant par le point \((3,2,-1)\text{,}\) la réponse est

\begin{equation*} \mathcal{D}: (x,y,z)=c(-7,-10,6)+(3,2,-1) \quad c\in \R\text{.} \end{equation*}

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Une équation de la forme

\begin{equation} \mathcal{P}:ax+by+cz=d\tag{1.3.18} \end{equation}

est appelée une équation normale d’un plan dans \(\R^3\text{.}\) On peut aussi la réécrire sous la forme \(\vec{n}\cdot\vecl{AP}=0\text{,}\) où \(\vec{n}=(a,b,c)\) est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan. L’exemple 1.3.18 montre comment passer de l’équation vectorielle à l’équation normale. En effet, le vecteur directeur de la droite perpendiculaire au plan servira de vecteur normal \(\vec{n}\text{.}\) On a donc \(\vec{n}=(-7,-10,6)\text{.}\) On peut calculer la valeur de la constante manquante en remplaçant dans l’équation n’importe quel point sur le plan. On utilise le point \((3,2,-1)\) puisqu’on sait qu’il s’y trouve. On y arrive ainsi:

\begin{align*} \mathcal{P}&:ax+by+cz=d\\ \mathcal{P}&:-7*x-10*y+6*z=d\\ \mathcal{P}&:-7*3-10*2-6*1=d\\ \mathcal{P}&:-43=d\\ \mathcal{P}&:-7x-10y+6z=-43 \end{align*}

On regarde maintenant la situation inverse.

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Exemple 1.3.19. De l’équation normale à l’équation vectorielle.

Soit l’équation \(3x+2y+z=4\) une équation normale d’un plan dans \(\R^3\text{.}\) On cherche une équation vectorielle décrivant ce plan.

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Solution 1.

Une première solution est d’isoler l’une des variables dans l’équation normale. Ici, on a par exemple \(z=4-3x-2y\text{.}\) Un point \((x,y,z)\) dans le plan doit satisfaire

\begin{align*} \mathcal{P}&:& (x,y,z)&=(x,y,4-3x-2y)\\ && &=(x,0,-3x)+(0,y,-2y)+(0,0,4)\\ && &=x(1,0,-3)+y(0,1,-2)+(0,0,4)\text{,} \end{align*}

où l’on a réécrit le point \((x,y,z)\) en regroupant les termes semblables.

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On réécrit avec la notation habituelle pour obtenir

\begin{equation*} \mathcal{P}: (x,y,z)=a(1,0,-3)+b(0,1,-2)+(0,0,4)\text{.} \end{equation*}

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Solution 2.

Une autre option est de sélectionner trois points non alignés sur le plan et de créer des vecteurs directeurs à partir de ces points. On retrouve alors facilement l’équation vectorielle. Par exemple, si \(x=y=0\text{,}\) le point sur le plan doit avoir \(z=4\text{.}\) De même, si \(x=z=0\text{,}\) on a \(y=2\) et si \(y=z=0\text{,}\) on a \(x=\frac{4}{3}\text{.}\) Des points \(A(0,0,4),B(0,2,0)\) et \(C\left(\frac{4}{3},0,0\right)\text{,}\) on tire les vecteurs directeurs \(\vecl{AB}=(0,2,-4)\) et \(\vecl{AC}=\left(\frac{4}{3},0,-4\right)\text{.}\) Le plan peut donc être décrit par l’équation

\begin{equation*} \mathcal{P}: (x,y,z)=a(0,2,-4)+b\left(\frac{4}{3},0,-4\right)+(0,0,4)\text{.} \end{equation*}

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Est-ce que les deux équations obtenues sont vraiment équivalentes?

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Dans le dernier exemple, on a déterminé deux vecteurs directeurs à partir de trois points du plan. Dans la définition d’un plan, il faut que les vecteurs directeurs soient non parallèles. Peut-on alors penser que deux vecteurs formés à partir de trois points sont toujours non parallèles ? En général, ce sera le cas, mais il faut s’en assurer avant de donner l’équation du plan.

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Avec les équations normales, le contexte est très important afin d’interpréter correctement un objet donné. L’équation \(x+2y=3\) représente une droite dans \(\R^2\) et un plan dans \(\R^3\text{.}\) Il est donc primordial de spécifier l’espace dans lequel on se trouve si l’on travaille avec les équations normales.

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L’équation normale d’un plan est une manière importante de le décrire. Dans le chapitre 3, on s’en servira, entre autres, pour déterminer l’intersection de plusieurs plans. Il est donc primordial d’être en mesure de déterminer un vecteur normal d’un plan à partir de deux vecteurs directeurs. S’inspirant de la démarche des exemples 1.3.10 et 1.3.18, la proposition suivante introduit une formule générale pour cela, à travers une nouvelle opération appelée le produit vectoriel.

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Proposition 1.3.20. Le produit vectoriel.

Soit \(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\) et \(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\) des vecteurs non parallèles et non nuls de \(\mathbb{R}^3\text{.}\) Alors le vecteur

\begin{equation} \vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}=\left( u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2},\,u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3},\, u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\tag{1.3.19} \end{equation}

est perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) On appelle ce vecteur le produit vectoriel entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et on le note par \(\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}\text{.}\)

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À l’exercice 1.3.4.11, on étend la définition du produit vectoriel pour inclure des vecteurs parallèles ou nuls.

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Démonstration.

On pourrait utiliser le produit scalaire afin de vérifier que ce vecteur est bel et bien perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{,}\) mais il est plus intéressant de faire la démarche qui mène à l’obtention de celui-ci.

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On pose \(\vec{w}=(x,y,z)\text{.}\) Pour que ce vecteur soit perpendiculaire à \(\vec{u}\text{,}\) on doit avoir

\begin{equation*} u_1x+u_2y+u_3z=0\text{.} \end{equation*}

De même, pour qu’il soit perpendiculaire à \(\vec{v}\text{,}\) on doit avoir

\begin{equation*} v_1x+v_2y+v_3z=0 \text{.} \end{equation*}

L’intuition géométrique développée dans cette section permet de comprendre qu’il y a une seule orientation qui respecte ces deux contraintes. On s’attend donc à n’avoir qu’une seule variable utile dans la solution. On choisit \(z\) pour tenir le rôle de cette variable et on réécrit les équations pour obtenir

\begin{align} u_1x+u_2y&=-u_3z\tag{1.3.20}\\ v_1x+v_2y&=-v_3z\text{.}\tag{1.3.21} \end{align}

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On veut maintenant isoler \(x\) et \(y\) en fonction de \(z\text{.}\) Toutefois, contrairement aux exemples 1.3.10 et 1.3.18, on ne connait pas les valeurs des composantes de \(\vec{u}\) et de \(\vec{v}\text{.}\) Dans le but d’éviter de diviser par des nombres qui pourraient être nuls, on utilise une approche semblable à celle ayant menée à l’équation normale d’une droite.

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On multiplie l’équation (1.3.20) par \(-v_1\) et l’équation (1.3.21) par \(u_1\text{.}\) On additionne ensuite les deux résultats et on obtient

\begin{equation} (u_1v_2-v_1u_2)y=(u_3v_1-u_1v_3)z\text{.}\tag{1.3.22} \end{equation}

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Si l’on multiplie plutôt l’équation (1.3.20) par \(v_2\) et l’équation (1.3.21) par \(-u_2\) et que l’on additionne ensuite les deux résultats, on obtient

\begin{equation} (u_1v_2-v_1u_2)x=(u_2v_3-u_3v_2)z\text{.}\tag{1.3.23} \end{equation}

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À ce stade-ci, on peut remarquer que le coefficient devant le \(x\) et devant le \(y\) de ces dernière équation est le même. Si l’on choisit \(z=u_1v_2-v_1u_2\text{,}\) on pourra éliminer ce facteur, obtenant ainsi le vecteur

\begin{equation*} \vec{w}=\left( u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2},\,u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3},\, u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\text{,} \end{equation*}

à condition que le nombre \((u_1v_2-v_1u_2)\) soit non nul. Pour cela, voir l’exercice [provisional cross-reference: exo-vecsnonnulsprodvec].

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Remarque 1.3.21. Truc mnémotechnique pour le produit vectoriel.

Voici un petit truc pour se rappeler des composantes du vecteur produit vectoriel. Dans un premier temps, on remarque que les composantes \(i\) des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) n’apparaissent pas dans la composante \(i\) du produit vectoriel. Ainsi, dans la première composante de \(\vec{u}\times \vec{v}\text{,}\) on n’utilise que les nombres \(u_2,u_3,v_2,v_3\text{.}\)

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On constate de plus que les valeurs de \(\vec{u}\) utilisées vont en augmentant selon le cycle \(u_2\to u_3\to u_1\to u_2\) et les valeurs de \(\vec{v}\) vont en diminuant selon le cycle \(v_3\to v_2\to v_1\to v_3\text{.}\) Le schéma ci-dessous aide aussi à se rappeler des composantes du produit vectoriel.

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Figure 1.3.22. Mnémotechnique pour le produit vectoriel

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On termine avec des commandes Sage en lien avec la sous-section.

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Calcul 1.3.23. Les plans avec Sage.

Pour tracer un plan dans \(\R^3\text{,}\) deux possibilités sont possibles. Pour la première, on peut utiliser l’équation normale et la commande implicit_plot3d. À remarquer l’utilisation de la double égalité ==, puisque le symbole = est réservé à l’assignation des variables.

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On peut aussi utiliser les équations paramétriques. La commande est parametric_plot3d.

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On illustre les deux plans des exemples 1.3.18et 1.3.19.

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Les options habituelles de couleur, transparence, etc. sont aussi disponibles.

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Si l’équation du plan est donnée vectoriellement, il est aussi possible de le tracer avec la commande parametric_plot3d.

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Sous-section 1.3.3 Distances

Soit \(\mathcal{D}\) une droite quelconque, quelle est la distance entre la droite et un point quelconque? Si le point est sur la droite, cette distance vaut \(0\text{,}\) mais sinon, comment la calculer? Géométriquement, la distance est donnée par la longueur du segment de droite perpendiculaire à \(\mathcal{D}\) reliant le point \(P\) et un point \(Q\) sur la droite, au pied du segment perpendiculaire. Celui-ci est illustré à la figure 1.3.24. La longueur de ce segment correspond à la norme du vecteur \(\vecl{PQ}\text{,}\) qui lui, est obtenu à partir des vecteurs \(\vecl{AP}\) et de sa projection sur le vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}\text{.}\)

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Instructions.

On peut déplacer le point \(P\text{,}\) dont on cherche la distance à la droite, ainsi que cette droite à l’aide des points \(A\) et \(B\text{.}\) Un clic sur le bouton fera apparaitre le vecteur de la projection orthogonale

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Figure 1.3.24. Distance entre un point et une droite

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La distance entre un point \(P\) et une droite \(\mathcal{D}\) est donc donnée par la formule

\begin{equation} d(P,\mathcal{D}) =\norm{\vecl{AP}_{\vec{v}}-\vecl{AP}}\tag{1.3.24} \end{equation}

où \(A\) est un point connu sur \(\mathcal{D}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur directeur de la droite. À remarquer que la formule fonctionne que la droite soit dans \(\R^2\) ou \(\R^3\text{,}\) et que, si le point \(P\) est sur la droite, la formule donne \(0\text{,}\) car le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{v}}=\vecl{AP}\text{.}\)

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Il est parfois utile de connaitre la position du point \(Q\text{,}\) soit le point sur la droite qui est le plus près du point externe \(P\text{.}\) Celui-ci peut être obtenu en ajoutant au vecteur \(\vecl{OA}\) le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{v}}\text{.}\)

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On s’intéresse maintenant à la distance entre un point \(P\) et un plan \(\mathcal{P}\) dans \(\R^3\text{.}\) Encore une fois, si le point est sur le plan, la distance sera de \(0\) et si le point est à l’extérieur, la distance sera calculée en déterminant la longueur du segment de droite reliant \(P\) et un point \(Q\) de telle sorte que le vecteur \(\vecl{QP}\) soit perpendiculaire au plan. Si \(A\) est un point connu d’un plan \(\mathcal{P}\text{,}\) le vecteur \(\vecl{QP}\) correspond à la projection du vecteur \(\vecl{AP}\) sur le vecteur normal du plan. La figure 1.3.25 l’illustre bien.

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Instructions.

On peut déplacer le point \(P\) dont on cherche la distance au plan, ainsi que ce plan à l’aide des points \(A\text{,}\) \(B\) et \(C\text{.}\) Le vecteur \(\vec{n}\) peut aussi être changé, mais sa base est fixée au point \(A\text{.}\) Un clic sur le premier bouton fera apparaitre le vecteur de la projection orthogonale dans une animation.

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Figure 1.3.25. Distance entre un point et un plan

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La distance entre un point \(P\) et un plan \(\mathcal{P}\) est donc donnée par la formule

\begin{equation} d(P,\mathcal{P}) =\norm{\vecl{AP}_{\vec{n}}}\tag{1.3.25} \end{equation}

où \(A\) est un point connu sur le plan \(\mathcal{P}\) et \(\vec{n}\) est le vecteur normal du plan. À remarquer que la formule fonctionne si le point \(P\) est sur le plan, car le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{n}}=\vecl{0}\text{.}\)

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Il est parfois utile de connaitre la position du point \(Q\text{,}\) soit le point sur le plan qui est le plus près du point externe \(P\text{.}\) Celui-ci peut être obtenu en soustrayant au vecteur \(\vecl{OP}\) le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{n}}\text{.}\)

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Dans \(\R^3\text{,}\) il est également possible de calculer la distance entre une droite et un plan ou deux plans. Autant pour le calcul de la distance entre une droite et un plan que pour la distance entre deux plans, deux cas peuvent survenir: ils peuvent se croiser, auquel cas la distance sera nulle, ou ils peuvent être parallèles. Si deux plans sont parallèles, il suffit de prendre un point sur l’un d’entre eux et de calculer la distance point–plan. Si, par contre, une droite est parallèle au plan, il est important de prendre un point de la droite et de calculer la distance point-plan. L’exercice 1.3.4.13 explique pourquoi prendre un point sur le plan et faire la distance point-droite ne fonctionne généralement pas.

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La question de la distance entre deux droites demande un peu plus de réflexion. Dans \(\R^2\text{,}\) deux droites sont soit parallèles, soit sécantes, mais dans \(\R^3\text{,}\) il existe une troisième option. Deux droites peuvent ne pas se croiser sans être parallèles. On dit alors qu’elles sont gauches. Pour déterminer la distance entre les deux droites, on doit trouver la distance entre deux plans parallèles contenant chacun l’une des droites. Ceci nécessite de déterminer un vecteur qui est perpendiculaire au vecteur directeur respectif de chaque droite. Ce vecteur sera le vecteur normal des plans parallèles.

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On utilise le produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites \(\vec{v_1},\vec{v_2}\) pour obtenir le vecteur \(\vec{n}\text{.}\) En prenant un point sur la première droite et ce vecteur normal, on obtient un plan \(\mathcal{P_1}\) et en prenant un point sur la seconde droite, on obtient un plan \(\mathcal{P}_2\text{,}\) parallèle à \(\mathcal{P}_1\text{.}\) La distance entre les deux droites est donnée par la distance entre les deux plans parallèles. L’équation (1.3.25) permet d’obtenir cette distance en prenant un point de la première droite et le plan \(\mathcal{P}_2\) ou encore le plan \(\mathcal{P}_1\) et un point de la deuxième droite. La figure interactive ci-dessous permet de visualiser les éléments pertinents à ce calcul.

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Instructions.

Il est possible de déplacer les vecteurs \(\vec{v_1},\vec{v_2}\text{,}\) ainsi que les points \(A\) et \(P\text{.}\) Le produit vectoriel de \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\) est affiché, de même que le vecteur \(\overrightarrow{AP}\) et sa projection sur le vecteur normal.

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Figure 1.3.26. Distance entre deux droites gauches

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On regarde un exemple de calcul de distance entre deux droites gauches.

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Exemple 1.3.27. Distance entre deux droites gauches.

Soit \(\mathcal{D}_1 : \overrightaarrow{OP}=c(-1,4,2)+(4,5,1)\) et \(\mathcal{D}_2: \overrightarrow{OP}: d(5,3,1)+(-3,2,7)\) deux droites dans \(\mathbb{R}^3\text{.}\) On cherche la distance entre ces deux droites.

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Solution.

Comme les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles, les droites ne le sont pas non plus. Elles sont donc sécantes ou gauches. Si elles étaient sécantes, on pourrait trouver \(c\in \mathbb{R}\) tel que

\begin{equation*} \vecddd{-3}{2}{7}=c\vecddd{-1}{4}{2}+\vecddd{4}{5}{1}\text{,} \end{equation*}

ce qui entraine que

\begin{equation*} \vecddd{-7}{-3}{6}=c\vecddd{-1}{4}{2}\text{.} \end{equation*}

Or ceci est impossible puisqu’il faudrait que \(c=7\) pour que la première composante fonctionne, que \(c=-3/4\) pour que la deuxième composante fonctionne et que \(c=3\) pour que la troisième composante fonctionne. On conclut donc que les droites sont gauches.

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On calcule le produite vectoriel des vecteurs directeurs, en utilisant la formule (1.3.19). On obtient le vecteur

\begin{equation*} \vec{n}=(4\cdot 1-2\cdot 3, 2\cdot 5+1\cdot 1, -1\cdot(-3)-4\cdot 5)=(-2,11,-23)\text{.} \end{equation*}

Bien qu’elles ne soient pas nécessaires, l’équation normale du plan \(\mathcal{P}_1\) est \(-2x+11y-23z=-8\) et l’équation normale du plan \(\mathcal{P}_2\) est \(-2x+11y-23z=-49\text{.}\) Pour calculer la distance entre les deux droites, on choisit de prendre \(A(4,5,1)\) sur le premier plan et \(P(-3,2,7)\) sur le second, pour projeter le vecteur \(\overrightarrow{AP}=(-7,-3,6)\) sur le vecteur \(\vec{n}\text{.}\) Ceci donne le vecteur

\begin{align*} \overrightarrow{AP}_{\vec{n}}&=\frac{(-7,-3,6)\cdot (-2,11,-23)}{(-2,11,-23)\cdot (-2,11,-23)} (-2,11,-23)\\ &=\frac{-157}{654}(-2,11,-23)\text{,} \end{align*}

dont la norme est la distance cherchée. La cellule Sage ci-dessous refait et complète les calculs.

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Il n’y a pas de nouvelles commandes Sage, mais on illustre l’utilisation de Sage pour résoudre un exemple concret de calcul de distance.

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Calcul 1.3.28. La distance entre un point et une droite.

On considère l’équation \(\mathcal{D}: (x,y)=c(3,-2)+(-1,5)\) et le point \(P(5,10)\text{.}\) On cherche la distance entre \(P\) et \(\mathcal{D}\text{.}\)

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On commence par illustrer la droite et le point pour avoir une image de la situation

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Pour calculer la distance, on doit connaitre un point \(A\) de la droite et faire la projection du vecteur \(\vecl{AP}\) sur le vecteur directeur de la droite. On peut bonifier l’image précédente avec les vecteurs.

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On calcule maintenant la projection et le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{v}}-\vecl{AP}\) et on ajoute ce dernier à la figure.

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Enfin, on obtient la distance en calculant la longueur du vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{v}}-\vecl{AP}\text{.}\)

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Les éléments importants de cette section sont:

Le concept de combinaison linéaire de vecteurs.
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Les droites dans \(\R^2\) et leur équation vectorielle (1.3.2), paramétrique (1.3.5) et normale (1.3.6);
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Les droites dans \(\R^3\) et leur équation vectorielle (1.3.3) (sous sa forme verticale) et paramétrique (1.3.4);
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Les plans dans \(\R^3\) et leur équation vectorielle (1.3.10), paramétrique (1.3.11) et normale (1.3.18);
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La distance entre un point et une droite (1.3.24);
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La distance entre un point et un plan (1.3.25).
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Exercices 1.3.4 Exercices

1.

Soit \(\vec{u}=(1,3)\) et \(\vec{v}=(-2,5)\text{.}\) Exprimer \(\vec{w}=(-21,25)\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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Réponse.

\(\vec{w}=-5\vec{u}+8\vec{v}\)

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Solution.

On veut résoudre l’équation vectorielle: \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\text{.}\) On veut donc trouver les valeurs de \(a\) et \(b\text{.}\)

\begin{align*} \vec{w}&=a\vec{u}+b\vec{v}\\ (-21,25)&=a(1,3)+b(-2,5)\\ -21&=a-2b\\ 25&=3a+5b\\ a&=2b-21\\ 25&=3(2b-21)+5b\\ b&=8\\ a&=2(8)-21=-5 \end{align*}

Bref, la combinaison linéaire suivante permet d’exprimer \(\vec{w}\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{:}\)

\begin{equation*} \vec{w}=-5\vec{u}+8\vec{v} \end{equation*}

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2.

Considérer la droite d’équation vectorielle \(\mathcal{D}: (x,y)=c(1,-3)+(4,5)\text{,}\) \(c\in \R\text{.}\)

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(a)

Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la droite? \(A(4,5)\text{,}\) \(B(1,-3)\text{,}\) \(C(5,2)\) et \(D(0,17)\)

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Indice.

On cherche à déterminer si chaque point est sur la droite. On rappelle que l’équation vectorielle consiste à décrire l’ensemble des points de la droite par un vecteur directeur et un point. On peut voir le point comme la valeur initiale ou le point de départ et le vecteur directeur multiplié par le scalaire comme le chemin parcouru sur la droite pour arriver à n’importe quel autre point. Il est important de ne pas confondre vecteur et point, car les deux sont simplement écrits entre parenthèses dans l’équation. Ici, \(\vec{v}=(1,3)\) est le vecteur directeur et \((4,5)\) est le point de départ.

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Réponse.

Les points \(A\text{,}\) \(C\) et \(D\) sont sur la droite.

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Solution.

Pour \(A(4,5)\text{:}\)

\begin{align*} (x,y)&=c(1,-3)+(4,5)\\ (4,5)&=c(1,-3)+(4,5)\\ (4,5)&=0(1,-3)+(4,5)\\ (4,5)&=(4,5) \end{align*}

Il est clair que \(A\) est sur la droite.

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Pour \(B(1,-3)\text{:}\)

\begin{align*} (x,y)&=c(1,-3)+(4,5)\\ (1,-3)&=c(1,-3)+(4,5)\\ 1&=c+4 \Rightarrow c=-3\\ -3&=-3c+5 \Rightarrow c=\frac{8}{3} \end{align*}

Il y a donc une contradiction et \(B\) ne peut pas être sur la droite.

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Pour \(C(5,2)\text{:}\)

\begin{align*} (x,y)&=c(1,-3)+(4,5)\\ (5,2)&=c(1,-3)+(4,5)\\ 5&=c+4 \Rightarrow c=1\\ 2&=-3c+5 \Rightarrow c=1 \end{align*}

Le point \(C\) est donc sur la droite.

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Pour \(D(0,17)\text{:}\)

\begin{align*} (x,y)&=c(1,-3)+(4,5)\\ (0,17)&=c(1,-3)+(4,5)\\ 0&=c+4 \Rightarrow c=-4\\ 17&=-3c+5 \Rightarrow c=-4 \end{align*}

Le point \(D\) est donc sur la droite.

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(b)

Quelle serait une équation normale de la droite \(\mathcal{D}\text{.}\)

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Réponse.

\(\mathcal{D}:3x+y=17\)

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Solution.

On a appris que le vecteur normal \vec{n}=(a,b) s’obtient du vecteur directeur, car il lui est perpendiculaire. Ainsi,

\begin{equation*} \vec{n}=\vec{v}_\perp=(1,-3)_\perp=(3,1) \end{equation*}

On a maintenant presque toute l’information nécessaire pour compléter l’équation normale.

\begin{equation*} \mathcal{D}:3x+y=c \end{equation*}

On trouve la valeur de \(c\) en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées d’un point. On utilise le point \((4,5)\text{.}\)

\begin{align*} 3x+y&=c\\ 3*4+5&=c\\ c&=17\\ \mathcal{D}:3x+y&=17 \end{align*}

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(c)

Trouver une équation standard de la droite passant par le point \(E(2,7)\) qui est parallèle à la droite \(\mathcal{D}\text{.}\)

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Réponse.

\(\mathcal{D}_1:y=-3x+13\)

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Solution.

L’équation normale est la plus proche de l’équation standard. Comme on cherche une droite parallèle à \(\mathcal{D}\text{,}\) elle aura le même vecteur normal. Ainsi, il ne reste qu’à remplacer \(x\) et \(y\) dans l’équation par les coordonnées du point \(E\text{.}\)

\begin{align*} 3x+y&=c\\ 3*2+7&=c\\ c&=13\\ \mathcal{D}_1:3x+y&=13 \end{align*}

On isole simplement \(y\) pour obtenir l’équation standard.

\begin{equation*} \mathcal{D}_1:y=-3x+13 \end{equation*}

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(d)

Trouver les équations paramétriques de la droite perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\) passant par le point \(F(1,1)\text{.}\)

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Réponse.

\(\mathcal{D}_2:\begin{cases} x&=3c+1\\ y&=c+1 \end{cases}\)

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Solution.

Pour obtenir une équation paramétrique (ou vectorielle), il faut d’abord un vecteur directeur. Puisqu’on cherche une droite perpendiculaire à \(\mathcal{D}\text{,}\) son vecteur directeur est donc donné par le vecteur normal \(\vec{n}=(3,1)\text{.}\) On sait que la droite passe par le point \(F(1,1)\text{.}\) On a:

\begin{equation*} \mathcal{D}_2:(x,y)=c(3,1)+(1,1)\text{.} \end{equation*}

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On convertit en équations paramétriques pour avoir

\begin{equation*} \mathcal{D}_2:\begin{cases} x&=3c+1\\ y&=c+1 \end{cases}\text{.} \end{equation*}

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3.

Dans la proposition 1.3.8, on a introduit le vecteur perpendiculaire \(\vec{v}_{\perp}\text{.}\) Pour chacune des propositions suivantes, expliquer d’abord son sens géométrique et ensuite la démontrer algébriquement.

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Instructions.

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Figure 1.3.29.

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L’angle entre deux droites est défini comme étant l’angle \(\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\) obtenu en calculant l’angle entre les vecteurs directeurs des droites, ou son supplémentaire si celui-ci excède \(\frac{\pi}{2}\text{.}\) Cet angle est défini même si les droites ne se croisent pas (parallèles ou gauches).

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Calculer l’angle entre les droites \(\mathcal{D}_1: (x,y,z)=c(1,3,4)+(2,4,1)\) et \(\mathcal{D}_2: (x,y,z)=c(-1,2,-1)+(1,5,0)\)

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Réponse.

\(\theta \approx 1.49 \text{ radians } \approx 85.4^\circ\)

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Solution.

Soit \(-2x+3y=3\) une droite et \(P(5,1)\) un point. Est-ce que le point est en haut ou en bas de la droite?

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Réponse.

Le point \(P\) est en bas de la droite.

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Solution.

On passera par la version simplifiée de la démarche, en utilisant seulement le signe du produit scalaire. On a besoin de trouver un point \(A\) quelconque sur la droite ainsi que le vecteur normal. Puisqu’on a déjà l’équation normale, le vecteur normal est: \(\vec{n}=(-2,3)\text{.}\) On trouve un point en posant \(x=0\) et en isolant \(y\text{.}\) Le point est donc \(A(0,1)\text{.}\) Ensuite, calculons le vecteur \(\vecl{AP}\text{.}\)

\begin{align*} \vecl{AP}&=\vecl{OP}-\vecl{OA}\\ &=(5,1)-(0,1)\\ &=(5,0) \end{align*}

Le produit scalaire est donc:

\begin{align*} \vec{n}\cdot\vecl{AP}&=(-2,3)\cdot(5,0)\\ &=(-2)*5+3*0\\ &=-10 \lt 0 \end{align*}

Puisqu’il est négatif, le point \(P\) est en bas de la droite.

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(c)

Expliquer pourquoi, géométriquement, ce concept n’est pas possible avec une droite dans \(\R^3\text{.}\)

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Solution.

La réponse courte est qu’il n’y a pas de vecteur normal pour une droite dans \(\R^3\text{.}\) La raison géométrique est qu’il existe une infinité de directions perpendiculaires à une droite dans l’espace en trois dimensions. On ne peut donc pas parler de "en haut" ou "en bas" de la droite. On pourrait cependant le faire avec un plan. Le point pourrait être sur la droite, mais il ne serait pas possible de déterminer que c’est le cas avec la méthode décrite plus haut, puisqu’il y a une infinité de directions perpendiculaires.

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6.

Dans la démarche ayant mené à l’équation normale (1.3.6) d’une droite, \(ax+by=c\text{,}\) on pose \(c=aa_1+ba_2\text{.}\) Il semble donc que l’équation dépende du point \(A(a_1,a_2)\) connu. Montrer que ce n’est pas le cas et que, peu importe le point \(P(p_1,p_2)\) sur la droite, la quantité \(ap_1+bp_2\) est toujours égale à \(c\text{.}\)

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Indice.

On remarque que la quantité \(ap_1+bp_2=\vec{n}\cdot \vecl{OP}\text{.}\) La figure ci-dessous peut être utile.

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Instructions.

On peut déplacer la droite à l’aide du point \(A\) et du vecteur normal \(\vec{n}\text{.}\) On peut aussi déplacer le point \(P\text{.}\) Un clic sur « animation » fera apparaitre une décomposition du vecteur \(\vecl{AP}\) utile pour démontrer l’affirmation.

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(a)

Est-ce que le point \(W\left(4,\,-11,\,-3\right)\) est sur le plan?

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Réponse.

Oui, le point \(W\left(4,\,-11,\,-3\right)\) est sur le plan.

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Solution.

Pour le déterminer, il faut tenter de trouver les valeurs de \(a\) et \(b\in\R\) telles que:

\begin{equation*} \left(4,\,-11,\,-3\right)=a(1,-3,0)+b(0,2,1)+(1,2,-1)\text{.} \end{equation*}

\begin{align*} 4&=a+1 \Rightarrow a=3\\ -11&=-3a+2b+2\\ -3&=b-1 \Rightarrow b=-2 \end{align*}

On vérifie si cette combinaison fonctionne dans la seconde équation que l’on n’a pas utilisée.

\begin{equation*} -3*3+2*(-2)+2=-11\text{.} \end{equation*}

Bref, le point \(W\left(4,\,-11,\,-3\right)\) est sur le plan.

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(b)

Est-ce que le vecteur \(\vec{w}=\left(4,\,-11,\,-3\right)\) est dans le plan?

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Réponse.

Non, le vecteur \(\vec{w}=\left(4,\,-11,\,-3\right)\) n’est pas dans le plan.

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Solution.

Pour le déterminer, il faut tenter de trouver les valeurs de \(a\) et \(b\in\R\) telles que:

\begin{equation*} \left(4,\,-11,\,-3\right)=a(1,-3,0)+b(0,2,1)\text{.} \end{equation*}

\begin{align*} 4&=a \Rightarrow a=4\\ -11&=-3a+2b\\ -3&=b \Rightarrow b=-3 \end{align*}

On vérifie si cette combinaison fonctionne dans la seconde équation que l’on n’a pas utilisée.

\begin{equation*} -3*4+2*(-3)=-18\neq-11\text{.} \end{equation*}

Bref, le vecteur \(\vec{w}=\left(4,\,-11,\,-3\right)\) n’est pas dans le plan.

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(c)

Quelle est la différence géométrique entre les questions précédentes?

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Solution.

Le point correspond à un endroit physique dans l’espace à trois dimensions par rapport à l’origine. S’il est possible d’atteindre le point, se déplaçant à partir du point de départ \((1,2,-1)\) en ajoutant une combinaison linéaire des deux vecteurs du plan, alors le point se trouve sur le plan.

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Comment déterminer si une droite intersecte un plan?

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Solution.

Il y a plusieurs façons de faire.

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D’abord, on pourrait utiliser la méthode longue, mais simple, qui consiste à tenter de trouver ce point d’intersection et de bien interpréter la solution. Pour ce faire, on doit résoudre l’équation :

\begin{equation*} a\vec{u}+b\vec{v}+\vecl{OA}=k\vec{w}+\vecl{OB}\text{.} \end{equation*}

Il faut donc trouver les valeurs de \(a\text{,}\) \(b\) et \(k\) qui la solutionnent. Avec cette résolution, on pourra arriver aux trois options classiques d’un système à trois équations et trois inconnues: aucune solution (pas d’intersection), solution unique (un point d’intersection) ou infinité de solutions (droite dans le plan).

\(\vec{i}\times \vec{j}\)

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Réponse.

\(\vec{k}=(0,0,1)\)

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(f)

\(\vec{j}\times \vec{k}\)

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Réponse.

\(\vec{i}=(1,0,0)\)

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(g)

\(\vec{k}\times \vec{i}\)

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La multiplication par une constante: \(c(\vec{u}\times \vec{v})=(c\vec{u})\times \vec{v}=\vec{u}\times (c\vec{v})\text{.}\)

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Solution.

On a

\begin{align*} c(\vec{u}\times \vec{v})&=c\left( u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2},\,u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3},\, u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\\ &=\left( c(u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2}),\,c(u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}),\, c(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1})\right)\\ &=\left( (cu_{2}) v_{3}-(cu_{3}) v_{2},\,(cu_{3}) v_{1} - (cu_{1}) v_{3},\, (cu_{1}) v_{2}-(cu_{2}) v_{1}\right)\\ &=\left( u_{2}(cv_{3})-u_{3}(cv_{2}),\,u_{3}(cv_{1}) - u_{1}(cv_{3}),\, u_{1}(cv_{2})-u_{2}(cv_{1})\right)\text{.} \end{align*}

L’avant-dernière ligne est égale à \((c\vec{u})\times\vec{v}\) alors que la dernière vaut \(\vec{u}\times (c\vec{v})\text{,}\) ce qui complète la preuve.

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(d)

Si l’on veut étendre la définition du produit vectoriel pour pouvoir considérer le produit d’un vecteur \(\vec{u}\) non nul avec \(\vec{0}\text{,}\) argumenter que la réponse devrait être \(\vec{0}\) et vérifier la validité de l’équation (1.3.19).

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Le produit vectoriel du vecteur nul: \(\vec{u}\times \vec{0}=\vec{0}\times \vec{u}=\vec{0}\text{.}\)

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Solution.

Le produit vectoriel doit être un vecteur perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\) Or si l’un des vecteurs est nul et que l’autre est libre d’être quelconque, cela implique de trouver un vecteur qui est perpendiculaire à \(\vec{0}\) et à \(\vec{u}\text{.}\) Par défaut, tous les vecteurs sont perpendiculaires avec \(\vec{0}\) et il en existe une infinité qui le sont avec \(\vec{u}\text{,}\) ceux-ci se retrouvant sur le plan de vecteur normal \(\vec{u}\text{.}\) Il apparait important que la réponse au produit vectoriel soit unique et il ne semble pas y avoir de manière simple de choisir objectivement un vecteur du plan normal à \(\vec{u}\text{.}\) Il reste donc le choix de prendre comme valeur du produit vectoriel le vecteur \(\vec{0}\text{.}\) Cela est d’autant plus cohérent avec le fait usuel que le produit avec \(0\) devrait donner \(0\text{.}\)

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Pour la validiter de l’équation, il suffit de remplacer \(v_1,v_2,v_3\) par \(0\) dans l’équation (1.3.19).

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(e)

Dans la proposition 1.3.20, on a imposé que les vecteurs \(\vec{u},\vec{v}\) soient non parallèles, car le but était alors de trouver un vecteur perpendiculaire à la fois à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\text{.}\) Toutefois, une fois la formule obtenue, on peut s’intéresser à généraliser son application lorsque les vecteurs sont parallèles.

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Un peu comme dans la solution à l’exercice précédent, le seul choix objectif pour ces produits vectoriels est de prendre le résultat égal au vecteur nul.

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(i)

Le produit vectoriel avec soi-même: \(\vec{u}\times \vec{u}=\vec{0}\text{.}\)

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La norme du produit vectoriel:

\begin{equation*} \norm{\vec{u}\times \vec{v}}=\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\sin(\theta) \end{equation*}

où \(\theta\) est l’angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

🔗

Solution.

On calcule la norme au carré afin d’éviter de travailler avec la racine. On ajustera à la fin. On a

\begin{align*} \norm{\vec{u}\times\vec{v}}^2&=\norm{( u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2},\,u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3},\, u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1})}^2\\ &=(u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2})^2+(u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3})^2+(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1})^2\\ &=u^2_2v^2_3−2u_2u_3v_2v_3+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_1−2u_1u_3v_1v_3+u^2_1v^2_3+u^2_1v^2_2−2u_1u_2v_1v_2+u^2_2v^2_1\\ &=u^2_1v^2_2+u^2_1v^2_3+u^2_2v^2_1+u^2_2v^2_3+u^2_3v^2_1+u^2_3v^2_2−2u_1u_2v_1v_2-2u_1u_3v_1v_3-2u_2u_3v_2v_3\\ \end{align*}

On remarque qu’il «manque» les termes \(u^2_kv^2_k\text{,}\) alors on les ajoute et on les retranche.

\begin{align*} &=u^2_1v^2_1+u^2_1v^2_2+u^2_1v^2_3+u^2_2v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_2v^2_3+u^2_3v^2_1+u^2_3v^2_2+u^2_3v^2_3-u^2_1v^2_1-u^2_2v^2_2-u^2_3v^2_3−2u_1u_2v_1v_2-2u_1u_3v_1v_3-2u_2u_3v_2v_3\\ &=u^2_1(v^2_1+v^2_2+v^2_3)+u^2_2(v^2_1+v^2_2+v^2_3)+u^2_3(v^2_1+v^2_2+v^2_3)-(u^2_1v^2_1+u^2_2v^2_2+u^2_3v^2_3+2u_1u_2v_1v_2+2u_1u_3v_1v_3+2u_2u_3v_2v_3)\\ \end{align*}

C’est souvent à l’étape ci-dessus que l’on bloque. On peut alors partir de l’autre côté de l’égalité et remonter, en espérant rejoindre l’étape précédente.

\begin{align*} &=(u^2_1+u^2_2+u^2_3)(v^2_1+v^2_2+v^2_3)-(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2\\ &=\norm{\vec{u}}^2\norm{\vec{v}}^2-(\vec{u}\cdot \vec{v})^2\\ &=\norm{\vec{u}}^2\norm{\vec{v}}^2-(\norm{\vec{u}}\norm{\vec{v}}\cos(\theta))^2\\ &=\norm{\vec{u}}^2\norm{\vec{v}}^2(1-\cos^2(\theta))\\ &=\norm{\vec{u}}^2\norm{\vec{v}}^2\sin^2(\theta)\text{.} \end{align*}

En prenant la racine de chaque côté et en remarquant que lorsque \(0^\circ\leq \theta\leq 180^\circ\) — ce qui est le toujours le cas pour l’angle entre deux vecteurs — la fonction \(\sin(\theta)\) est toujours plus grande ou égale à \(0\text{,}\) on obtient le résultat.

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12.

Est-ce que

\begin{equation*} (\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w}=\vec{u}\times(\vec{v}\times \vec{w})\text{?} \end{equation*}

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Indice.

Considérer le cas \(\vec{u}=\vec{v}\text{.}\)

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Réponse.

Non.

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Solution.

On prend \(\vec{v}=\vec{u}\text{.}\) D’un côté, on a

\begin{equation*} (\vec{u}\times \vec{u})\times \vec{w}=\vec{0}\times \vec{w}=\vec{0}\text{.} \end{equation*}

De l’autre côté, le vecteur \(\vec{u}\times \vec{w}\) est par définition perpendiculaire à \(\vec{u}\) et donc

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Solution.

Puisqu’en général, le point choisi sur le plan ne sera pas le plus près possible de la droite, on le voit assez bien sur la figure, on obtiendra alors une valeur de distance plus élevée que la vraie distance entre la droite et le plan.

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(c)

Quels sont les cas où, par un pur hasard, la distance point–droite fonctionnerait?

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Indice.

Considérer la figure interactive suivante:

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Instructions.

Un clic sur le texte permet de faire apparaitre la projection de la droite sur le plan.

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Figure 1.3.33. La projection d’une droite sur un plan parallèle

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Solution.

Il faudrait que le point choisi sur le plan soit le plus proche possible de la droite. Cela correspond à tous les points qui sont sur la projection de la droite sur le plan tel qu’illustré dans la figure.

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(d)

Vérifier que la droite d’équation \(\mathcal{D}: (x,y,z)=k(1,-1,1)+(2,4,5)\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}: 3x+2y-z=3\text{.}\) Quelle est la distance entre la droite et le plan?

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Réponse.

La distance est de \(\frac{3}{7}\sqrt{14}\approx 1.6036\text{.}\)

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Solution.

Indice.

Appliquer la partie (a) au vecteur \(\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}}\text{.}\)

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Solution.

De façon semblable, on sait qu’on peut écrire le vecteur \(\vec{t}=(\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}})+\vec{t}_{\vec{n}}\text{.}\) On applique la partie (a) au vecteur entre parenthèses puisqu’il se trouve dans le plan. Ainsi, on aura:

\begin{align*} (\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}})&=(\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}})_{\vec{u}}+(\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}})_{\vec{v}}\\ &=\vec{t}_{\vec{u}}-(\vec{t}_{\vec{n}})_{\vec{u}}+\vec{t}_{\vec{v}}-(\vec{t}_{\vec{n}})_{\vec{v}}\\ &=\vec{t}_{\vec{u}}-\vec{0}+\vec{t}_{\vec{v}}-\vec{0} \text{ (car ils sont perpendiculaires)}\\ &=\vec{t}_{\vec{u}}+\vec{t}_{\vec{v}} \end{align*}

Par conséquent, en remplaçant dans l’équation précédente, on a:

\begin{equation*} \vec{t}=(\vec{t}-\vec{t}_{\vec{n}})+\vec{t}_{\vec{n}}=\vec{t}_{\vec{u}}+\vec{t}_{\vec{v}}+\vec{t}_{\vec{n}} \end{equation*}

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15.

Soit \(P(1,3)\) et \(\mathcal{D}: (x,y)=c(1,2)+(-1,1)\) un point et une droite dans \(\R^2\text{.}\) On cherche l’équation de l’ensemble des points qui sont à distance égale de \(P\) et \(\mathcal{D}\text{.}\) Il est bien connu que l’ensemble des points à distance égale d’un point et d’une droite forme une parabole.

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Réponse.

\(x^2 + 4x y + 4y^2 - 22x - 24y = -41\)

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Solution.

On doit simplement écrire dans une équation le calcul de la distance point–droite et point–point. En effet, tout point \(A(x,y)\) étant sur la parabole devra être à la même distance de la droite et du point fixe. On nommera \(Q(-1,1)\) le point de départ dans l’équation de la droite.

\begin{align*} d(A,\mathcal{D})&=d(A,P)\\ \Leftrightarrow \norm{\vecl{AQ}_{\vec{v}}-\vecl{AQ}}&=\norm{\vecl{AP}}\\ \Leftrightarrow \norm{(\vecl{OQ}-\vecl{OA})_{\vec{v}}-(\vecl{OQ}-\vecl{OA})}&=\norm{\vecl{OP}-\vecl{OA}}\\ \Leftrightarrow \norm{((-1,1)-(x,y))_{\vec{v}}-((-1,1)-(x,y))}&=\norm{(1,3)-(x,y)}\\ \Leftrightarrow \norm{(-1-x,1-y)_{(1,2)}-(-1-x,1-y)}&=\norm{(1-x,3-y)}\\ \Leftrightarrow \norm{\frac{(-1-x,1-y)\cdot(1,2)}{(1,2)\cdot(1,2)}(1,2)-(-1-x,1-y)}&=\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \norm{\frac{1-x-2y}{5}(1,2)-(-1-x,1-y)}&=\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \norm{\frac{1}{5}\Big((1-x-2y,2-2x-4y)-(-5-5x,5-5y)\Big)}&=\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \norm{\frac{1}{5}(6+4x-2y,-3-2x+y)}&=\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{5}\norm{(6+4x-2y,-3-2x+y)}&=\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \norm{(6+4x-2y)^2+(-3-2x+y)^2}&=5\sqrt{(1-x)^2+(3-y)^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt{16x^2-16xy+48x+4y^2-24y+36+4x^2-4xy+12x+y^2-6y+9}&=5\sqrt{1-2x+x^2+9-6y+y^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt{20x^2-20xy+60x+5y^2-30y+45}&=5\sqrt{x^2-2x+y^2-6y+10}\\ \Leftrightarrow 20x^2-20xy+60x+5y^2-30y+45&=25(x^2-2x+y^2-6y+10)\\ \Leftrightarrow 20x^2-20xy+60x+5y^2-30y+45&=25x^2-50x+25y^2-150y+250\\ \Leftrightarrow -205&=5x^2+20xy-110x+20y^2-120y\\ \Leftrightarrow -41&=x^2+4xy-22x+4y^2-24y\\ \Leftrightarrow x^2+4xy+4y^2-22x-24y&=-41 \end{align*}

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16.

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de \(\R^2\) non parallèles et \(\vec{w}\) un autre vecteur de \(\R^2\) quelconque, mais non parallèle à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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(a)

Montrer qu’il est toujours possible d’écrire \(\vec{w}\) comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\text{.}\)

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Solution.

On sait que \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) et \(\vec{v}=(v_1,v_2)\) étant non parallèles, il n’existe pas de constante \(k \in \R\) telle que \(\vec{u}=k\vec{v} \Leftrightarrow (u_1,u_2)=k(v_1,v_2)\text{.}\) On cherche à montrer qu’il existe des constantes \(k_1, k_2 \in \R\) telles que \(\vec{w}=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}\text{.}\) Si l’on réussit à isoler ces constantes et à toujours avoir des valeurs, peu importe les vecteurs, on aura fait la preuve.

\begin{align*} \vec{w}&=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}\\ \Leftrightarrow (w_1,w_2)&=k_1(u_1,u_2)+k_2(v_1,v_2)\\ \Leftrightarrow \begin{cases}w_1&=k_1u_1+k_2v_1\\ w_2&=k_1u_2+k_2v_2\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}w_1&=k_1u_1+k_2v_1 \Rightarrow k_1=\frac{w_1-k_2v_1}{u_1}\\ w_2&=k_1u_2+k_2v_2\Rightarrow k_1=\frac{w_2-k_2v_2}{u_2}\end{cases}\\ \Rightarrow \frac{w_1-k_2v_1}{u_1}&=\frac{w_2-k_2v_2}{u_2}\\ \Rightarrow u_2w_1-k_2u_2v_1&=u_1w_2-k_2u_1v_2\\ \Rightarrow k_2(u_1v_2-u_2v_1)&=u_1w_2-u_2w_1\\ \Rightarrow k_2&=\frac{u_1w_2-u_2w_1}{u_1v_2-u_2v_1}\\ \Rightarrow k_1&=\frac{w_1-\frac{u_1w_2-u_2w_1}{u_1v_2-u_2v_1}v_1}{u_1}\\ \Rightarrow k_1&=\frac{v_2w_1-v_1w_2}{u_1v_2-u_2v_1} \text{ (après l'algèbre!)} \end{align*}

On remarque que, puisqu’on a trouvé une expression pour \(k_1\) et \(k_2\) qui dépende de toutes les valeurs quelconques pour les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et \(\vec{w}\text{,}\) on peut toujours trouver cette combinaison linéaire. La seule condition est que le dénominateur ne soit pas égal à zéro.

\begin{align*} u_1v_2-u_2v_1&\neq0\\ u_1v_2&\neq u_2v_1 \end{align*}

Cela sera toujours le cas en raison de l’hypothèse de départ que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas parallèles. En effet, s’il n’existe pas de constante \(k \in \R\) telle que \((u_1,u_2)=k(v_1,v_2)\text{,}\) alors \(k=\frac{u_1}{v_1}\neq\frac{u_2}{v_2}\Leftrightarrow u_1v_2\neq u_2v_1\text{,}\) ce qui complète la preuve.

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(b)

Montrer qu’il est possible d’avoir \(a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\vec{0}\) avec \(a,b,c\) pas tous égaux à \(0\text{.}\)

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Solution.

On a obtenu qu’il existe des constantes \(k_1, k_2 \in \R\) telles que \(\vec{w}=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}\text{.}\) Il suffit d’envoyer tous les vecteurs du même côté de l’égalité:

\begin{align*} \vec{w}&=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}\\ -k_1\vec{u}-k_2\vec{v}+\vec{w}&=\vec{0} \end{align*}

En posant \(a=-k_1\text{,}\) \(b=-k_2\) et \(c=1\text{,}\) on obtient aisément cette équation qui est tout à fait équivalente. On utilisera cette façon de faire à la section 5.2 pour montrer qu’un ensemble de vecteurs est linéairement dépendant.

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Exercices Sage.

Les exercices qui suivent sont conçus pour être résolus avec Sage. Des cellules vides sont disponibles pour écrire les réponses. Évidemment, il y a plusieurs manières d’arriver aux réponses.

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17.

Tracer les droites \(\mathcal{D_1}: \vecl{OP}=a(-1,2)+(-3,2)\) et \(\mathcal{D_2}: \vecl{OP}=a(3,-1)+(4,0)\) sur un même graphique, respectivement en noir et en rouge.

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Réponse.

La droite D un et la droite D deux sont tracées dans le plan cartésien, respectivement en noire et en rouge — Figure 1.3.34. Deux droites tracées à partir de leur équation vectorielle.
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Solution.

Bloc de code 1.3.35. Le code solution pour l’exercice

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var("a")
D1=parametric_plot([-a-3,2*a+2],(a,-5,5),color="black")
D2=parametric_plot([3*a+4,-a],(a,-5,5),color="red")
D1+D2

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18.

Considérer le plan d’équation \(\mathcal{P}: (x,y,z)=a(-1,2,1)+b(-5,4,-3)+(6,3,2)\) et le point \(P(3,-4,2)\text{.}\)

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Trouver une équation normale pour le plan \(\mathcal{P}\text{.}\)
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Calculer la distance entre le plan \(\mathcal{P}\) et le point \(P\text{.}\)
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Quelles sont les coordonnées du point \(Q\in\mathcal{P}\) le plus près du point \(P\text{?}\)
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Illustrer sur un graphique le plan, le point et le vecteur dont la norme est égale à la distance plan-point, issue du point \(Q\)
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Réponse.

Le vecteur normal est \(\vecl{n}=(-5,-4,3)\text{,}\) ou n’importe quel multiple de ce dernier. L’équation normale est donc de la forme

\begin{equation*} -5x-4y+3z=-36 \end{equation*}

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La distance est \(\frac{43}{5\sqrt{2}}\text{.}\)
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\(\displaystyle Q=\left(\frac{73}{10},\,-\frac{14}{25},\,-\frac{29}{50}\right)\)

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Solution.

Pour trouver le vecteur normal \(\vec{n}\text{,}\) il faut résoudre simultanément les équations \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) et \(\vec{v}\cdot\vec{n}=0\text{.}\) Le code suivant permet d’obtenir une solution.

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Bloc de code 1.3.36. Le code pour le vecteur normal, partie 1

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u=vector([-1,2,1])  #le premier vecteur directeur
v=vector([-5,4,-3]) #le second vecteur directeur
var("a","b","c")
n=vector([a,b,c])  #le vecteur normal
eq1=u*n==0   #le vecteur normal doit être perpendiculaire à u
eq2=v*n==0   #le vecteur normal doit être perpendiculaire à v
sol=solve([eq1,eq2],a,b,c,solution_dict=True) #on résout les équations en fonction des composantes du vecteur normal. L'option solution_dict permet de coder différement les entrées de sol
sol

À remarquer qu’il y a une infinité de solutions, données sous forme paramétrique ici. Ceci est attendu étant donné que n’importe quel multiple d’un vecteur normal est aussi un vecteur normal. Dans ce cas-ci, si l’on prend la variable libre comme étant égale à \(3\) (pour éliminer les fractions), on obtient

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Bloc de code 1.3.37. Le code pour le vecteur normal, partie 2

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n=vector([sol[0][a],sol[0][b],sol[0][c]]) #on extrait de la liste de solutions sol les expressions voulues
libre=sol[0][a].variables()[0] #On va chercher le nom de la variable libre. Ceci est nécessaire au cas où des exécutions multiples sont effectuées
n=n.subs({libre:3})     #on pose la variable libre à 3
n

Finalement, on obtient l’équation normale \(\vec{n}\cdot (x-6,y-3,z-2)=0\) ce qui donne

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Bloc de code 1.3.38. Le code pour l’équation normale

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var("x","y","z")
show(n*vector([x-6,y-3,z-2])==0)

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La distance est obtenue à l’aide de la formule \(\|\vecl{AP}_{\vec{n}}\|\text{:}\)

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Bloc de code 1.3.39. Le code pour la distance point plan

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OA=vector([6,3,2]) #un point connu sur le plan
OP=vector([3,-4,2]) #le point extérieur au plan
AP=OP-OA
APsurn=AP*n/(n*n)*n  #calcul de la projection
show(norm(APsurn))

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Le point \(Q\) est donné par la formule \(\vecl{OQ}=\vecl{OP}-\vecl{AP}_{\vec{n}}\text{.}\) On obtient alors:
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Bloc de code 1.3.40. Les coordonnées du points \(Q\)
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```
OQ=OP-APsurn
show(OQ)
```
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Pour illustrer le plan, le point \(P\) et le vecteur \(\vecl{AP}_{\vec{n}}\text{,}\) on utilise:

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Bloc de code 1.3.41. Le code de la représentation graphique

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plan=implicit_plot3d(n*vector([x-6,y-3,z-2])==0,(x,-10,10),(y,-10,10),(z,-10,10),color="blue")
P=point(OP,size=15,color="black")
vecproj=plot(APsurn,color="red",start=OQ)
plan+P+vecproj

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19. Automatisation de l’équation d’une parabole.

Dans l’exercice 1.3.4.15, on a déterminé une équation implicite d’une parabole à distance égale d’un point \(F\) et d’une droite \(\mathcal{D}\text{.}\) Le but de cet exercice est de créer un programme qui, étant donné les coordonnées d’un point \(F\text{,}\) d’un point \(A\) et d’un vecteur \(\vec{v}\text{,}\) déterminera l’équation de la parabole de foyer \(F\) et de droite directrice \(c\vec{v}+\vecl{OA}\text{.}\) À Finir (Tracer graphique, tester avec celle de l’exercice)

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Solution.

Bloc de code 1.3.42. L’équation d’une parabole

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def eqpara(v,A,F):
    var("x","y",domain="real")
    P=vector([x,y])
    AP=P-A
    PF=F-P
    return (expand(norm(PF)^2-norm(AP-AP*v/(v*v)*v)^2)==0)

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