Chapitre 5 Espaces vectoriels
Jusqu’à maintenant, on a utilisé plusieurs termes sans vraiment les définir. Par exemple, on parle des espaces \(\R^n\text{,}\) mais qu’est-ce qu’un espace de façon plus spécifique? On a aussi parlé de dimension, par exemple on dit qu’une droite est un objet à une dimension et un plan est un objet à deux dimensions. Intuitivement, on peut comprendre dans le contexte géométrique le concept de dimension, mais qu’est-ce qui caractérise un objet à quatre, sept ou douze dimensions?
On reviendra sur le concept des quatre (sous) espaces fondamentaux d’une matrice. On sera en mesure de comprendre la dimension de ces espaces dans un contexte plus général. On reviendra également sur le concept d’espace engendré par un ensemble de vecteurs (le span). Si un \(V=\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots , \vec{v}_n)\) et qu’on considère \(W_1=\vspan(\vec{v}_2,\vec{v}_3,\ldots , \vec{v}_n)\text{,}\) est-ce que \(W_1 =V\) ou peut-être \(W_1 \subset V\text{?}\) Au contraire si on considère \(W_2=\vspan(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots , \vec{v}_n,\vec{v}_{n+1})\text{,}\) a-t-on cette fois \(W_2=V\) ou \(W_2\supseteq V\text{?}\)
Le but principal de ce chapitre est de montrer que les résultats en algèbre linéaire s’appliquent dans un contexte bien plus grand que celui des espaces \(\R^n\text{.}\) Tout comme la dérivée consiste en une approximation linéaire d’une fonction autour d’un point, il est possible de linéariser plusieurs objets en mathématique et d’utiliser les résultats d’algèbre linéaire pour les analyser. Des exemples spécifiques seront donnés au chapitre
[provisional cross-reference: chap-applications].Dans ce chapitre, on définit les notions de sous-espace vectoriel, indépendance linéaire, base, dimension et d’espace vectoriel.
